Var (X) ज्ञात है, Var (1 / X) की गणना कैसे करें?

यदि मेरे पास केवल , तो मैं गणना कैसे कर सकता हूं ? $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$

मुझे के वितरण के बारे में कोई जानकारी नहीं है $X$ , इसलिए मैं परिवर्तन, या किसी अन्य तरीके का उपयोग नहीं कर सकता हूं जो के प्रायिकता वितरण का उपयोग करता है $X$ ।

distributions variance data-transformation

— एक चूहा
स्रोत

मुझे लगता है कि यह आपकी मदद कर सकता है।

— क्रिस्टोफ_जे

यह असंभव है।

यादृच्छिक चर के एक अनुक्रम पर विचार करें $X_n$ , जहां

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0.5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

फिर:

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

लेकिन शून्य तक पहुंचता है क्योंकि अनंत तक जाता है: $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $n$

V a r (\frac{1}{X_{n}}) = {(0.5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

इस उदाहरण तथ्य यह है कि का उपयोग करता है के अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय है , लेकिन नहीं है। $\Var(X)$ $X$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

लेकिन भले ही हम मान लेते हैं , हम गणना नहीं कर सकते : चलो $\mathrm{E}(X)=0$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

P (X_{n} = - 1) = P (X_{n} = 1) = 0.5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

तथा

P (X_{n} = 0) = \frac{1}{n} for n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

तब के रूप में दृष्टिकोण 1 अनंत को जाता है, लेकिन सभी के लिए । $\Var(X_n)$ $n$ $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

— mogron
स्रोत

आप एक परिवर्तित रैंडम वेरिएबल के निम्न क्रम के क्षणों का अनुमान प्राप्त करने के लिए टेलर सीरीज़ का उपयोग कर सकते हैं। यदि वितरण माध्य (एक विशेष अर्थ में) के आसपास काफी 'तंग' है, तो अनुमान बहुत अच्छा हो सकता है।

इसलिए उदाहरण के लिए

g (X) = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

इसलिए

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

अक्सर केवल पहला शब्द लिया जाता है

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

इस मामले में (मान लें कि मैंने कोई गलती नहीं की), , । $g(X)=\frac{1}{X}$ $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

विकिपीडिया: बेतरतीब चर के कार्यों के लिए टेलर विस्तार

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इसे उदाहरण देने के लिए कुछ उदाहरण। मैं आर में दो (गामा-वितरित) नमूने उत्पन्न करूंगा, एक माध्य के बारे में 'नॉट-सो-टाइट' वितरण के साथ और थोड़ा हल्का।

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

सन्निकटन से पता चलता है कि करीब होना चाहिए $1/a$ $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

बीजगणितीय गणना में कहा गया है कि वास्तविक जनसंख्या विचरण $1/648 \approx 0.00154$

अब तंग एक के लिए:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

सन्निकटन से पता चलता है कि करीब होना चाहिए $1/a$ $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

बीजीय गणना से पता चलता है कि पारस्परिक की जनसंख्या भिन्नता । $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

ध्यान दें कि इस मामले में, एक बहुत ही कमजोर परिकल्पना इस निष्कर्ष की ओर ले जाती है कि लिए कोई माध्य (सेंस वेरिएशन) मौजूद नहीं होगा, अर्थात, उत्तर में सन्निकटन बल्कि भ्रामक होगा। :-) एक उदाहरण परिकल्पना यह है कि में एक घनत्व जो कि शून्य के आसपास एक अंतराल में होता है और ऐसा । तब परिणाम निम्नानुसार है क्योंकि घनत्व कुछ अंतराल पर शून्य से दूर हो जाएगा । बस दी गई परिकल्पना सबसे कमजोर संभव नहीं है, निश्चित रूप से।

1 / X

$1/X$

X

$X$

f

$f$

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$

— कार्डिनल

टेलर श्रृंखला का तर्क तब विफल हो जाता है क्योंकि शेष (त्रुटि) शब्द को छुपाता है, जो इस स्थिति में और यह आसपास बुरा व्यवहार करता है ।

\approx

$\approx$

R (x, μ) = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$

x = 0

$x = 0$

— कार्डिनल

एक को वास्तव में 0. के पास घनत्व के व्यवहार के बारे में सावधान रहना चाहिए। ध्यान दें कि उपरोक्त गामा उदाहरणों में, व्युत्क्रम का वितरण उलटा गामा है, जिसके लिए एक परिमित माध्य होने के लिए आवश्यकता होती है ( आकार पैरामीटर होने के नाते) गामा हम अशुभ कर रहे हैं)। दो उदाहरणों में और । यहां तक कि (inverting के लिए "अच्छा" वितरण के साथ) उच्च पदों की उपेक्षा एक ध्यान देने योग्य पूर्वाग्रह का परिचय दे सकती है।

α > 1

$\alpha>1$

α

$\alpha$

α = 10

$\alpha = 10$

α = 100

$\alpha = 100$

— Glen_b -Reinstate Monica

यह सही दिशा में लगता है, एक पारस्परिक मानक सामान्य वितरण के बजाय एक पारस्परिक रूप से स्थानांतरित सामान्य वितरण: en.wikipedia.org/wiki/…

— फेलिप जी। निवेन्स्की