एक बंधे हुए यादृच्छिक चर की भिन्नता

Question

मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर में एक निचला और एक ऊपरी बाउंड होता है [0,1]। इस तरह के एक वैरिएबल की गणना कैसे करें?

Comments

उसी तरह जैसे एक अनबाउंड चर के लिए - एकीकरण या योग की सीमा को उचित रूप से निर्धारित करना।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

जैसा @Sortortchi ने कहा। लेकिन मैं उत्सुक हूं कि आपने क्यों सोचा कि यह अलग हो सकता है?

— पीटर Flom - को पुनः स्थापित मोनिका

जब तक आप चर के बारे में कुछ नहीं जानते (जिस स्थिति में विचरण पर ऊपरी सीमा की गणना सीमाओं के अस्तित्व से की जा सकती है), तो यह तथ्य क्यों है कि यह बाध्य है गणना में आ जाएगा?

— Glen_b -Reinstate Monica

एक यादृच्छिक चर के विचरण पर एक उपयोगी ऊपरी सीमा जो मानों पर लेती है जिसमें प्रायिकता है और असतत यादृच्छिक चर द्वारा प्राप्त की जाती है जो मानों पर ले जाता है और समान संभावना के साथ। । ध्यान रखने की एक और बात यह है कि विचरण की मौजूदगी की गारंटी है जबकि एक अनबाउंड रैंडम वैरिएबल में विचरण नहीं हो सकता है (कुछ, जैसे कि कॉची रैंडम वैरिएबल का भी कोई मतलब नहीं है)। $[a,b]$$1$$(b-a)^2/4$$a$$b$$\frac{1}{2}$

— दिलीप सरवटे

वहाँ है एक असतत यादृच्छिक चर जिसका विचरण के बराबर होती है : वास्तव में एक यादृच्छिक चर है कि मूल्यों पर ले जाता और बराबर संभावना के साथ । इसलिए, कम से कम हम जानते हैं कि विचरण पर एक सार्वभौमिक ऊपरी सीमा से छोटी नहीं हो सकती है । $\frac{(b-a)^2}{4}$ $a$$b$$\frac{1}{2}$$\frac{(b-a)^2}{4}$

— दिलीप सरवटे

Answer 1

आप पोपोविस्कू की असमानता को निम्नानुसार साबित कर सकते हैं। नोटेशन और । परिभाषित एक समारोह द्वारा व्युत्पन्न कम्प्यूटिंग , और सुलझाने हम चाहते हैं कि लगता है में अपने न्यूनतम प्राप्त होता है ( ध्यान दें कि )।$m=\inf X$$M=\sup X$$g$

$$g(t)=\mathbb{E}\left[\left(X-t\right)^2\right] \, .$$ $g'$ $$g'(t) = -2\mathbb{E}[X] +2t=0 \, ,$$ $g$$t=\mathbb{E}[X]$$g''>0$

अब, विशेष बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य पर विचार करें । यह मामला होना चाहिए कि लेकिन चूंकि और , हमारे पास उस $g$$t=\frac{M+m}{2}$

$$\mathbb{Var}[X]=g(\mathbb{E}[X])\leq g\left(\frac{M+m}{2}\right) \, .$$ $$g\left(\frac{M+m}{2}\right) = \mathbb{E}\left[\left(X - \frac{M+m}{2}\right)^2 \right] = \frac{1}{4}\mathbb{E}\left[\left((X-m) + (X-M)\right)^2 \right] \, .$$ $X-m\geq 0$$X-M\leq 0$ $$\left((X-m)+(X-M)\right)^2\leq\left((X-m)-(X-M)\right)^2=\left(M-m\right)^2 \, ,$$ $$\frac{1}{4}\mathbb{E}\left[\left((X-m) + (X-M)\right)^2 \right] \leq \frac{1}{4}\mathbb{E}\left[\left((X-m) - (X-M)\right)^2 \right] = \frac{(M-m)^2}{4} \, .$$ V a r [ X ] ≤ ( M - m ) 2 इसलिए, हमने पोपोविसीयू की असमानता , साबित की $$\mathbb{Var}[X]\leq \frac{(M-m)^2}{4} \, .$$

