एक पतनशील मोंटी के साथ मोंटी हॉल समस्या

Question

मोंटी को इस बात की पूरी जानकारी थी कि क्या इसके पीछे डोर का बकरा था (या खाली था)। यह तथ्य प्लेयर को "अनुमान" को दूसरे दरवाजे पर स्विच करके समय के साथ उसकी सफलता दर को दोगुना करने की अनुमति देता है। क्या होगा अगर मोंटी का ज्ञान पूर्ण से कम था? क्या होगा यदि कभी-कभी पुरस्कार वास्तव में उसी डोरवे में बकरी के रूप में जीता था? लेकिन आप इसे तब तक नहीं देख सकते थे जब तक आप अपना दरवाजा नहीं खोलते? क्या आप मुझे यह समझने में मदद कर सकते हैं कि आईएफ की गणना कैसे करें और कितने से - खिलाड़ी मोंटी की सटीकता दर 100% से कम होने पर उसकी सफलता में सुधार कर सकता है? उदाहरण के लिए: क्या होगा यदि मोंटी गलत है - समय के औसत -50% पर? क्या खिलाड़ी अपने गेस / डोर को स्विच करने से लाभ उठा सकता है? मुझे लगता है कि अगर मोंटी के पास 33.3% से कम होने की संभावना सही है कि पुरस्कार दरवाजे के पीछे नहीं है, तो खिलाड़ी का सबसे अच्छा विकल्प अपनी दरवाजा पसंद को स्विच नहीं करना है। क्या आप मुझे दरवाजे के पीछे न होने वाले पुरस्कार के बारे में सही होने की मोंटी की विभिन्न संभावनाओं को सम्मिलित करके स्विच करने के संभावित लाभ की गणना करने का एक तरीका प्रदान कर सकते हैं? मेरे पास हाई स्कूल गणित से परे कुछ भी नहीं है, और मैं 69 साल का हूं, इसलिए कृपया कोमल रहें।

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प्रदान की गई अंतर्दृष्टि और सूत्र के लिए धन्यवाद। ऐसा प्रतीत होता है कि यदि "फॉलिबल मोंटी" पुरस्कार / कार की अनुपस्थिति की भविष्यवाणी करने में केवल 66% सटीक है कि आपके मूल विकल्पों के दरवाजे से स्विच करने के लिए शून्य लाभ है .... क्योंकि उसकी 33% त्रुटि दर डिफ़ॉल्ट है किसी भी दरवाजे के पीछे पुरस्कार के लिए आधार दर। हालांकि, मान लिया जाता है कि अगर मोंटी 66% से बेहतर हो जाता है, तो यह अनुमान लगाने में कि जहां कोई लाभ नहीं है, स्विचिंग अधिक उपयोगिता प्राप्त करता है। मैं इस तर्क को एक ऐसे खेल में लागू करने की कोशिश करूंगा जहां एक "विशेषज्ञ" एक "विशेषज्ञ भविष्यवाणी" करता है कि तीन मोटे तौर पर समान रूप से संभावित विकल्पों में से एक सही होगा। मुझे एक्सपर्ट के सही होने पर बहुत कम विश्वास है, और मुझे पूरा विश्वास है कि उसकी "हिट रेट" 33% से कम होगी - 15% से अधिक। इससे मेरा निष्कर्ष यह होगा कि जब "मेरे जैसे ही विकल्प, मैं निश्चित रूप से गलत हूं, और अन्य दो में से एक को बदलना चाहिए! ;-)

Comments

यदि मोंटी की सटीकता 100% से कम है, तो क्या इसका मतलब है कि वह कभी-कभी इसके पीछे पुरस्कार के साथ दरवाजा खोलता है? यदि हां, तो आपको शायद उस दरवाजे को चुनना चाहिए।

