सामान्य के अलावा अन्य वितरण जहां माध्य और विचरण स्वतंत्र हैं

Question

मैं सोच रहा था कि क्या कोई वितरण सामान्य के अलावा जहां माध्य और विचरण एक दूसरे से स्वतंत्र हैं (या दूसरे शब्दों में, जहाँ विचरण माध्य का कार्य नहीं है)।

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मुझे यकीन नहीं है कि मैं सवाल को सही ढंग से समझ पाऊंगा। क्या आप पूछ रहे हैं कि क्या सामान्य से अलग कोई वितरण हैं जो पूरी तरह से माध्य और विचरण द्वारा निर्दिष्ट हैं? कुछ अर्थों में, विचरण मतलब का एक कार्य है क्योंकि यह माध्य के चारों ओर फैलाव का एक माप है लेकिन मुझे लगता है कि यह आपके दिमाग में नहीं है।

आप नमूना माध्य का मतलब और नमूना विचरण स्वतंत्र हैं। अच्छा प्रश्न ! शायद एक गाऊसी यादृच्छिक चर पेश करने से स्वतंत्रता बनी रहेगी? $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

— रॉबिन जिरार्ड 18

श्रीकांत सही कह रहे हैं। यदि प्रश्न "नमूना माध्य और विचरण" के बारे में पूछ रहा है, तो उत्तर "नहीं" है। यदि सवाल जनसंख्या माध्य और विचरण के बारे में है, तो इसका उत्तर हां में है; डेविड नीचे अच्छे उदाहरण देता है।

बस स्पष्ट करने के लिए, मेरा क्या मतलब है। सामान्य वितरण के लिए माध्य और विचरण पूरी तरह से वितरण की विशेषता है और का कार्य नहीं है । कई अन्य वितरणों के लिए, ऐसा नहीं है। उदाहरण के लिए, द्विपद वितरण के लिए, हमारे पास माध्य और विचरण , इसलिए विचरण माध्य का एक कार्य है। अन्य उदाहरण पैरामीटर (स्केल) और (आकार) के साथ गामा वितरण हैं , जहां माध्य और विचरण , इसलिए विचरण वास्तव मेंσ 2 σ 2 μ π n π ( 1 - π ) θ κ μ = κ θ κ टी एच ई टी एक 2 μ $\mu$$\sigma^2$$\sigma^2$$\mu$$\pi$$n\pi(1-\pi)$$\theta$$\kappa$$\mu = \kappa \theta$$\kappa theta^2$$\mu \theta$।

— वोल्फगैंग

कृपया अपने प्रश्न को संशोधित करने पर विचार करें, क्योंकि आपके द्वारा पसंदीदा उत्तर के रूप में जाँच की गई प्रतिक्रिया प्रश्न का उत्तर नहीं देती है क्योंकि यह (और दूसरा प्रश्न) है। वर्तमान में आप "स्वतंत्र" शब्द का उपयोग कर रहे हैं। गामा के साथ आपका उदाहरण यह दर्शाता है: एक गामा को माध्य (mu) और विचरण (सिग्मा) के संदर्भ में बदल सकता है, क्योंकि हम थीटा = सिग्मा / म्यू और कप्पा = म्यू 2 या सिग्मा को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, मापदंडों की कार्यात्मक "स्वतंत्रता" आमतौर पर अर्थहीन है (एकल-पैरामीटर परिवारों को छोड़कर)।

— whuber

Answer 1

नोट: कृपया @ जी द्वारा उत्तर पढ़ें। जे कर्न्स, और कारलिन और लुईस 1996 या उम्मीद के मूल्य की गणना पर पृष्ठभूमि के लिए अपने पसंदीदा संभावना संदर्भ देखें और एक यादृच्छिक चर के दूसरे क्षण के रूप में विचरण करते हैं।

कार्लिन और लुईस (1996) में परिशिष्ट ए का एक त्वरित स्कैन निम्नलिखित वितरण प्रदान करता है जो इस संबंध में सामान्य के समान हैं, जिसमें समान वितरण मापदंडों का उपयोग माध्य और विचरण की गणना में नहीं किया जाता है। जैसा कि @robin द्वारा बताया गया है, जब एक नमूने से पैरामीटर अनुमानों की गणना करते हैं, तो नमूने का अर्थ सिग्मा की गणना करना आवश्यक है।

