एक समय श्रृंखला के लिए कौन से डिकी-फुलर का परीक्षण एक अवरोधन / बहाव और एक रेखीय प्रवृत्ति के साथ हुआ?

Question

लघु संस्करण:

मेरे पास जलवायु डेटा की एक समय श्रृंखला है जिसे मैं स्थिरता के लिए परीक्षण कर रहा हूं। पिछले शोध के आधार पर, मुझे उम्मीद है कि मॉडल अंतर्निहित (या "जनरेटिंग" है, इसलिए बोलने के लिए) डेटा में एक इंटरसेप्ट टर्म और एक सकारात्मक रैखिक समय प्रवृत्ति है। स्थिरता के लिए इन आंकड़ों का परीक्षण करने के लिए, क्या मुझे डिक्की-फुलर परीक्षण का उपयोग करना चाहिए जिसमें एक अवरोधन और समय की प्रवृत्ति शामिल है, अर्थात समीकरण # 3 ?

$\nabla y_t = \alpha_0+\alpha_1t+\delta y_{t-1}+u_t$

या, क्या मुझे डीएफ परीक्षण का उपयोग करना चाहिए जिसमें केवल एक अवरोधन शामिल है क्योंकि समीकरण का पहला अंतर जो मुझे विश्वास है कि मॉडल केवल एक अवरोधन है?

दीर्घ संस्करण:

जैसा कि ऊपर कहा गया है, मेरे पास जलवायु डेटा की एक समय श्रृंखला है जो मैं स्थिरता के लिए परीक्षण कर रहा हूं। पिछले शोध के आधार पर, मुझे उम्मीद है कि मॉडल में इंटरसेप्ट टर्म, पॉजिटिव लीनियर टाइम ट्रेंड और कुछ सामान्य रूप से वितरित एरर टर्म में डेटा अंतर्निहित है। दूसरे शब्दों में, मुझे उम्मीद है कि अंतर्निहित मॉडल कुछ इस तरह दिखाई देगा:

$y_t = a_0 + a_1t + \beta y_{t-1} + u_t$

जहाँ $u_t$ सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। चूंकि मैं यह मान रहा हूं कि अंतर्निहित मॉडल में एक अवरोधन और एक रैखिक समय दोनों की प्रवृत्ति है, इसलिए मैंने साधारण डिकी-फुलर परीक्षण के समीकरण # 3 के साथ एक यूनिट रूट के लिए परीक्षण किया, जैसा कि दिखाया गया है:

$\nabla y_t = \alpha_0+\alpha_1t+\delta y_{t-1}+u_t$

यह परीक्षण एक महत्वपूर्ण मूल्य देता है जो मुझे अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करने के लिए प्रेरित करेगा और निष्कर्ष निकालेगा कि अंतर्निहित मॉडल गैर-स्थिर है। हालांकि, मैं सवाल करता है, तो मैं इस को सही ढंग से लागू करने के कर रहा हूँ, भले ही बाद से अंतर्निहित मॉडल एक अवरोधन और एक समय प्रवृत्ति मानी जाती है, इस संकेत नहीं करता है कि पहली अंतर के रूप में अच्छी तरह से करेंगे। इसके विपरीत, वास्तव में, अगर मेरा गणित सही है।$\nabla y_t$

के समीकरण पर आधारित पहली अंतर की गणना ग्रहण अंतर्निहित मॉडल देता है: $\nabla y_t = y_t - y_{t-1} = [a_0 + a_1t + \beta y_{t-1} + u_t] - [a_0 + a_1(t-1) + \beta y_{t-2} + u_{t-1}]$

$\nabla y_t = [a_0 - a_0] + [a_1t - a_t(t-1)] + \beta[y_{t-1} - y_{t-2}] + [u_t - u_{t-1}]$

$\nabla y_t = a_1 + \beta \cdot \nabla y_{t-1} + u_t - u_{t-1}$

इसलिए, पहले अंतर केवल एक अवरोध पैदा नहीं एक समय प्रवृत्ति प्रतीत होता है।$\nabla y_t$

मुझे लगता है कि मेरा प्रश्न इस के समान है , सिवाय मुझे यकीन नहीं है कि मेरे प्रश्न का उत्तर कैसे लागू किया जाए।