— फैक्स

Answer 1

चलो नियमित मोंटी हॉल समस्या के साथ शुरू करते हैं। तीन दरवाजे, जिनमें से एक कार के पीछे है। अन्य दो उनके पीछे बकरियां हैं। आप दरवाजा नंबर 1 चुनते हैं और मोंटी दरवाजा नंबर 2 खोलता है ताकि आपको पता चल सके कि उसके पीछे एक बकरी है। क्या आपको अपना अनुमान दरवाजा संख्या 3 पर स्विच करना चाहिए? (ध्यान दें कि हम प्रत्येक दरवाजे को संदर्भित करने के लिए जिन नंबरों का उपयोग करते हैं, वे यहां कोई मायने नहीं रखते। हम कोई भी आदेश चुन सकते हैं और समस्या समान है, इसलिए चीजों को सरल बनाने के लिए हम इस नंबरिंग का उपयोग कर सकते हैं।)

पाठ्यक्रम का उत्तर हां है, जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, लेकिन आइए गणनाओं के माध्यम से देखें कि वे बाद में कैसे बदलते हैं। बता दें कि $C$ कार के साथ दरवाजे का सूचकांक है और $M$ उस घटना को दर्शाता है जो मोंटी ने खुलासा किया कि दरवाजे 2 में एक बकरी है। हमें $p(C=3|M)$ गणना करने की आवश्यकता है । यदि यह तुलना में बड़ा है $1/2$ , हम उस दरवाजे पर हमारे अनुमान स्विच करने के लिए (के बाद से हम केवल दो शेष विकल्प हैं) की जरूरत है। यह संभाव्यता दी गई है:

$$p(C=3|M)=\frac{p(M|C=3)}{p(M|C=1)+p(M|C=2)+p(M|C=3)}$$ (यह सिर्फ$C$पूर्व एक फ्लैट के साथ Bayes का नियम लागू कर रहाहै।)$p(M|C=3)$बराबर 1: अगर कार दरवाजा नंबर 3 के पीछे है, तो मोंटी के पास दरवाजा नंबर 2 खोलने के अलावा कोई चारा नहीं था। $p(M|C=1)$बराबर$1/2$ : कार के दरवाजे 1 के पीछे है, तो मोंटी उद्घाटन के एक विकल्प या तो शेष दरवाजे में से एक, 2 या 3 था$p(M|C=2)$ 0 के बराबर होती है, क्योंकि मोंटी कभी नहीं दरवाजा वह जानता है कि है खोलता है गाड़ी। इन नंबरों को भरने से हमें मिलता है: $$p(C=3|M)=\frac{1}{0.5+0+1}=\frac{2}{3}$$ कौन सा परिणाम है जिससे हम परिचित हैं।

अब आइए इस मामले पर विचार करें कि मोंटी को इस बात का सही ज्ञान नहीं है कि किस दरवाजे पर कार है। इसलिए, जब वह अपना दरवाजा चुनता है (जिसे हम दरवाजा नंबर 2 के रूप में संदर्भित करेंगे), तो वह गलती से कार के साथ एक का चयन कर सकता है, क्योंकि उसे लगता है कि यह एक बकरी है। चलो $C'$ दरवाजा मोंटी कि हो सोचता है कि कार है, और जाने $p(C'|C)$ संभावना है कि वह कार सोचता है, इसकी वास्तविक स्थान पर सशर्त एक निश्चित जगह में है हो सकता है। हम मान लेंगे कि यह एक एकल पैरामीटर $q$ द्वारा वर्णित है जो उसकी सटीकता निर्धारित करता है, जैसे कि: $p(C'=x|C=x) = q = 1-p(C'\neq x|C=x)$ । यदि$q$ 1 के बराबर है, तो मोंटी हमेशा सही होता है। यदि$q$ 0 है, तो मोंटी हमेशा गलत होता है (जो अभी भी जानकारीपूर्ण है)। यदि$q$ है$1/3$ , मोंटी की जानकारी यादृच्छिक अनुमान लगाने के अलावा कोई बेहतर है।

इस का मतलब है अब हम है:

$$p(M|C=3) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=3)$$ $$= p(M|C'=1)p(C'=1|C=3) + p(M|C'=2)p(C'=2|C=3) + p(M|C'=3)p(C'=3|C=3)$$ $$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(1-q) + 0\times \frac{1}{2}(1-q) + 1 \times q$$ $$= \frac{1}{4} - \frac{q}{4} + q = \frac{3}{4}q+\frac{1}{4}$$