Comments

अच्छा तरीका: इस तरह की चीजों का कठोर प्रदर्शन देखना अच्छा है।

— whuber

+1 नाइस! मैंने कंप्यूटरों के प्रचलन में आने से बहुत पहले ही आँकड़े सीख लिए थे और एक विचार जो हमारे अंदर था, वह यह था कि जो किसी भी सुविधाजनक बिंदु से विचलन के वर्गों के योग को खोजने और फिर पूर्वाग्रह के लिए समायोजन करके विचरण की गणना के लिए अनुमति देता है । यहाँ निश्चित रूप से, यह पहचान परिणाम का एक सरल प्रमाण देती है कि का व्युत्पत्ति की आवश्यकता के बिना पर न्यूनतम मूल्य है t g ( t ) t = $$E[(X-t)^2] = E[((X-\mu)-(t-\mu))^2] = E[(X-\mu)^2]+(t-\mu)^2$$ $t$$g(t)$$t=\mu$

— Dilip Sarwate

Answer 2

को पर वितरण होने दें । हम यह दिखाएंगे कि यदि का विचलन अधिकतम है, तो का इंटीरियर में कोई समर्थन नहीं हो सकता है , जिससे यह अनुसरण करता है कि बर्नौली है और बाकी तुच्छ है।[ 0 , 1 ] एफ एफ $F$$[0,1]$$F$$F$$F$

अंकन के एक मामले के रूप में, चलो हो के कच्चे पल वें (और हमेशा की तरह, हम लिख और विचरण के लिए )।कश्मीर एफ μ = μ 1 σ 2 = μ 2 - μ $\mu_k = \int_0^1 x^k dF(x)$$k$$F$$\mu = \mu_1$$\sigma^2 = \mu_2 - \mu^2$

हम जानते हैं कि पास एक बिंदु पर इसका सभी समर्थन नहीं है ( उस मामले में विचरण न्यूनतम है)। अन्य बातों के अलावा, यह संकेत मिलता है सख्ती के बीच झूठ और । विरोधाभास से बहस करने के लिए, मान लीजिए कि आंतरिक में कुछ औसत दर्जे का सबसेट है जिसके लिए । सामान्यता के किसी भी नुकसान के बिना हम मान सकते हैं ( यदि आवश्यकता हो तो को बदलकर ) कि : दूसरे शब्दों में, को किसी भी प्रकार से काट कर प्राप्त किया जाता है। माध्य से ऊपर का भाग औरμ 0 1 I ( 0 , 1 ) F ( I ) > 0 X 1 - X F ( J = I ∩ ( 0 , μ ] ) > 0 J I $F$$\mu$$0$$1$$I$$(0,1)$$F(I)\gt 0$$X$$1-X$$F(J = I \cap (0, \mu]) \gt 0$$J$$I$$J$ सकारात्मक संभावना है।

हमें परिवर्तन करते हैं के लिए से बाहर सभी संभावना लेने के द्वारा और पर रखने । एफ ′ जे $F$$F'$$J$$0$ ऐसा करने में, परिवर्तन होता है$\mu_k$

$$\mu'_k = \mu_k - \int_J x^k dF(x).$$

संकेतन के रूप में, आइए हम लिखते हैं ऐसे लिए, जहाँ$[g(x)] = \int_J g(x) dF(x)$

$$\mu'_2 = \mu_2 - [x^2], \quad \mu' = \mu - [x].$$

गणना

$$\sigma'^2 = \mu'_2 - \mu'^2 = \mu_2 - [x^2] - (\mu - [x])^2 = \sigma^2 + \left((\mu[x] - [x^2]) + (\mu[x] - [x]^2)\right).$$