नमूना डेटा:

यहाँ कुछ नमूना तापमान डेटा है जो मैं काम कर रहा हूँ।

64.19749  
65.19011  
64.03281  
64.99111  
65.43837  
65.51817  
65.22061  
65.43191  
65.0221  
65.44038  
64.41756  
64.65764  
64.7486  
65.11544  
64.12437  
64.49148  
64.89215  
64.72688  
64.97553  
64.6361  
64.29038  
65.31076  
64.2114  
65.37864  
65.49637  
65.3289  
65.38394  
65.39384  
65.0984  
65.32695  
65.28  
64.31041  
65.20193  
65.78063  
65.17604  
66.16412  
65.85091  
65.46718  
65.75551  
65.39994  
66.36175  
65.37125  
65.77763  
65.48623  
64.62135  
65.77237  
65.84289  
65.80289  
66.78865  
65.56931  
65.29913  
64.85516  
65.56866  
64.75768  
65.95956  
65.64745  
64.77283  
65.64165  
66.64309  
65.84163  
66.2946  
66.10482  
65.72736  
65.56701  
65.11096  
66.0006  
66.71783  
65.35595  
66.44798  
65.74924  
65.4501  
65.97633  
65.32825  
65.7741  
65.76783  
65.88689  
65.88939  
65.16927  
64.95984  
66.02226  
66.79225  
66.75573  
65.74074  
66.14969  
66.15687  
65.81199  
66.13094  
66.13194  
65.82172  
66.14661  
65.32756  
66.3979  
65.84383  
65.55329  
65.68398  
66.42857  
65.82402  
66.01003  
66.25157  
65.82142  
66.08791  
65.78863  
66.2764  
66.00948  
66.26236  
65.40246  
65.40166  
65.37064  
65.73147  
65.32708  
65.84894  
65.82043  
64.91447  
65.81062  
66.42228  
66.0316  
65.35361  
66.46407  
66.41045  
65.81548  
65.06059  
66.25414  
65.69747  
65.15275  
65.50985  
66.66216  
66.88095  
65.81281  
66.15546  
66.40939  
65.94115  
65.98144  
66.13243  
66.89761  
66.95423  
65.63435  
66.05837  
66.71114 

Comments

मुझे नहीं पता कि इस लिंक में क्या है ( tamino.wordpress.com/2010/03/11/not-a-random-walk ) आपके सवाल का जवाब देता है, लेकिन मुझे लगा कि आप शायद वैसे भी इसमें रुचि लेंगे।

— मैट अल्ब्रेक्ट

@MattAlbrecht यह एक बहुत ही रोचक लिंक है। मैं अभी भी इस उलझन में हूं कि मुझे अपनी मूल समय श्रृंखला के लिए डिक्की-फुलर टेस्ट कैसे लागू करना चाहिए। मैंने अपने हालिया संपादन में अधिक प्रासंगिक जानकारी जोड़ने की कोशिश की।

— रिकार्डो अल्टामिरानो

क्षमा करें, मैं आपको एक बेहतर जवाब नहीं दे सकता - मैं अपने समय श्रृंखला विश्लेषण के शीर्ष पर नहीं हूं। हालाँकि, आप इस सवाल में भी दिलचस्पी ले सकते हैं, जो मैंने हाल ही में पूछे गए ( आंकड़े.stackexchange.com/questions/27748 ) जो कि जलवायु समय श्रृंखला पर भी है और एक समय श्रृंखला समर्थक से तापमान बनाम सीओ 2 पर एक अच्छा विस्तृत विश्लेषण किया है। यदि आप कुछ डेटा भी पोस्ट करने में सक्षम हैं, तो यह दूसरों की मदद कर सकता है?

— मैट अल्ब्रेक्ट

@MattAlbrecht मैंने कुछ सैंपल डेटा जोड़े। क्या इसमें शामिल करने के लिए मेरे लिए बेहतर प्रारूप है?