यही है, अगर कार सही मायने में दरवाजे 3 के पीछे थी, तो तीन संभावनाएं थीं जो बाहर खेल सकती थीं: (1) मोंटी ने सोचा कि यह 1 से पीछे है, (2) मोंटी ने सोचा 2 या (3) मोंटी ने सोचा 3. आखिरी विकल्प होता है प्रायिकता $q$ (कितनी बार वह इसे सही करता है) के साथ, अन्य दो इस संभावना को विभाजित करते हैं कि वह उनके बीच गलत $(1-q)$ हो जाता है । फिर, प्रत्येक परिदृश्य को देखते हुए, क्या संभावना है कि उसने दरवाजा नंबर 2 को इंगित करने के लिए चुना होगा, जैसा उसने किया था? अगर उसे लगा कि कार 1 से पीछे है, तो संभावना 2 में 1 थी, क्योंकि वह 2 या 3 को चुन सकता था। अगर उसे लगा कि यह 2 से पीछे है, तो उसने कभी भी 2 पर नहीं चुना होगा। अगर उसे लगा कि यह 3 से पीछे है , वह हमेशा 2 चुनता था।

हम इसी तरह शेष संभावनाओं बाहर काम कर सकते हैं:

$$p(M|C=1) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=1)$$ $$=\frac{1}{2}\times q + 1\times \frac{1}{2}(1-q)$$ $$=\frac{q}{2}+\frac{1}{2}-\frac{q}{2}=\frac{1}{2}$$

$$p(M|C=2) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=2)$$ $$=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}(1-q) + 1 \times\frac{1}{2}(1-q)$$ $$=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}q$$

यह सब भरने में, हमें मिलता है:

$$p(C=3|M)=\frac{\frac{3}{4}q+\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}q+\frac{3}{4}q+\frac{1}{4}}$$ $$=\frac{0.75q+0.25}{1.5}$$ एक पवित्रता की जाँच के रूप में, जब$q=1$, हम देख सकते हैं कि हमें1का मूल उत्तर वापस मिल गया है$\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$ ।

तो, हमें कब स्विच करना चाहिए? मैं सरलता के लिए मानूंगा कि हमें दरवाजे पर जाने की अनुमति नहीं है मोंटी ने इशारा किया। और वास्तव में, जब तक मोंटी कम से कम कुछ हद तक सही होने की संभावना है (यादृच्छिक अनुमान की तुलना में अधिक), वह जिस दरवाजे की ओर इशारा करता है वह हमेशा दूसरों की तुलना में कार होने की संभावना कम होगी, इसलिए यह एक व्यवहार्य विकल्प नहीं है हमारे लिए वैसे भी। इसलिए हमें केवल दरवाजों 1 और 3 की संभावनाओं पर विचार करना होगा। जबकि यह कार 2 दरवाजे के पीछे होना असंभव था, इस विकल्प में अब गैर-शून्य संभावना है, और इसलिए अब ऐसा नहीं है कि हमें स्विच करना चाहिए जब $p(C=3|M)>0.5$ , बल्कि हम स्विच कर लेना चाहिए जब $p(C=3|M)>p(C=1|M)$ (जो एक ही चीज़ हुआ करता था)। यह संभाव्यता p ( C = 1 | M ) = 0.5 द्वारा दी गई है$p(C=1|M)=\frac{0.5}{1.5}=\frac{1}{3}$ , मूल मोंटी हॉल समस्या के रूप में ही। (यह समझ में आता है क्योंकि मोंटी कभी भी दरवाजे 1 की ओर इशारा नहीं कर सकता, इसके बावजूद कि इसके पीछे क्या है, और इसलिए वह उस दरवाजे के बारे में जानकारी नहीं दे सकता। बल्कि, जब उसकी सटीकता 100% से कम हो जाती है, तो प्रभाव यह है कि कुछ संभावना "लीक" की ओर होती है। 2 वास्तव में कार है।) इसलिए, हमें$q$को खोजने की आवश्यकता हैजैसे कि$p(C=3|M) > \frac{1}{3}$ :

