स्वतंत्र रूप से और समान रूप से समान रूप से 1 से फेयर d6 का उपयोग करके पूर्णांक ड्रा करें ?

Question

मैं 1 से कुछ विशिष्ट को कुछ छह-पक्षीय पासा (d6) को रोल करके कुछ विशिष्ट को आकर्षित करना चाहता हूं । एक अच्छा जवाब यह बताएगा कि इसकी विधि समान और स्वतंत्र पूर्णांक क्यों बनाती है ।$N$

एक उदाहरण के रूप में, यह समझाने में मदद मिलेगी कि के मामले में समाधान कैसे काम करता है ।$N=150$

इसके अलावा, मैं इस प्रक्रिया के लिए यथासंभव कुशल होने की कामना करता हूं: उत्पन्न हुई प्रत्येक संख्या के लिए औसतन कम से कम d6 की संख्या को रोल करें।

सेनेरी से दशमलव तक रूपांतरण स्वीकार्य हैं।

---

यह सवाल इस मेटा थ्रेड से प्रेरित था ।

Answer 1

चेहरों के साथ एक मृत के स्वतंत्र रोल में अलग-अलग पहचान योग्य परिणामों के सेट में तत्व हैं। जब मरना उचित है, तो इसका मतलब है कि एक रोल के प्रत्येक परिणाम में प्रायिकता और स्वतंत्रता का मतलब है कि इनमें से प्रत्येक परिणाम में प्रायिकता अर्थात, उनके पास एक समान वितरण$\Omega(d,n)$$n$$d=6$$d^n$$1/d$$(1/d)^n:$$\mathbb{P}_{d,n}.$

मान लीजिए कि आपने कुछ प्रक्रिया तैयार की जो या तो एक परिणामों को निर्धारित करती है - मर जाती है - अर्थात, का एक तत्व - और विफलता की रिपोर्ट करता है (जिसका अर्थ है कि आपको करना होगा एक परिणाम प्राप्त करने के लिए इसे दोहराएं)। अर्थात्,$t$$m$$c (=150)$$\Omega(c,m)$

$$t:\Omega(d,n)\to\Omega(c,m)\cup\{\text{Failure}\}.$$

चलो संभावना हो विफलता और नोट में परिणाम है कि के कुछ अभिन्न एकाधिक है कहते हैं$F$$t$$F$$d^{-n},$

$$F = \Pr(t(\omega)=\text{Failure}) = N_F\, d^{-n}.$$

(भविष्य में संदर्भ के लिए, ध्यान दें कि असफल होने से पहले की अपेक्षित संख्या होनी चाहिए )$t$$1/(1-F).$

आवश्यकता यह है कि इन परिणामों के लिए एक समान है और पर विफलता की रिपोर्टिंग नहीं करने के लिए स्वतंत्र सशर्त है इसका मतलब यह है कि इस अर्थ में संभाव्यता को बरकरार रखता है कि हर घटना के लिए$\Omega(c,m)$टी टी एक ⊂ Ω ( ग , मी ) ,$t$$t$$\mathcal{A}\subset\Omega(c,m),$

$$\frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) \tag{1}$$

कहाँ पे

$$t^{*}\left(\mathcal A\right) = \{\omega\in\Omega\mid t(\omega)\in\mathcal{A}\}$$

मर रोल का वह सेट है जो प्रक्रिया ईवेंट को असाइन करता है$t$$\mathcal A.$

एक परमाणु घटना , जिसमें प्रायिकता होनी चाहिएचलो (पासा के साथ जुड़े रोल ) है तत्वों। बन जाता है$\mathcal A = \{\eta\}\subset\Omega(c,m)$$c^{-m}.$$t^{*}\left(\mathcal A\right)$$\eta$$N_\eta$$(1)$

$$\frac{N_\eta d^{-n}}{1 - N_F d^{-n}} = \frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) = c^{-m}.\tag{2}$$

यह तत्काल है कि सभी कुछ पूर्णांक बराबर हैं$N_\eta$$N.$टी। सी यह केवल सबसे कुशल प्रक्रियाओं को खोजने के लिए रहता साइडेड मर के प्रति रोल गैर-विफलताओं की अपेक्षित संख्या है$t.$$c$

$$\frac{1}{m}\left(1 - F\right).$$

इसके दो तात्कालिक और स्पष्ट निहितार्थ हैं। एक यह है कि यदि हम छोटा रख सकते हैं जैसे कि बड़ा बढ़ता है, तो विफलता की सूचना देने का प्रभाव विषम रूप से शून्य होता है। दूसरा यह है कि किसी भी दिए गए ( अनुकरण करने के लिए मर के रोल की संख्या ) के लिए, हम यथासंभव छोटा बनाना चाहते हैं।$F$$m$$m$$c$$F$