दाईं ओर दूसरा शब्द, , पर हर जगह कारण गैर-ऋणात्मक है । दाईं ओर का पहला पद फिर से लिखा जा सकता हैμ ≥ एक्स $(\mu[x] - [x]^2)$$\mu \ge x$$J$

$$\mu[x] - [x^2] = \mu(1 - [1]) + ([\mu][x] - [x^2]).$$

दाईं ओर पहला शब्द कड़ाई से सकारात्मक है क्योंकि (ए) और (बी) क्योंकि हमने माना कि एक बिंदु पर केंद्रित नहीं है। दूसरा शब्द गैर-नकारात्मक है क्योंकि इसे रूप में फिर से लिखा जा सकता है और यह एकीकृत और पर मान्यताओं से nonnegative है । यह उस अनुसरण करता है ।[ 1 ] = एफ ( जम्मू ) < 1 एफ [ ( μ - x ) ( x ) ] μ ≥ एक्स जे 0 ≤ एक्स ≤ 1 σ ' 2 - σ 2 > $\mu \gt 0$$[1] = F(J) \lt 1$$F$$[(\mu-x)(x)]$$\mu \ge x$$J$$0 \le x \le 1$$\sigma'^2 - \sigma^2 \gt 0$

हमने सिर्फ यह दिखाया है कि हमारी मान्यताओं के तहत, से को बदलने से इसकी भिन्नता बढ़ जाती है। एकमात्र तरीका यह नहीं हो सकता है, तब है, जब की सभी संभावना क्रमशः एंडपॉइंट और पर केंद्रित है , (कहते हैं) और मानों के साथ क्रमशः। इसके विचरण की गणना समान से आसानी से की जाती है जो 1/2 होने पर अधिकतम होती है और बराबर होती है ।एफ ' एफ ' 0 1 1 - पी पी पी ( 1 - पी ) पी = 1 / 2 1 /$F$$F'$ $F'$$0$$1$$1-p$$p$$p(1-p)$$p=1/2$$1/4$

अब जब पर एक वितरण है , हम पुनरावृत्ति करते हैं और इसे पर वितरण के लिए फिर से जोड़ते हैं । पुनरावर्ती परिवर्तन को परिवर्तित नहीं करता है, जबकि पुनर्विक्रय इसे विभाजित करता है । इस प्रकार एक पर अधिक से अधिक विचरण के साथ पर अधिक से अधिक विचरण के साथ वितरण से मेल खाती है : यह इसलिए एक Bernoulli है वितरण पुनः पैमाना और करने के लिए अनुवाद विचरण होने 2/4 , QED ।[ ए , बी ] [ ० , १ ] ( बी - ए ) २ एफ [ ए , बी ] [ ० , १ ] ( १ / २ ) [ ए , बी ] ( बी - ए ) २ /$F$$[a,b]$$[0,1]$$(b-a)^2$$F$$[a,b]$$[0,1]$$(1/2)$$[a,b]$$(b-a)^2/4$

Comments

दिलचस्प, whuber। मुझे यह प्रमाण नहीं पता था।

— ज़ेन

@Zen यह आपके द्वारा के रूप में सुंदर के रूप में नहीं है। मैंने इसकी पेशकश की क्योंकि मैंने खुद को इस तरह से सोचते हुए वर्षों में पाया है जब बहुत अधिक जटिल वितरण असमानताओं के साथ सामना किया जाता है: मैं पूछता हूं कि असमानता को और अधिक चरम बनाने के लिए संभावना को कैसे चारों ओर स्थानांतरित किया जा सकता है। एक सहज हेयुरिस्टिक के रूप में यह उपयोगी है। यहां बताए गए दृष्टिकोण जैसे दृष्टिकोण का उपयोग करके, मुझे संदेह है कि इस तरह की असमानताओं के एक बड़े वर्ग को साबित करने के लिए एक सामान्य सिद्धांत को व्युत्पन्न किया जा सकता है, जिसमें कैलकुलस ऑफ वेरिएशंस और (परिमित आयामी) लैग्रेंज मल्टीप्लायर तकनीकों के संकर स्वाद का एक प्रकार है।

— whuber

परिपूर्ण: आपका उत्तर महत्वपूर्ण है क्योंकि यह एक अधिक सामान्य तकनीक का वर्णन करता है जिसका उपयोग कई अन्य मामलों को संभालने के लिए किया जा सकता है।

— ज़ेन

@ व्हीबर ने कहा - "मैं पूछता हूं कि असमानता को और अधिक चरम बनाने के लिए संभाव्यता को कैसे चारों ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।" - यह ऐसी समस्याओं के बारे में सोचने का स्वाभाविक तरीका है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

