Lognormal यादृच्छिक चर के लिए बनाए रखने योग्य सहसंबंध

पर विचार करें lognormal यादृच्छिक परिवर्तनीय $X_1$ और $X_2$ के साथ $\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$ , और $\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ ।

$\rho_{\max}$ $\rho_{\min}$ $\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ और $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

लेकिन उन्होंने comonotonicity और countercomonotonicity के लिए कुछ संदर्भ दिए हैं। मैं उम्मीद कर रहा था कि कोई मुझे यह समझने में मदद करेगा कि वे कैसे प्रासंगिक हैं। (मुझे पता है कि इसे सामान्य अभिव्यक्ति से कैसे प्राप्त किया जा सकता है लेकिन विशेष रूप से जानना चाहते हैं कि कॉमोनोटोनिकिटी भागों क्या कह रहे थे।)

correlation copula

— Pk.yd
स्रोत

वे कौन हैं"?

— whuber

मैं comonotonicity और countermonotonicity की परिभाषा प्रदान करके शुरू करूँगा । फिर, मैं उल्लेख करूंगा कि यह दो यादृच्छिक चर के बीच न्यूनतम और अधिकतम संभव सहसंबंध गुणांक की गणना करने के लिए क्यों प्रासंगिक है। और अंत में, मैं lognormal random चर और लिए इन सीमाओं की गणना । $X_1$ $X_2$

Comonotonicity और countermonotonicity
यादृच्छिक परिवर्तनीय होने के लिए कहा जाता है comonotonic अगर उनके योजक है Fréchet ऊपरी बाध्य है, जो सबसे मजबूत है "सकारात्मक" निर्भरता का प्रकार। यह दिखाया जा सकता है कि हैं अगर और केवल अगर जहां कुछ यादृच्छिक चर, फ़ंक्शंस बढ़ा रहा है, और $X_1, \ldots, X_d$ $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$
$X_1, \ldots, X_d$

(X_{1}, \dots, X_{d}) \overset{d}{=} (h_{1} (Z), \dots, h_{d} (Z)),

$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$

Z

$Z$

h_{1}, \dots, h_{d}

$h_1, \ldots, h_d$

\overset{d}{=}

$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$ वितरण में समानता को दर्शाता है। तो, कोमोनोटोनिक यादृच्छिक चर केवल एक ही यादृच्छिक चर के कार्य हैं।

यादृच्छिक परिवर्तनीय होने के लिए कहा जाता है countermonotonic अगर उनके योजक है Fréchet लोअर बाउंड , जिसमें "नकारात्मक" निर्भरता के सबसे प्रभावशाली प्रकार है रिश्वत का मामला Countermonotonocity उच्च आयामों को सामान्य नहीं करता है। यह दिखाया जा सकता है कि हैं अगर और केवल अगर जहां कुछ यादृच्छिक चर है, और और क्रमशः बढ़ते और घटते फलन या इसके विपरीत हैं। $X_1, X_2$ $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$

(X_{1}, X_{2}) \overset{d}{=} (h_{1} (Z), h_{2} (Z)),

$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$

Z

$Z$

h_{1}

$h_1$

h_{2}

$h_2$

प्राप्य सहसंबंध
Let और सख्ती से सकारात्मक और परिमित प्रसरण के साथ दो यादृच्छिक परिवर्तनीय हो, और और न्यूनतम और के बीच अधिकतम संभव सहसंबंध गुणांक निरूपित और । फिर, यह दिखाया जा सकता है कि $X_1$ $X_2$ $\rho_{\min}$ $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$

${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$ यदि और केवल अगर और हैं; $X_1$ $X_2$
${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ यदि और केवल यदि और हैं। $X_1$ $X_2$

Lognormal random वेरिएबल्स के लिए बनाए रखने योग्य सहसंबंध
प्राप्त करने के लिए हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि अधिकतम सहसंबंध प्राप्त हुआ है यदि और केवल यदि और हैं। यादृच्छिक चर और जहां घातीय फ़ंक्शन के बाद से कॉमोनोटोनिक हैं (कड़ाई से बढ़ते हुए कार्य) और इस प्रकार। । $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$ $X_1 = e^{Z}$ $X_2 = e^{\sigma Z}$ $Z \sim {\rm N} (0, 1)$ $\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

Lognormal random variables के गुणों का उपयोग करते हुए , हमारे पास , , , , और सहसंयोजक is start इस प्रकार, ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$ ${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$ ${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$ ${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$

\begin{aligned} c o v (e^{Z}, e^{σ Z}) & = E (e^{(σ + 1) Z}) - E (e^{σ Z}) E (e^{Z}) \\ = e^{(σ + 1)^{2} / 2} - e^{(σ^{2} + 1) / 2} \\ = e^{(σ^{2} + 1) / 2} (e^{σ} - 1) . \end{aligned}