$$\frac{0.75q+0.25}{1.5}>\frac{1}{3}$$ $$0.75q+0.25 > 0.5$$ $$0.75q > 0.25$$ $$q > \frac{1}{3}$$ इसलिए मूल रूप से, यह पता लगाने का एक बहुत लंबा तरीका था कि, जब तक कार के असली स्थान के बारे में मोंटी का ज्ञान यादृच्छिक अनुमान से बेहतर है, आपको दरवाजे स्विच करना चाहिए (जो वास्तव में स्पष्ट है, जब आप सोचते हैं यह)। हम यह भी गणना कर सकते हैं कितना अधिक संभावना है कि हम जीतने के लिए जब हम स्विच मोंटी की सटीकता के एक समारोह के रूप में, के रूप में यह द्वारा दिया जाता है कर रहे हैं,: $$\frac{p(C=3|M)}{p(C=1|M)}$$ $$=\frac{\frac{0.75q+0.25}{1.5}}{\frac{1}{3}}=1.5q+0.5$$ (जो, जब$q=1$, 2 का उत्तर देता है, इस तथ्य से मेल खाता है कि हम मूल मोंटी हॉल समस्या में दरवाजे स्विच करके जीतने की हमारी संभावनाओं को दोगुना करते हैं।)

संपादित करें: लोग उस परिदृश्य के बारे में पूछ रहे थे जहां हमें उस दरवाजे पर स्विच करने की अनुमति दी जाती है जिसे मोंटी इंगित करता है, जो q < 1 होने पर लाभप्रद हो जाता है$q<\frac{1}{3}$ , यानी जब मोंटी एक (कुछ हद तक) विश्वसनीय "झूठा" है। सबसे चरम परिदृश्य में, जब$q=0$, इसका मतलब यह है कि मोंटी को लगता है कि वास्तव में कार में बकरी है। हालांकि, ध्यान दें कि शेष दो दरवाजे अभी भी एक कार या एक बकरी हो सकते हैं।

दरवाजा 2 पर स्विच करने का लाभ निम्न द्वारा दिया गया है:

$$\frac{p(C=2|M)}{p(C=1|M)} = \frac{ \frac{0.75 - 0.75q}{1.5} } { \frac{1}{3} } = 1.5-1.5q$$ कौन सा 1 (और इस प्रकार के लायक है कि दरवाजे पर स्विचिंग) अगर तुलना में केवल बड़ा है$1.5q<0.5$, यानी अगर$q<\frac{1}{3}$ , जिसे हमने पहले ही स्थापित किया था, टिपिंग पॉइंट था। दिलचस्प बात यह है दरवाजा 2, का उपयोग करने जा के लिए अधिकतम संभव लाभ जब$q=0$,, केवल 1.5 है मूल मोंटी हॉल समस्या में अपनी जीत बाधाओं का दोहरीकरण की तुलना में (जब$q=1$)।

सामान्य समाधान इन दो स्विचिंग रणनीतियों को मिलाकर दिया जाता है: जब $q>\frac{1}{3}$ , आप हमेशा दरवाजे 3 पर जाते हैं; अन्यथा, दरवाजा 2 पर स्विच करें।

Comments

क्या अपेक्षित मूल्य वास्तव में वापस नहीं जाएगा जब q < 1/3वह मॉडलिंग करेगा, क्योंकि यह मॉडलिंग नहीं है कि वह कैसे सटीक होने की संभावना है, यह मॉडलिंग कर रहा है कि वह गलत होने की कितनी संभावना है? जैसा कि यह 0 के करीब था इसका मतलब है कि वह हमेशा झूठ बोल सकता है यदि वह कर सकता है, और आपकी अपेक्षित जीत 2/3 पर वापस आ जाएगी