व्युत्पत्ति में कुछ गलतियाँ दिखाई देती हैं। यह होना चाहिएइसके अलावा, बराबर नहीं है चूंकि के समान नहीं है[ ( Μ - x ) ( x ) ] [ μ ] [ एक्स ] - [ एक्स 2 ] [ μ ] $$\mu[x] - [x^2] = \mu(1 - [1])[x] + ([\mu][x] - [x^2]).$$ $[(\mu-x)(x)]$$[\mu][x] - [x^2]$μ [ x $[\mu][x]$$\mu[x]$

— Leo

Answer 3

यदि रैंडम वैरिएबल तक सीमित है और हम माध्य जानते हैं , तो विचरण से घिरा है ।μ = E [ X ] ( b - μ ) ( μ - a $[a,b]$$\mu=E[X]$$(b-\mu)(\mu-a)$

आइए पहले हम मामले को मानते हैं । ध्यान दें कि सभी , , जिसमें । इस परिणाम का उपयोग करके, एक्स ∈ [ 0 , 1 ] एक्स 2 ≤ एक्स ई [ एक्स 2 ] ≤ ई [ एक्स ] σ 2 = ई [ एक्स 2 ] - ( ई [ एक्स ] 2 ) = ई [ एक्स 2 ] - μ 2 ≤ μ - μ 2 = μ $a=0, b=1$$x\in [0,1]$$x^2\leq x$$E[X^2]\leq E[X]$

$$\begin{equation} \sigma^2 = E[X^2] - (E[X]^2) = E[X^2] - \mu^2 \leq \mu - \mu^2 = \mu(1-\mu). \end{equation}$$

अंतराल के लिए सामान्य करने के लिए साथ , को तक सीमित मानते हैं । परिभाषित करें , जो में प्रतिबंधित है । समान रूप से, , और इस प्रकार जहाँ असमानता पहले परिणाम पर आधारित है। अब, को प्रतिस्थापित करके , बराबरी की जो वांछित परिणाम है।ख > एक वाई [ एक , ख ] एक्स = वाई - $[a,b]$$b>a$$Y$$[a,b]$ [0,1]Y=(ख-एक)एक्स+एकवीएकआर[Y]=(ख-एक)2वीएकआर[एक्स]≤(ख-एक)2μएक्स(1-μएक्स)। μX=μY-$X=\frac{Y-a}{b-a}$$[0,1]$$Y = (b-a)X + a$

$$\begin{equation} Var[Y] = (b-a)^2Var[X] \leq (b-a)^2\mu_X (1-\mu_X). \end{equation}$$ (b-a)$\mu_X = \frac{\mu_Y - a}{b-a}$ $$\begin{equation} (b-a)^2\, \frac{\mu_Y - a}{b-a}\,\left(1- \frac{\mu_Y - a}{b-a}\right) = (b-a)^2 \frac{\mu_Y -a}{b-a}\,\frac{b - \mu_Y}{b-a} = (\mu_Y - a)(b- \mu_Y), \end{equation}$$

Answer 4

@ User603 के अनुरोध पर ...।

एक उपयोगी ऊपरी विचरण पर बाध्य एक यादृच्छिक चर कि में मूल्यों पर ले जाता का संभावना के साथ है । विशेष मामले के लिए एक प्रमाण (जो ओपी के बारे में पूछा गया है) वह गणित पर यहां पाया जा सकता है । और यह आसानी से अधिक सामान्य मामले के अनुकूल हो जाता है। जैसा कि ऊपर मेरी टिप्पणी में भी उल्लेख किया गया है और यहां भी संदर्भित है, एक असतत यादृच्छिक चर जो मानों पर ले जाता और समान संभाव्यता में विचरण और इस प्रकार कोई भी सामान्य बाउंड नहीं पाया जा सकता है। [ एक , ख ] 1 σ 2 ≤ ( ख - एक ) $\sigma^2$$[a,b]$$1$ ए=0,बी=1एबी$\sigma^2 \leq \frac{(b−a)^2}{4}$$a=0, b=1$$a$$b$ (बी-ए)$\frac{1}{2}$$\frac{(b−a)^2}{4}$

