अहा, उत्कृष्ट प्रश्न !!
मैंने भोलेपन से एस आकार के लॉजिसिटिक वक्र का भी प्रस्ताव रखा होगा, लेकिन यह स्पष्ट रूप से एक खराब फिट है। जहाँ तक मुझे पता है, निरंतर वृद्धि एक सन्निकटन है क्योंकि YouTube अद्वितीय विचारों (प्रति आईपी पते में से एक) को गिनता है, इसलिए कंप्यूटर से अधिक विचार नहीं हो सकते।
x(t)y(t)tXY
x˙(t)=r1(x(t)+y(t))(X−x(t))
y˙(t)=r2(x(t)+y(t))(Y−y(t)),
r1>r2Yy
x˙(t)=r1x(t)(X−x(t))
y˙(t)=r2x(t),
एक बार जब उच्च जोखिम समूह पूरी तरह से संक्रमित हो जाता है, तो रैखिक विकास की भविष्यवाणी करता है। ध्यान दें कि इस मॉडल के साथ वहाँ ग्रहण करने के लिए कोई कारण नहीं है कि , काफी विपरीत है क्योंकि बड़े अवधि अब में सम्मिलित कर लिया है ।r1>r2Y−y(t)r2
यह प्रणाली हल करती है
x(t)=XC1eXr1t1+C1eXr1t
y(t)=r2∫x(t)dt+C2=r2r1log(1+C1eXr1t)+C2,
जहाँ और एकीकरण स्थिरांक हैं। कुल "संक्रमित" जनसंख्या तब
, जिसमें 3 पैरामीटर और 2 एकीकरण स्थिरांक (प्रारंभिक स्थितियां) हैं। मुझे नहीं पता कि फिट होना कितना आसान होगा ...C1C2x(t)+y(t)
अद्यतन: मापदंडों के साथ खेलना, मैं इस मॉडल के साथ शीर्ष वक्र के आकार को पुन: पेश नहीं कर सका, से तक का संक्रमण हमेशा ऊपर से तेज होता है। एक ही विचार के साथ आगे बढ़ते हुए, हम फिर से मान सकते हैं कि दो प्रकार के इंटरनेट उपयोगकर्ता हैं: "शार्क" और "loners" । हिस्सेदार एक दूसरे को संक्रमित करते हैं, अकेला मौका द्वारा वीडियो में टकराता है। मॉडल है0600,000,000x(t)y(t)
x˙(t)=r1x(t)(X−x(t))
y˙(t)=r2,
and solves to
x(t)=XC1eXr1t1+C1eXr1t
y(t)=r2t+C2.
We could assume that x(0)=1, i.e. that there is only patient 0 at t=0, which yields C1=1X−1≈1X because X is a large number. C2=y(0) so we can assume that C2=0. Now only the 3 parameters X, r1 and r2 determine the dynamics.
Even with this model, it seems that the inflection is very sharp, it is not a good fit so the model must be wrong. That makes the problem very interesting actually. As an example, the figure below was built with X=600,000,000, r1=3.667⋅10−10 and r2=1,000,000.
Update: From the comments I gathered that Youtube counts views (in its secret way) and not unique IPs, which makes a big difference. Back to the drawing board.
To keep it simple, let's assume that the viewers are "infected" by the video. They come back to watch it regularly, until they clear the infection. One of the simplest models is the SIR (Susceptible-Infected-Resistant) which is the following:
S˙(t)=−αS(t)I(t)
I˙(t)=αS(t)I(t)−βI(t)
R˙(t)=βI(t)
where α is the rate of infection and β is the rate of clearance. The total view count x(t) is such that x˙(t)=kI(t), where k is the average views per day per infected individual.
In this model, the view count starts increasing abruptly some time after the onset of the infection, which is not the case in the original data, perhaps because videos also spread in a non viral (or meme) way. I am no expert in estimating the parameters of the SIR model. Just playing with different values, here is what I came up with (in R).
S0 = 1e7; a = 5e-8; b = 0.01 ; k = 1.2
views = 0; S = S0; I = 1;
# Exrapolate 1 year after the onset.
for (i in 1:365) {
dS = -a*I*S;
dI = a*I*S - b*I;
S = S+dS;
I = I+dI;
views[i+1] = views[i] + k*I
}
par(mfrow=c(2,1))
plot(views[1:95], type='l', lwd=2, ylim=c(0,6e8))
plot(views, type='n', lwd=2)
lines(views[1:95], type='l', lwd=2)
lines(96:365, views[96:365], type='l', lty=2)
The model is obviously not perfect, and could be complemented in many sound ways. This very rough sketch predicts a billion views somewhere around March 2013, let's see...