— साइरो जूल

@ साइरो वह झूठ नहीं बोल रहा होगा, वह बस गलत होगा। झूठ बोलने से उसे पता चल जाएगा कि उसका जवाब गलत था। मुझे इस कारण पर संदेह है कि अपेक्षित मूल्य वापस नहीं जाता है क्योंकि मौका है कि वह गलती से इसके पीछे कार के साथ दरवाजे की ओर इशारा करता है (यानी, पी। (एम। सी = 2) ऊपर जा रहा है) और आप नहीं उठा सकते हैं वह दरवाजा, चाहे जो भी हो)। q = 0 का अर्थ है कि वह हमेशा गलत तरीके से देखता है कि कार कहां है, यानी अब उसके पीछे अपेक्षाकृत अधिक संभावना है कि वह कार के पीछे के दरवाजे की ओर इशारा करता है।

— बुउरमैन

एक अधिक सामान्य समाधान (जिसे यह स्पष्ट रूप से आवश्यक है) में एक "शत्रुतापूर्ण" मोंटी शामिल है; यदि आप एक बकरी या एक कार को चुनते हैं, तो वह जो कुछ इंगित करता है (या यहां तक ​​कि अगर वह किसी चीज पर इंगित करता है) को बदलता है।

— याकूब

@Yakk: असीम रूप से कई और परिदृश्य हैं जिनकी आप कल्पना कर सकते हैं कि कई तरह से बाधाओं को बदल सकते हैं। यह सब इस बात पर भी निर्भर करता है कि क्या आप जानते हैं कि मोंटी कैसे काम करता है। यदि आप जानते हैं कि वह शत्रुतापूर्ण है, तो वास्तव में वह आपकी बाधाओं को 1/3 से कम नहीं कर सकता है, क्योंकि आप बस जो कुछ भी करते हैं उसे अनदेखा करने का फैसला करेंगे। यदि आप उसकी निर्णय प्रक्रिया को नहीं जानते हैं, तो यह पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करता है कि आप क्या करते हैं और वह वास्तव में क्या करता है, और वहाँ स्वतंत्रता की कई डिग्री हैं।

— Ruben van Bergen

$q=0$

Answer 2

यह समस्या का काफी सरल रूपांतर होना चाहिए (हालांकि मैं आपकी सीमित गणित पृष्ठभूमि पर ध्यान देता हूं, इसलिए मुझे लगता है कि सापेक्ष है)। मेरा सुझाव है कि आप पहले मोंटे अचूक, या पूरी तरह से गिरने पर समाधान की स्थिति निर्धारित करने का प्रयास करें । पहला मामला सिर्फ साधारण मोंटे हॉल समस्या का है, इसलिए वहां किसी काम की आवश्यकता नहीं है। दूसरे मामले में, आप उस दरवाजे का इलाज करेंगे जिसे वह सभी दरवाजों पर यादृच्छिक रूप से चुनता है, जिसमें पुरस्कार के साथ दरवाजा भी शामिल है (यानी, वह अभी भी बिना किसी पुरस्कार के साथ एक दरवाजा चुन सकता है, लेकिन यह अब यादृच्छिक है)। यदि आप इनमें से प्रत्येक मामले में एक जीत की संभावना की गणना कर सकते हैं तो आप कुल संभावना के कानून का उपयोग करते हैं उस मामले में प्रासंगिक जीत संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए जहां मोंटे में फॉलिबिलिटी के कुछ निर्दिष्ट स्तर हैं (एक संभावना द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है कि हम अचूक बनाम पूरी तरह से गिरने योग्य हैं)।

Comments

मैं प्रतिक्रिया की सराहना करता हूं, लेकिन मैं कुछ और विशिष्ट की तलाश कर रहा था। मैं अनुमान लगा रहा हूं कि मोंटी ने एक दरवाजा उठाया है। मैं अनुमान लगा रहा हूं कि उस दरवाजे के पीछे पुरस्कार की संभावना शून्य से 100% तक कहीं भी हो सकती है। मैं एक ऐसे फॉर्मूले की उम्मीद कर रहा था, जो मुझे केवल इस संभावना को दर्ज करने की अनुमति देगा कि मोंटी राइट / गलत है और फिर बाकी फॉर्मूले पर काम करने से एक न्यूमेरिकल एस्टीमेट मिलेगा, जो इस संभावना को इंगित करता है कि स्विच करने से जीत होगी। क्या सहायता की डिग्री अवास्तविक अनुरोध है?