आइए हम पर नजर डालते हुए स्पष्ट करते हैं:$(2)$

$$N c^m = d^n - N_F \gt 0.$$

इससे यह स्पष्ट होता है कि किसी दिए गए संदर्भ में ( द्वारा निर्धारित ), को रूप में छोटा करके जितना संभव हो उतना छोटा बना दिया जाता है , जो कि के सबसे बड़े गुणक के बराबर या उससे कम होता है हम सबसे बड़ी पूर्णांक समारोह के संदर्भ (या "मंजिल") में यह लिख सकते हैं के रूप में$c,d,n,m$$F$$d^n-N_F$$c^m$$d^n.$$\lfloor*\rfloor$

$$N = \lfloor \frac{d^n}{c^m} \rfloor.$$

अंत में, यह स्पष्ट है कि को उच्चतम दक्षता के लिए जितना संभव हो उतना छोटा होना चाहिए, क्योंकि यह में अतिरेक को मापता । विशेष रूप से, के रोल की अपेक्षित संख्या में से एक रोल उत्पादन के लिए आवश्यक डाई पक्षीय पक्षीय मर जाते हैं$N$$t$$d$$c$

$$N \times \frac{n}{m} \times \frac{1}{1-F}.$$

इस प्रकार, उच्च दक्षता प्रक्रियाओं के लिए हमारी खोज उन मामलों पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए जहां के बराबर है, या बस बमुश्किल से अधिक है, कुछ शक्ति$d^n$$c^m.$

विश्लेषण यह दिखाते हुए समाप्त होता है कि दिए गए और गुणकों का एक क्रम है जिसके लिए यह दृष्टिकोण सही दक्षता का अनुमान लगाता है। यह मात्रा को खोजने के लिए है जिसके लिए सीमा में पहुंचता है (स्वचालित रूप से गारंटी देता है )। ऐसा एक अनुक्रम और निर्धारित करने से प्राप्त होता है$d$$c,$$(n,m)$$(n,m)$$d^n/c^m \ge 1$$N=1$$F\to 0$$n=1,2,3,\ldots$

$$m = \lfloor \frac{n\log d}{\log c} \rfloor.\tag{3}$$

प्रमाण सीधा है।

इसका मतलब यह है कि जब हम मूल -sided को रोल करने के लिए तैयार होते हैं तो पर्याप्त संख्या में की मृत्यु हो जाती है हम लगभग परिणामों का अनुकरण करने की उम्मीद कर सकते हैं, जो रोल के साथ मर जाते हैं। । तुल्य,$d$$n,$$\log d / \log c = \log_c d$$c$

यह संभव है एक बड़ी संख्या में अनुकरण करने के लिए एक स्वतंत्र रोल के पक्षीय एक निष्पक्ष का उपयोग कर मर जाते हैं पक्षीय औसत का उपयोग कर मर रोल प्रति परिणाम जहां को पर्याप्त रूप से बड़ा चुनकर मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है ।$m$$c$$d$$\log(c)/\log(d) + \epsilon = \log_d(c) + \epsilon$$\epsilon$$m$

---

उदाहरण और एल्गोरिदम

प्रश्न में, और whence$d=6$$c=150,$

$$\log_d(c) = \frac{\log(c)}{\log(d)} \approx 2.796489.$$

इस प्रकार, सर्वोत्तम संभव प्रक्रिया की आवश्यकता होगी, प्रत्येक परिणाम का अनुकरण करने के लिए कम से कम रोल ।$2.796489$d6d150

