द्विपद और पॉसन यादृच्छिक योगों का योग

Question

अगर हमारे पास दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर और , तो का संभाव्यता द्रव्यमान क्या है ?एक्स 2 ~ पी ओ मैं रों ( λ ) एक्स 1 + एक्स $X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$$X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$$X_1 + X_2$

NB यह मेरे लिए होमवर्क नहीं है।

Comments

मुझे लगता है कि आपने समझाने की कोशिश की? en.wikipedia.org/wiki/… आप कहाँ अटक गए? मुझे लगता है कि कोई बंद रूप नहीं है, अन्यथा समाधान शायद यहाँ होगा: en.wikipedia.org/wiki/…

— Stephan Kolassa

हां, यही मैंने कोशिश की, लेकिन शायद मुझे यहां एक जवाब मिल गया है: mathstatica.com/SumBinomialPoisson Kummer कंफर्टेबल हाइपरोमेट्रिक फंक्शन..हुग !

— मैटेयो फासिओलो

मैंने इस साइट पर इसके उपयोग के अनुसार होमवर्क टैग पढ़ा है । चीयर्स। :-)

— कार्डिनल

उपन्यास का अर्थ है नया (पहले ज्ञात नहीं या प्रकाशित नहीं)। मैं इस बात से भी सहमत नहीं हूं कि नई समस्याओं को हल करने के लिए ज्ञात तरीकों का उपयोग करने से यह होमवर्क हो जाता है - वितरण के लिए परिणाम प्रकाशित करने वाले जर्नल लेखों के बहुमत के लिए भी यही कहा जा सकता है।

— वुल्फिज

जैसा कि आँकड़ों में कई अन्य मामलों में होता है जहाँ एक हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन अभिन्न तर्कों के साथ प्रकट होता है, आप इसे समझ सकते हैं कि यदि आप चाहें तो सजा में निहित (परिमित) राशि के लिए एक शॉर्टहैंड नोटेशन हो सकता है। इस तरह की अभिव्यक्ति का लाभ यह है कि इसे सरल रूपों में हेरफेर करने के असंख्य तरीके हैं और अक्सर मूल्यांकन किए बिना ही मूल्यांकन किया जा सकता है।

— whuber

Answer 1

आप लिए दो अलग-अलग फ़ार्मुलों को समाप्त करेंगे , एक , और एक । इस समस्या को करने का सबसे आसान तरीका यह है कि आप और । फिर, उत्पाद में का गुणांक है । रकम का कोई सरलीकरण संभव नहीं है।0 ≤ कश्मीर < n कश्मीर ≥ n Σ n मैं = 0 पी एक्स 1 ( मैं ) z कश्मीर Σ ∞ j = 0 पी एक्स 2 ( जे $p_{X_1+X_2}(k)$$0 \leq k < n$$k \geq n$$\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$पी एक्स 1 + एक्स 2 ( k ) z $\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$$p_{X_1+X_2}(k)$$z^k$

Answer 2

सामान्यीकृत हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शंस (जीएचएफ) के संदर्भ में बंद सूत्र देते हुए अन्य उत्तरों में संकेत दिया गया (इस मामले में जीएचएफ वास्तव में केवल एक परिमित बहुपद है, इसलिए परिमित राशि के लिए एक आशुलिपि है।) मैंने भी दोषी को योग करने के लिए मेपल दिया। यह परिणाम:

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$$

Answer 3

दिलीप सरवटे ने 7 साल पहले कहा था कि कोई सरलीकरण संभव नहीं है, हालांकि इसे टिप्पणियों में चुनौती दी गई है। हालांकि, मुझे लगता है कि यह ध्यान रखना उपयोगी है कि किसी भी सरलीकरण के बिना किसी भी स्प्रेडशीट या प्रोग्रामिंग भाषा में गणना काफी सीधी है।

यहाँ आर में एक कार्यान्वयन है:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]

Comments

दिलीप ने यह नहीं दिखाया कि रकम का कोई सरलीकरण संभव नहीं है: उन्होंने कहा कि इस तरह के दावे (और दावा सही प्रतीत नहीं होता है)। यदि आप ओपी द्वारा दिए गए लिंक का पालन करते हैं, तो कुमेर संगम हाइपरोमेट्रिक फ़ंक्शन के संदर्भ में एक समाधान प्रदान किया जाता है।

— वुल्फिज

@wolfies - कि इस पुराने सवाल के एक नए जवाब में एक बहुत ही दिलचस्प बिंदु होगा। शायद मेरी तुलना में अधिक दिलचस्प है।

— पेयर

द्विपद में बड़े एन के लिए संभावित रूप से तेज़ दृष्टिकोण, और बड़े लैंबडा में तेजी से फूरियर रूपांतरण (या समान) शामिल होगा। मैंने इसे कई वास्तविक दुनिया की समस्याओं पर सफलतापूर्वक उपयोग किया है, जहाँ पर रूपांतरण बीजीय रूप से सुविधाजनक नहीं है, लेकिन संख्यात्मक उत्तर पर्याप्त हैं, और जहां कई स्वतंत्र संस्करण जोड़े जा रहे हैं।

— Glen_b -Reinstate Monica

Re @ Glen_b की टिप्पणी, और बड़े मूल्यों के लिए यह पाशविक बल संलक्षण बोझिल हो जाता है। इसके अलावा, चुनौती इसे लागू करने के लिए नहीं है, लेकिन सरणी की गणना के लिए उपयुक्त समापन बिंदुओं को खोजने के लिए : 10 पर फिक्सिंग स्पष्ट रूप से इसे काट नहीं करेगी। एक विश्वसनीय तरीका वितरण के चरम प्रतिशत पर सेट करना है, जैसे कि , फिर की सीमा के लिए गणना करें , और फिर बाहरी उत्पाद के साथ आगे बढ़ने से पहले परिणामों (साथ ) को काट लें । जब बड़ा होता है, तो द्विपद संभावनाओं के लिए एक समान प्रक्रिया लागू करें। $n$$\lambda$dpoisxxx<-qpois(0:1+c(1,-1)*1e-6, lambda)dpoisxzapsmalln

— whuber

वास्तव में। मैंने अपने स्वयं के अनुप्रयोग के साथ कुछ ऐसा ही किया - पर्याप्त रूप से बाहर जाने पर आवश्यक मात्राओं को उतना ही सही दिया जितना कि आवश्यक था।

— Glen_b -Reinstate मोनिका