— स्यूडोएगो

Answer 3

बेन के जवाब पर टिप्पणियों के आधार पर, मैं रूबी वैन बर्गन के भिन्नता मोंटी हॉल के इस संस्करण की दो अलग-अलग व्याख्याओं की पेशकश करने जा रहा हूं।

पहला मैं लियार मोंटी और दूसरा एक अविश्वसनीय मोन्टी कहलाने जा रहा हूं। दोनों संस्करणों में समस्या इस प्रकार है:

(०) तीन दरवाजे हैं, जिनमें से एक के पीछे एक कार है और अन्य दो के पीछे बकरियां हैं, जिन्हें बेतरतीब ढंग से वितरित किया गया है।

(1) प्रतियोगी यादृच्छिक पर एक दरवाजा चुनता है।

(२) मोंटी प्रतियोगी के दरवाजे पर एक दरवाजा अलग करता है और दावा करता है कि इसके पीछे एक बकरी है।

(3) कंटेस्टेंट को तीसरे अनपेक्षित दरवाजे पर स्विच करने की पेशकश की जाती है, और समस्या यह है कि "प्रतियोगी को दरवाजे के पीछे कार खोजने की संभावना को अधिकतम करने के लिए कब स्विच करना चाहिए?"

लियार मोंटी, स्टेप (2) में, यदि प्रतियोगी ने एक दरवाजे को उठाया है जिसमें एक बकरी है, तो मोंटी कुछ पूर्वनिर्धारित संभाव्यता के साथ कार से युक्त एक दरवाजा उठाता है (यानी 0 और 100% के बीच एक मौका है कि वह झूठ बोलेगा) बकरी कुछ दरवाजे के पीछे है)। ध्यान दें कि इस संस्करण में, मोंटी ने कभी भी कार के दरवाजे को नहीं चुना (यानी झूठ नहीं बोल सकता) यदि प्रतियोगी ने कार को चरण 1 (1) में चुना।

अविश्वसनीय मोन्टी में, एक पूर्वनिर्धारित संभावना है कि दरवाजा मोंटी पिक इन स्टेप (2) में एक कार शामिल है। मैं बेन के जवाब पर आपकी टिप्पणी से कहता हूं कि यह वह परिदृश्य है जिसमें आप रुचि रखते हैं, और मेरे दोनों संस्करण रुबेन वैन बर्गेन से भिन्न हैं। ध्यान दें कि अविश्वसनीय मोंटी Liar मोंटी के समान नहीं है; हम बाद में इन दो मामलों के बीच सख्ती से अंतर करेंगे। लेकिन इस पर विचार करें, इस परिदृश्य में, मोंटी के दरवाजे में कभी भी कार से अधिक नहीं हो सकती है$\frac{2}{3}$$\frac{1}{3}$

समस्या का जवाब देने के लिए, हमें कुछ समीकरणों का उपयोग करना होगा। मैं अपना उत्तर देने का प्रयास करने जा रहा हूं ताकि यह सुलभ हो सके। दो चीजें जो मुझे आशा हैं कि बहुत भ्रमित नहीं हैं, प्रतीकों के बीजगणितीय हेरफेर हैं, और सशर्त संभावना है। पूर्व के लिए, हम निम्नलिखित को दर्शाने के लिए प्रतीकों का उपयोग करेंगे:

$$\begin{split} S &= \text{The car is behind the door the contestant can switch to.}\\ \bar{S} &= \text{The car is not behind the door the contestant can switch to.}\\ M &= \text{The car is behind the door Monty chose.}\\ \bar{M} &= \text{The car is not behind the door Monty chose.}\\ C &= \text{The car is behind the door the contestant chose in step (1).}\\ \bar{C} &= \text{The car is not behind the door the contestant chose in step (1).} \end{split}$$

$\Pr(*)$$*$$\Pr(\bar{M})$

$\Pr(S|\bar{M})$$|$$\Pr(S|\bar{M})$$\Pr(S|\bar{M}) = \frac{2}{3}$$\Pr(S) = \frac{1}{3}$