विश्लेषण से पता चलता है कि यह कैसे करना है। हमें इसे पूरा करने के लिए संख्या सिद्धांत का सहारा लेने की आवश्यकता नहीं है: हम केवल शक्तियों को सारणीबद्ध कर सकते हैं और शक्तियां और उनकी तुलना करने के लिए जहां करीब हैं। यह क्रूर बल गणना जोड़े जोड़े देता है$d^n=6^n$$c^m=150^m$$c^m \le d^n$$(n,m)$

$$(n,m) \in \{(3,1), (14,5), \ldots\}$$

उदाहरण के लिए, संख्याओं के अनुरूप

$$(6^n, 150^m) \in \{(216,150), (78364164096,75937500000), \ldots\}.$$

पहले मामले में एक विफलता के तीन रोल के परिणामों के को संबद्ध करेगा और अन्य परिणाम प्रत्येक के एक परिणाम के साथ जुड़े होंगे । $t$$216-150=66$d6$150$d150

दूसरे मामले में, एक विफलता के 14 रोल के परिणामों के सहयोगी - उन सभी के बारे में 3.1% - और अन्यथा एक के 5 परिणामों के अनुक्रम का उत्पादन करेगा ।$t$$78364164096-75937500000$d6d150

लागू करने के लिए एक सरल एल्गोरिथ्म$t$ के चेहरे लेबल अंकों के साथ मरने पक्षीय और के चेहरे अंकों के साथ मरने पक्षीय पहले मरने के रोल एक के रूप में व्याख्या कर रहे हैं आधार में -digit संख्या यह आधार में एक संख्या में परिवर्तित हो जाता है यदि इसमें अधिकांश अंक हैं, तो अंतिम अंकों का अनुक्रम आउटपुट है। अन्यथा, खुद रिकर्सिवली लागू द्वारा विफलता देता है।$d$$0,1,\ldots, d-1$$c$$0,1,\ldots, c-1.$$n$$n$$d.$$c.$$m$$m$$t$

बहुत लंबे अनुक्रमों के लिए, आप के निरंतर भिन्न विस्तार के हर दूसरे अभिसरण पर विचार करके उपयुक्त जोड़े पा सकते हैं निरंतर अंशों के सिद्धांत से पता चलता है कि ये अभिसरण से कम होने और इससे अधिक होने के बीच वैकल्पिक हैं (यह मानते हुए कि पहले से तर्कसंगत नहीं है)। उन लोगों को चुनें जो से कम हैं$(n,m)$$n/m$$x=\log(c)/\log(d).$$x$$x$$x.$

प्रश्न में, पहले कुछ ऐसे अभिसरण हैं

$$3, 14/5, 165/59, 797/285, 4301/1538, 89043/31841, 279235/99852, 29036139/10383070 \ldots.$$

पिछले मामले में, एक के 29,036,139 रोल के एक दृश्य d6एक के 10,383,070 रोल के एक दृश्य का उत्पादन करेगा d150एक असफलता की दर के साथ कम से कम का एक दक्षता के लिए asymptotic सीमा से --indistinguishable।$2\times 10^{-8},$$2.79649$

Comments

हमेशा की तरह आश्चर्यजनक, यह लगभग ऐसा लगता है कि इस सवाल का प्रारूप तैयार किया गया था और सवाल पूछे जाने से पहले ही तैयार किया गया था!

— 56

धन्यवाद, @ asukaszGrad हालाँकि, मैं इस तरह की किसी भी साजिश के लिए निर्दोष हूं और मुझे यकीन है कि तेज-तर्रार पाठकों को जल्दबाजी के सबूत मिलेंगे, जिनके साथ मैंने यह लिखा है, जिसके लिए मैं पहले से माफी मांगता हूं।

— whuber

क्या यह भी ध्यान में नहीं रखा जाना चाहिए कि जब अभाज्य नहीं है, तो नमूना space को समान संभाव्यता के सबसेट में विभाजित किया जा सकता है? उदाहरण के लिए, आप एक d6 को d2 या d3 के रूप में उपयोग कर सकते हैं, और 162 तत्वों के साथ एक नमूना स्थान - 216 से 150 के करीब - तो 4 रोल, 1d6 + 3D3 के साथ प्राप्त करने योग्य है। (यह 3 डी 6 समाधान के रूप में एक ही उम्मीद नहीं है। रोल, लेकिन कम विचरण करता है।)$d$$\Omega(d,1)$

— स्कॉर्टिची - मोनिका

@Scortchi आप कुछ अलग सेटिंग का वर्णन करते हैं जिसमें एक समान वितरण से ड्रॉ का अनुकरण करने के लिए पासा का एक विकल्प होता है। एक समान विश्लेषण लागू होता है - आप इसे बाहर ले जाने के लिए मनोरंजक पा सकते हैं।