बहुभिन्नरूपी सामान्य

$$E(X) = \mu$$ $$Var(X) = \Sigma$$

टी और बहुभिन्नरूपी टी:

$$E(X) = \mu$$ $$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$$

डबल घातांक:

$$E(X) = \mu$$ $$Var(X) = 2\sigma^2$$

कॉची: कुछ योग्यता के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि कॉची का माध्य और विचरण निर्भर नहीं है।

$E(X)$ और मौजूद नहीं हैं$Var(X)$

संदर्भ

कारलिन, ब्रैडली पी।, और थॉमस ए लुई। 1996. डेटा विश्लेषण, 2 एड के लिए बेयर्स और एम्पिरिकल बेज़ मेथड्स। चैपमैन और हॉल / सीआरसी, न्यूयॉर्क

Comments

में किसी भी स्थान पैमाने पर परिवार मतलब और विचरण इस फैशन में कार्यात्मक रूप से स्वतंत्र हो जाएगा!

— व्हिबर

डेविड, डबल घातीय एक उत्कृष्ट उदाहरण है। धन्यवाद! मैंने उस एक के बारे में नहीं सोचा था। टी-वितरण भी एक अच्छा उदाहरण है, लेकिन ई (एक्स) = 0 और वर (एक्स) = वी / (वी -2) नहीं है? या कारलिन एट अल। (1996) टी-डिस्ट्रीब्यूशन के एक सामान्यीकृत संस्करण को परिभाषित करता है जिसे इसके माध्य में स्थानांतरित किया जाता है और सिग्मा ^ 2 द्वारा स्केल किया जाता है?

— वोल्फगैंग

आप सही हैं, टी-डिस्ट्रीब्यूशन को अक्सर माध्य = 0 और विचरण = 1 के साथ प्रदर्शित किया जाता है, लेकिन कारलिन और लुई द्वारा प्रदान किए गए टी के लिए सामान्य पीडीएफ में स्पष्ट रूप से सिग्मा और म्यू दोनों शामिल हैं; nu पैरामीटर सामान्य और t के बीच अंतर के लिए खाता है।

— डेविड लेबॉउर

Answer 2

वास्तव में, जवाब "नहीं" है। नमूना माध्य और भिन्नता की स्वतंत्रता सामान्य वितरण की विशेषता है। यह यूजीन ल्यूकस द्वारा "ए कैरेक्टरलाइजेशन ऑफ द नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन", द एनल्स ऑफ मैथमेटिकल स्टैटिस्टिक्स, वॉल्यूम में दिखाया गया था । 13, नंबर 1 (मार्च, 1942), पीपी 91-93।

मुझे यह पता नहीं था, लेकिन फेलर, "इंट्रोडक्शन टू प्रोबेबिलिटी थ्योरी एंड इट्स एप्लीकेशंस, वॉल्यूम II" (1966, पृष्ठ 86) कहते हैं कि आरसी गीरी ने यह साबित भी किया।

Comments

@onestop मुझे लगता है कि यह मेरी उम्र की एक दुर्भाग्यपूर्ण कलाकृति है। यह कहना एक समझ में नहीं आता है कि फेलर की किताबों में क्रांति हुई कि दुनिया भर में संभावनाएं कितनी हैं। हमारी आधुनिक धारणा का एक बड़ा हिस्सा उसके कारण है। दशकों तक, उनकी पुस्तकें अध्ययन करने की संभावना पुस्तकें थीं। शायद वे अभी भी होना चाहिए। BTW: मैंने उन लोगों के लिए शीर्षक जोड़ा है जिन्होंने उनकी पुस्तकों के बारे में नहीं सुना है।

मैंने अन्य मजेदार

— रॉबिन

जे, लुकास द्वारा कागज के संदर्भ के लिए धन्यवाद, जो अच्छी तरह से दर्शाता है कि नमूना माध्य और विचरण के नमूने वितरण सामान्य वितरण के लिए केवल स्वतंत्र हैं। दूसरे केंद्रीय क्षण के लिए, कुछ वितरण हैं जहां यह पहले क्षण का कार्य नहीं है (डेविड ने कुछ अच्छे उदाहरण दिए हैं)।

— वोल्फगैंग

गैरी, आरसी (1936), "नॉन-नॉर्मल सैंपल के लिए 'स्टूडेंट'ज़ रेश्यो का वितरण," जर्नल ऑफ़ द रॉयल स्टैटिस्टिकल सोसाइटी, सप्ल। 3, 178–184।

— vqv