$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$

\begin{aligned} ρ_{max} & = \frac{e^{(σ^{2} + 1) / 2} (e^{σ} - 1)}{\sqrt{e (e - 1) e^{σ^{2}} (e^{σ^{2}} - 1)}} \\ = \frac{(e^{σ} - 1)}{\sqrt{(e - 1) (e^{σ^{2}} - 1)}} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$

साथ इसी संगणना उपज $X_2 = e^{-\sigma Z}$

\begin{aligned} ρ_{min} & = \frac{(e^{- σ} - 1)}{\sqrt{(e - 1) (e^{σ^{2}} - 1)}} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$

टिप्पणी
इस उदाहरण से पता चलता है कि यादृच्छिक चर की एक जोड़ी है जो दृढ़ता से निर्भर हैं - कॉमोनोटोनिकिटी और काउंटरमोनोटोनिकिटी निर्भरता का सबसे मजबूत प्रकार है - लेकिन यह बहुत कम सहसंबंध है। निम्न चार्ट इन सीमाओं को कार्य के रूप में दिखाता है । $\sigma$

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

यह R कोड है जिसका उपयोग मैंने उपरोक्त चार्ट के लिए किया था।

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)

— QuantIbex
स्रोत

(+6) अच्छा पूरी तरह से प्रदर्शनी और अच्छी तरह से सचित्र। यह दिलचस्प है कि सिमुलेशन के माध्यम से आपके चार्ट की पुष्टि करने का प्रयास तब किया जाएगा जब से बहुत बड़ा हो, क्योंकि नमूना सहसंबंध गुणांक अत्यंत परिवर्तनशील होता है ( एक अत्यंत उच्च मूल्य प्राप्त करने की संभावना के कारण , जो उच्च लाभ होगा) । यह एक ठोस सैद्धांतिक विश्लेषण पर सामान्य से अधिक मूल्य रखता है।

σ

$\sigma$

3

$3$

X_{2}

$X_2$

— व्हिबर

यह प्रदर्शनी एम। डेनिट और जे। धेन (2003) के उदाहरण 2.1 (पृष्ठ 23) का एक रूपांतरण है, चरम सहसंबंधों , बेल्जियम के एक्टुआयरिन बुलेटिन , वॉल्यूम द्वारा कॉमोनोटोनिकता और सरलता का सरल लक्षण । 3, 22-27 से।

— कार्डिनल

@ कार्डिनल मुझे इस लेख के बारे में पता नहीं था, धन्यवाद। अन्य संभावित संदर्भों में ebooks.cambridge.org/… या McNeil, AJ, Frey, R. और Embrechts, P. (2005) शामिल हैं। मात्रात्मक जोखिम प्रबंधन: अवधारणाओं, तकनीक और उपकरण। प्रिंसटन: प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस।

— क्वांटाइबेक्स

इसका उदाहरण कम से कम आरडी डे वोगो (1976), वायु प्रदूषण मॉडल , टेक में उत्पन्न होने वाले द्विभाजित वितरण के सहसंबंध के लिए ऊपरी ऊपरी और निचले सीमा पर है । रिपोर्ट 5, सांख्यिकी विभाग, स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय। पृष्ठ 3 पर शुरू होने वाली धारा 3 देखें। अंतर्निहित उपकरण Hoeffding के लिए जाने जाते थे।

— कार्डिनल

आपके प्रमाण में @QuantIbex मेरे लिए कुछ अस्पष्ट है। आप पहली बार दावा है कि और comonotonic हैं यदि और केवल यदि उनके संयुक्त वितरण के बराबर है , के लिए में वृद्धि, आदि, लेकिन जब आप lognormal यादृच्छिक को यह परिणाम लागू चर, आप कहते हैं कि इसका मतलब यह है कि यादृच्छिक चर स्वयं ऐसे होते हैं जैसे कि और , ऐसा लगता है कि आप यादृच्छिक चर पर स्वयं को लागू करते हैं, न कि केवल आपके वितरण पर। यह कैसा है?

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

(h_{1} (Z), h_{2} (Z))

$(h_1(Z), h_2(Z))$

h_{1}, h_{2}

$h_1, h_2$

X_{1} = e^{Z}

$X_1=e^Z$

X_{1} = e^{σ Z}

$X_1=e^{\sigma Z}$

— रैंडमग्यू