— रिकार्डो अल्टामिरानो

Answer 1

आपको समय श्रृंखला के स्तरों में बहाव और (पैरामीट्रिक / रैखिक) प्रवृत्ति पर विचार करने की आवश्यकता है ताकि संवर्धित डिकी-फुलर प्रतिगमन में नियतात्मक शब्दों को निर्दिष्ट किया जा सके जो कि समय श्रृंखला के पहले मतभेदों के संदर्भ में है। आपके द्वारा किए गए तरीके में पहले-अंतर समीकरण को प्राप्त करने से भ्रम पैदा होता है।

(संवर्धित) डिकी-फुलर प्रतिगमन मॉडल

मान लीजिए कि श्रृंखला के स्तर को एक बहाव और प्रवृत्ति शब्द शामिल इस मामले में nonstationarity के रिक्त परिकल्पना होगा एच

$$Y_t = \beta_{0,l} + \beta_{1,l} t + \beta_{2, l}Y_{t-1} + \varepsilon_{t}$$ ।$\mathfrak{H}_0{}:{}\beta_{2, l} = 1$

इस डेटा जेनरेट होने वाले प्रक्रिया [पुलिस महानिदेशक] से गर्भित पहले अंतर के लिए एक समीकरण, एक है कि आप व्युत्पन्न है बहरहाल, यह है नहीं (संवर्धित) डिक्की फुलर प्रतिगमन के रूप में परीक्षण में इस्तेमाल किया।

$$\Delta Y_t = \beta_{1,l} + \beta_{2, l}\Delta Y_{t-1} + \Delta \varepsilon_{t}$$

इसके बजाय, सही संस्करण को घटा कर किया जा सकता है पहले समीकरण में जिसके परिणामस्वरूप के दोनों ओर से Δ वाई $Y_{t-1}$

$$\begin{align} \Delta Y_t &= \beta_{0,l} + \beta_{1,l} t + (\beta_{2, l}-1)Y_{t-1} + \varepsilon_{t} \\ &\equiv \beta_{0,d} + \beta_{1,d}t + \beta_{2,d}Y_{t-1} + \varepsilon_{t} \end{align}$$ $\mathfrak{H}_0{}:{}\beta_{2, d}=0$$\beta_{2, d}$

$\mathfrak{H}_0{}:{}[\beta_{2, d}, \beta_{1,l}]' = [0, 0]'$ur.dfurca

आइए कुछ उदाहरणों पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण

1. अमेरिकी निवेश श्रृंखला का उपयोग करना

पहला उदाहरण अमेरिकी निवेश श्रृंखला का उपयोग करता है जिसकी चर्चा लुत्केपोहल और क्रेट्जिग (2005, पृष्ठ 9) में की गई है । श्रृंखला का कथानक और इसका पहला अंतर नीचे दिया गया है।

$$\Delta Y_t = \beta_{0,d} + \beta_{2,d}Y_{t-1} + \sum_{j=1}^3 \gamma_j \Delta Y_{t-j} + \varepsilon_{t}$$ अंतर में प्रतिगमन समीकरण को निर्दिष्ट करने के लिए मैंने जिन महत्वपूर्ण बिंदुओं को देखा है उन पर ध्यान दें।

ऐसा करने के लिए R कोड नीचे दिया गया है:

    library(urca)
    library(foreign)
    library(zoo)

    tsInv <- as.zoo(ts(as.data.frame(read.table(
      "http://www.jmulti.de/download/datasets/US_investment.dat", skip=8, header=TRUE)), 
                       frequency=4, start=1947+2/4))
    png("USinvPlot.png", width=6,
        height=7, units="in", res=100)
    par(mfrow=c(2, 1))
    plot(tsInv$USinvestment)
    plot(diff(tsInv$USinvestment))
    dev.off()

    # ADF with intercept
    adfIntercept <- ur.df(tsInv$USinvestment, lags = 3, type= 'drift')
    summary(adfIntercept)

परिणाम इंगित करते हैं कि अनुमानित गुणांक के आधार पर टी-टेस्ट का उपयोग करके इस श्रृंखला के लिए गैरबराबरी की अशक्त परिकल्पना को खारिज किया जा सकता है। इंटरसेप्ट और ढलान गुणांक ( का संयुक्त एफ-परीक्षण$\mathfrak{H}{}:{}[\beta_{2, d}, \beta_{0,l}]' = [0, 0]'$