$\Pr(M|\bar{C})$$\Pr(M)$ $\Pr(M \text{ and } \bar{C}) = \Pr(\bar{C} | M) \Pr(M) = \Pr(M | \bar{C}) \Pr(\bar{C})$

$$\begin{split} \Pr(M) &= \frac{\Pr(M | \bar{C}) \Pr(\bar{C})}{\Pr(\bar{C} | M)}\\ \frac{3}{2} \Pr(M) &= \Pr(M | \bar{C}), \end{split}$$ $\Pr(\bar{C})$$\frac{2}{3}$$\Pr(\bar{C} | M)$

इस प्रकार, हमने अविश्वसनीय मोन्टी (उपरोक्त समीकरण के एलएचएस द्वारा प्रतिनिधित्व) और लीयर मोंटी (आरएचएस द्वारा प्रतिनिधित्व) के बीच संबंध दिखाया है। अविश्वसनीय मोन्टी के चरम मामले में, जहां मोंटी एक दरवाजा चुनता है जो कार छुपाता है$\frac{2}{3}$

$\Pr(S)$

$$\begin{split} \Pr(S) &= \Pr(S|C)\Pr(C) + \Pr(S|\bar{C} \text{ and } M)\Pr(\bar{C} \text{ and } M) + \Pr(S|\bar{C} \text{ and } \bar{M})\Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M})\\ &= \Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M}) \end{split}$$ $\Pr(S|C) = \Pr(S|\bar{C} \text{ and } M) = 0$$\Pr(S|\bar{C} \text{ and } \bar{M}) = 1$

को जारी रखते हुए:

$$\begin{split} \Pr(S) &= \Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M})\\ &= \Pr(\bar{M} | \bar{C}) \Pr(\bar{C}) \\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\Pr(M | \bar{C})) \end{split}$$

$\Pr(M | \bar{C})) = 1$$\Pr(S)$$\frac{2}{3}$

इससे आप लियार, और अविश्वसनीय मोन्टी दोनों के लिए इष्टतम रणनीति बना सकते हैं।

परिशिष्ट 1

टिप्पणी के जवाब में (मेरा जोर):

"मैंने @alex में अपनी टिप्पणी में अधिक विवरण जोड़ा - मोंटी कभी भी शत्रुतापूर्ण और कुटिल नहीं है, सिर्फ FALLIBLE है, क्योंकि कभी-कभी वह जो भी कारणों से गलत हो सकता है, और वास्तव में कभी भी दरवाजा नहीं खोलता। शोध से पता चलता है कि मोंटी लगभग 33%% गलत है। समय, और कार वास्तव में वहाँ निकलती है। यह समय की 66.6% सही होने की एक पूर्ववर्ती संभावना है, सही है? मोंटी कभी भी आपके दरवाजे का चयन नहीं करता है, और आप उसका चयन कभी नहीं करेंगे । क्या ये धारणाएं कुछ भी बदलती हैं? "

जैसा कि मैं समझता हूं, मेरे उत्तर की शुरुआत में अविश्वसनीय मोंटी हॉल समस्या पेश की गई।

$\frac{1}{3}$

$$\begin{split} \Pr(S) &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\Pr(M | \bar{C})\\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\Pr(M) \\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\\ &= \frac{1}{3} \end{split}$$

इस प्रकार, स्विचिंग के बीच कोई अंतर नहीं है, मूल दरवाजे के साथ शेष है या यदि अनुमति दी गई है, तो मोंटी के चुने हुए दरवाजे पर स्विच करना (आपके अंतर्ज्ञान के अनुरूप)।

Comments

एलेक्स और @ रूबेन वैन बर्गन एट अल उपयोगी विवरण के लिए धन्यवाद। मान लें कि मोंटी कभी शत्रुतापूर्ण नहीं है, केवल निंदनीय है और आपको बताता है "मुझे पूरा यकीन है कि कार इस दरवाजे के पीछे नहीं है।" लेकिन दरवाजा नहीं खुला। मान लें कि अनुसंधान से पता चलता है कि वह केवल 33.3% समय के लिए गलत है, इस प्रकार 66.6% (एक पश्च संभावना) सही है। स्विच करने के लिए अभी भी कुछ लाभ है, लेकिन एक बार जब उसकी सटीकता केवल 33.3% तक पहुंच जाती है, तो यह कोई मतलब नहीं होगा कि वह या तो उसके दरवाजे पर या दूसरे से स्विच करेगा। सचमुच "आपका अनुमान उतना ही अच्छा है जितना मेरा।" क्या इसमें से कोई भी आपके विश्लेषण या सूत्र को बदलता है?