एक और ध्यान रखने वाली बात यह है कि एक रैंडम रैंडम वैरिएबल में परिमित विचरण होता है, जबकि एक अनबाउंड रैंडम वैरिएबल के लिए, विचरण परिमित नहीं हो सकता है, और कुछ मामलों में यह निश्चित भी नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, कैची यादृच्छिक चर के लिए माध्य को परिभाषित नहीं किया जा सकता है , और इसलिए विचरण को परिभाषित नहीं किया जा सकता है (मतलब से वर्ग विचलन की उम्मीद के रूप में)।

Comments

यह @ जूहो के उत्तर का एक विशेष मामला है

— अक्कल

यह सिर्फ एक टिप्पणी थी, लेकिन मैं यह भी जोड़ सकता हूं कि यह उत्तर पूछे गए प्रश्न का उत्तर नहीं देता है।

— अक्कल

@ अक्षल तो ??? जुहो कुछ अलग और हाल ही में पूछे गए सवाल का जवाब दे रहा था । यह नया प्रश्न आपके द्वारा ऊपर देखे गए के साथ मिला दिया गया है, जिसका उत्तर मैंने दस महीने पहले दिया था।

— दिलीप सरवटे

Answer 5

क्या आप सुनिश्चित हैं कि यह सामान्य रूप से सत्य है - निरंतर और असतत वितरण के लिए। क्या आप अन्य पृष्ठों का लिंक प्रदान कर सकते हैं? पर एक सामान्य गड़बड़ी के लिए यह दर्शाना तुच्छ है कि मैं कल्पना कर सकता हूं कि तेज असमानताएं मौजूद हैं ... क्या आपको अपने परिणाम के लिए कारक आवश्यकता है ?$[a,b]$

$$Var(X) = E[(X-E[X])^2] \le E[(b-a)^2] = (b-a)^2.$$ $1/4$

दूसरी ओर एक विकिपीडिया पर Popoviciu_inequality नाम के तहत कारक के साथ मिल सकता है ।$1/4$

यह लेख विकिपीडिया लेख से बेहतर है ...

एक समान वितरण के लिए यह माना जाता है कि

$$Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}.$$

Comments

यह पृष्ठ एक प्रमाण की शुरुआत के साथ परिणाम बताता है जो मेरे लिए थोड़ा सा भी शामिल हो जाता है क्योंकि इसे "प्रोग्रामिंग प्रोग्रामिंग के मौलिक सिद्धांत" की समझ की आवश्यकता होती है। Sci.tech-archive.net/Archive/sci.math/2008-06/msg01239.html

— एडम रसेल

इस पर एक नाम रखने के लिए धन्यवाद! "पोपोविसीयू की असमानता" बस वही है जो मुझे चाहिए था।

— एडम रसेल

यह उत्तर कुछ गलत सुझाव देता है: वास्तव में सही है। पोपोविसीयू की असमानता का संदर्भ काम करेगा, लेकिन कड़ाई से यह केवल परिमित समर्थन के साथ वितरण पर लागू होता है (विशेष रूप से, जिसमें कोई निरंतर वितरण शामिल नहीं है)। एक सीमित तर्क चाल करेगा, लेकिन यहां कुछ अतिरिक्त की आवश्यकता है। $1/4$

— whuber

एक सतत वितरण एक असतत (cdf शब्दों में) मनमाने ढंग से निकटता से संपर्क कर सकता है (जैसे किसी दिए गए असतत से एक निरंतर घनत्व का निर्माण प्रत्येक द्रव्यमान बिंदु पर केंद्रित एक बिट बीटा (4,4) के आकार का कर्नेल को उपयुक्त क्षेत्र में - और ऐसे प्रत्येक कर्नेल के मानक विचलन को अपने क्षेत्र को स्थिर रखते हुए शून्य की ओर सिकोड़ें)। यहाँ चर्चा के रूप में इस तरह के असतत सीमाएं भी निरंतर वितरण पर सीमा के रूप में कार्य करेंगी। मुझे उम्मीद है कि आप लगातार असमान वितरण के बारे में सोच रहे हैं ... जो वास्तव में विभिन्न ऊपरी सीमाएं हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

खैर ... मेरा जवाब कम से कम मददगार था लेकिन मैं इसे अच्छी टिप्पणियों के कारण यहां छोड़ दूंगा। चीयर्स, आर

— रिक