2. जर्मन (लॉग) खपत श्रृंखला का उपयोग करना

दूसरा उदाहरण (त्रैमासिक) खपत के जर्मन त्रैमासिक रूप से समायोजित समय श्रृंखला का उपयोग कर रहा है। श्रृंखला का कथानक और उसके अंतर नीचे दिए गए हैं।

$$\Delta Y_t = \beta_{0,d} + \beta_{1,d}t + \beta_{2,d}Y_{t-1} + \sum_{j=1}^4 \gamma_j \Delta Y_{t-j} + \varepsilon_{t}$$

ऐसा करने के लिए R कोड है

# using the (log) consumption series
tsConsump <- zoo(read.dta("http://www.stata-press.com/data/r12/lutkepohl2.dta"), frequency=1)
png("logConsPlot.png", width=6,
    height=7, units="in", res=100)
par(mfrow=c(2, 1))
plot(tsConsump$ln_consump)
plot(diff(tsConsump$ln_consump))
dev.off()

# ADF with trend
adfTrend <- ur.df(tsConsump$ln_consump, lags = 4, type = 'trend')
summary(adfTrend)

परिणाम इंगित करते हैं कि अनुमानित गुणांक के आधार पर टी-टेस्ट का उपयोग करके गैरबराबरी की अशांति को अस्वीकार नहीं किया जा सकता है। रेखीय प्रवृत्ति गुणांक और ढलान गुणांक का संयुक्त एफ-परीक्षण ($\mathfrak{H}{}:{}[\beta_{2, d}, \beta_{1,l}]' = [0, 0]'$) यह भी इंगित करता है कि गैरबराबरी की अशांति को अस्वीकार नहीं किया जा सकता है।

3. दिए गए तापमान डेटा का उपयोग करना

अब हम आपके डेटा के गुणों का आकलन कर सकते हैं। स्तरों और पहले अंतर में सामान्य भूखंड नीचे दिए गए हैं।

ये इंगित करते हैं कि आपके डेटा में एक अवरोधन और एक प्रवृत्ति है, इसलिए हम निम्नलिखित R कोड का उपयोग करके ADF परीक्षण (बिना किसी पहले अंतर के शब्दों के साथ) करते हैं।

# using the given data
tsTemp <- read.table(textConnection("temp 
64.19749  
65.19011  
64.03281  
64.99111  
65.43837  
65.51817  
65.22061  
65.43191  
65.0221  
65.44038  
64.41756  
64.65764  
64.7486  
65.11544  
64.12437  
64.49148  
64.89215  
64.72688  
64.97553  
64.6361  
64.29038  
65.31076  
64.2114  
65.37864  
65.49637  
65.3289  
65.38394  
65.39384  
65.0984  
65.32695  
65.28  
64.31041  
65.20193  
65.78063  
65.17604  
66.16412  
65.85091  
65.46718  
65.75551  
65.39994  
66.36175  
65.37125  
65.77763  
65.48623  
64.62135  
65.77237  
65.84289  
65.80289  
66.78865  
65.56931  
65.29913  
64.85516  
65.56866  
64.75768  
65.95956  
65.64745  
64.77283  
65.64165  
66.64309  
65.84163  
66.2946  
66.10482  
65.72736  
65.56701  
65.11096  
66.0006  
66.71783  
65.35595  
66.44798  
65.74924  
65.4501  
65.97633  
65.32825  
65.7741  
65.76783  
65.88689  
65.88939  
65.16927  
64.95984  
66.02226  
66.79225  
66.75573  
65.74074  
66.14969  
66.15687  
65.81199  
66.13094  
66.13194  
65.82172  
66.14661  
65.32756  
66.3979  
65.84383  
65.55329  
65.68398  
66.42857  
65.82402  
66.01003  
66.25157  
65.82142  
66.08791  
65.78863  
66.2764  
66.00948  
66.26236  
65.40246  
65.40166  
65.37064  
65.73147  
65.32708  
65.84894  
65.82043  
64.91447  
65.81062  
66.42228  
66.0316  
65.35361  
66.46407  
66.41045  
65.81548  
65.06059  
66.25414  
65.69747  
65.15275  
65.50985  
66.66216  
66.88095  
65.81281  
66.15546  
66.40939  
65.94115  
65.98144  
66.13243  
66.89761  
66.95423  
65.63435  
66.05837  
66.71114"), header=T)
tsTemp <- as.zoo(ts(tsTemp, frequency=1))

png("tempPlot.png", width=6,
    height=7, units="in", res=100)
par(mfrow=c(2, 1))
plot(tsTemp$temp)
plot(diff(tsTemp$temp))
dev.off()