— स्यूडोएगो

नहीं, यह मेरा विश्लेषण नहीं बदलता है। मैंने कुछ जोड़ा जिससे मुझे आशा है कि आपकी टिप्पणी में प्रश्न स्पष्ट होगा। Btw, मैं "शत्रुतापूर्ण", "पतनशील", "मोंटी झूठ" शब्दों में बहुत अधिक नहीं पढ़ूंगा। इनका वास्तव में कोई मतलब नहीं है जब तक कि परिशुद्धता के साथ परिभाषित नहीं किया जाता है (सशर्त) संभावना है कि मोंटी एक दरवाजे वाले बकरी के बारे में गलत है।

— एलेक्स

बहुत गुस्सा आया कि मेरे खुद के प्रश्न के लिए मेरा एकमात्र जवाब दिया जाएगा केवल दिए गए स्पष्टीकरण के साथ हटा दिया जाएगा कि यह साइट "चर्चा" के लिए नहीं है - जब मैं मुख्य रूप से समझा रहा हूं कि मुझे क्यों लगता है कि अब तक दिए गए उत्तर सही हैं, और समझाते हैं कि वे कैसे होंगे उपयोगी होना। दिए गए अधिकांश अन्य उत्तरों में कहीं अधिक चर्चा थी। यह मेरे लिए सबसे अच्छा लगता है - सबसे अच्छा - और नैतिक - सबसे खराब - किसी के अपने प्रश्न के उत्तर को हटाने के लिए: आप संभवतः कैसे समझा सकते हैं कि आप एक उत्तर के रूप में चर्चा किए बिना सर्वश्रेष्ठ के रूप में रेटिंग क्यों दे रहे हैं? सभी की परवाह किए बिना जवाब दिया।

— स्यूडोएगो

@Pseudoego आपकी पिछली टिप्पणी आपके मूल प्रश्न पर टिप्पणी के रूप में बेहतर पोस्ट है। मैंने आपका उत्तर नहीं देखा, लेकिन ऐसा लगता है कि आप मौजूदा उत्तरों पर चर्चा करना चाहते हैं, इस स्थिति में आप अपने मूल प्रश्न को संशोधित कर सकते हैं।

— एलेक्स

Answer 4

किसी कारण से, एक मध्यस्थ ने मेरे स्वयं के प्रश्न के अपने उत्तर को हटाने का फैसला किया, इस आधार पर कि इसमें "चर्चा" थी। मैं वास्तव में नहीं देखता कि मैं यह कैसे बता सकता हूं कि मेरे लिए क्या काम करता है, इस पर चर्चा किए बिना सर्वश्रेष्ठ उत्तर क्या है, और यह व्यवहार में कैसे लागू किया जा सकता है।

मैं उन अंतर्दृष्टि और सूत्रों की सराहना करता हूं जो पिछले उत्तरों में प्रदान किए गए थे। ऐसा प्रतीत होता है कि "फॉलिबल मोंटी" यदि प्राइज़ / कार की अनुपस्थिति की भविष्यवाणी करने में केवल 66% सटीक है, तो आपके मूल पसंद के दरवाजे से स्विच करने के लिए शून्य लाभ है .... क्योंकि उसकी 33% त्रुटि दर डिफ़ॉल्ट है किसी भी दरवाजे के पीछे पुरस्कार के लिए आधार दर। हालांकि, मान लिया जाता है कि यदि मोंटी 66% से बेहतर है, तो यह अनुमान लगाने में कि जहां कोई लाभ नहीं है, स्विचिंग अधिक उपयोगिता प्राप्त करता है।