# ADF with trend
adfTrend <- ur.df(tsTemp$temp, type = 'trend')
summary(adfTrend)

टी-टेस्ट और एफ-टेस्ट दोनों के परिणामों से संकेत मिलता है कि तापमान श्रृंखला के लिए गैरबराबरी की अशांति को खारिज किया जा सकता है। मुझे उम्मीद है कि मामला कुछ हद तक स्पष्ट होगा।

Comments

यह स्टैक एक्सचेंज नेटवर्क पर मुझे प्राप्त हुए सबसे स्पष्ट और सबसे उपयोगी उत्तरों में से एक है और यह वास्तव में डीएफ परीक्षणों के बारे में मेरी उलझन को सीधा करता है। धन्यवाद।

— रिकार्डो अल्टामिरानो

@RicardoAltamirano आपका स्वागत है। मैं खुशी से मदद कर सकता है।

— tchakravarty

सहमत हूँ यह एक बहुत अच्छा जवाब है।

— आरएएच

Answer 2

डिकी-फुलर परीक्षण में शून्य परिकल्पना यह है कि एक प्रक्रिया में एक इकाई जड़ है। इसलिए जब आप अशक्तता को अस्वीकार करते हैं, तो आप पाते हैं कि आपकी प्रक्रिया स्थिर है (परिकल्पना परीक्षण के सामान्य गुहाओं के साथ)।

अपने गणित के बारे में, विस्तार

$$\nabla y_t=\alpha_0+\alpha_1 t+\delta y_{t-1}+u_t$$

इसका मतलब यह नहीं है $\nabla y_t$एक प्रवृत्ति है। यह कहने के लिए कि प्रक्रिया में एक प्रवृत्ति है, इसकी परिभाषा में केवल उस प्रक्रिया को शामिल करना चाहिए। पिछले समीकरण में आपके पास है$\nabla y_t$ एक तरफ, और $y_{t-1}$दूसरे पर। जब आप व्यक्त करते हैं$y_{t-1}$ के अनुसार $\nabla y_{t-1}$ आप सही ढंग से इस निष्कर्ष पर आते हैं कि यदि प्रारंभिक प्रक्रिया स्थिर है, तो अलग-अलग प्रक्रिया में कोई रुझान नहीं है।

Answer 3

पिछले उत्तर उत्कृष्ट थे।

आप आमतौर पर निर्णय लेते हैं कि किस आधार पर प्लॉट के आधार पर परीक्षण करना है। इस स्थिति में, डेटा एक अवरोधन और प्रवृत्ति है।

यदि आप स्तरों में एक यूनिट-रूट के लिए परीक्षण करते हैं, तो आप एक अवरोधन और प्रवृत्ति मॉडल का उपयोग करेंगे। यदि आप अंतर में परीक्षण चलाते हैं, तो आप सिर्फ एक अवरोधन मॉडल का उपयोग करेंगे।

मैंने सिर्फ इस सवाल का जवाब दिया क्योंकि मुझे आपको इस डेटा पर मौसमी परीक्षणों का उपयोग करने की सिफारिश करनी चाहिए। ये परीक्षण वास्तव में जटिल हैं (मौसमी के साथ काम करना आसान नहीं है)। हालांकि, डेटा की प्रकृति (तापमान) और क्योंकि साजिश में आप कुछ मौसमी व्यवहार का निरीक्षण कर सकते हैं। फिर, आपको HEGY परीक्षण पर शोध करना चाहिए और इसे लागू करना चाहिए यदि आप अपने अनुमानों को मजबूत करना चाहते हैं।