— whuber

Answer 2

के मामले में , एक d6 को तीन बार अलग-अलग रोल करने से परिणाम हैं।$N=150$$6^3=216$

वांछित परिणाम इस तरह से सारणीबद्ध किया जा सकता है:

• क्रमिक रूप से एक d6 तीन बार रिकॉर्ड करें। यह परिणाम पैदा करता है । परिणाम एक समान है क्योंकि सभी मान समान रूप से हैं (पासा उचित हैं, और हम प्रत्येक रोल को अलग-अलग मान रहे हैं)।$a,b,c$$a,b,c$
• प्रत्येक से 1 घटाएँ।
• यह एक संख्या है: प्रत्येक अंक (स्थान मान) 6 की शक्तियों द्वारा 0 से 5 तक जाता है, इसलिए आप दशमलव का उपयोग कर संख्या लिख ​​सकते हैं $$(a-1) \times 6^2 + (b-1) \times 6^1 + (c-1)\times 6^0$$
• 1 जोड़ें।
• यदि परिणाम 150 से अधिक है, तो परिणाम को त्यागें और फिर से रोल करें।

परिणाम रखने की संभावना । सभी रोल स्वतंत्र हैं, और हम एक "सफलता" तक प्रक्रिया को दोहराते हैं ( में एक परिणाम ) इसलिए 1 और 150 के बीच 1 ड्रॉ उत्पन्न करने के प्रयासों की संख्या को एक ज्यामितीय यादृच्छिक चर के रूप में वितरित किया जाता है, जो अपेक्षा । इसलिए, 1 ड्रा जनरेट करने के लिए इस विधि का उपयोग करने के लिए रोलिंग डाइस रोल औसतन होता है (क्योंकि प्रत्येक प्रयास 3 डाइस रोल करता है)।$p=\frac{150}{216}=\frac{25}{36}$$1,2,\dots,150$$p^{-1}=\frac{36}{25}$$\frac{36}{25}\times 3 =4.32$

---

चैट में यह सुझाव देने के लिए @whuber को श्रेय।

Comments

मेरा मानना ​​है कि हेनरी की विधि एक समान वितरण का उत्पादन नहीं करती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि पुनर्चक्रण के कारण कुछ अंकों का पक्ष लिया जाएगा। मैं इसके बारे में पूरी तरह से निश्चित नहीं हूं क्योंकि मैं पूरी तरह से नहीं जानता कि पुनर्चक्रण कैसे किया जाता है।

— whuber

@ शुभंकर आह! मैं अब आपकी चिंता को समझता हूं। मैंने सिर्फ अपने आप को इस प्रक्रिया को समझाने की कोशिश की और मुझे एहसास हुआ कि मेरे अंतर्ज्ञान को दोष क्यों दिया गया था: एक अतिरिक्त मरने की संभावना की संभावना संभाव्यता के असाइनमेंट को दशमलव संख्या में बदल सकती है और इसे गैर-समान बना सकती है क्योंकि हम समय से पहले नहीं जानते कि कैसे बहुत से पासे हम लुढ़क रहे हैं।

— साइकोरैक्स का कहना है कि मोनिका

Answer 3

यहाँ इस मामले के लिए Sycorax द्वारा उत्तर का एक और भी सरल विकल्प है जहाँ । के बाद से आप निम्नलिखित प्रक्रिया का प्रदर्शन कर सकते हैं:$N=150$$150 = 5 \times 5 \times 6$

1 से 150 तक समान यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करना:

• 1D6 के तीन क्रमबद्ध रोल बनाएं और इन्हें रूप में ।$R_1, R_2, R_3$
• यदि पहले दो में से कोई एक रोल छह है, तो इसे तब तक रीरोल करें जब तक कि यह 6 न हो।
• संख्या मूलांक के साथ स्थितिक अंकन का उपयोग करते हुए एक समान संख्या है। इस प्रकार, आप वांछित संख्या की गणना इस प्रकार कर सकते हैं: $(R_1, R_2, R_3)$ $$X = 30 \cdot (R_1-1) + 6 \cdot (R_2-1) + (R_3-1) + 1.$$

इस विधि को बड़े लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है , लेकिन यह थोड़ा अधिक अजीब हो जाता है जब मूल्य में से बड़ा एक या अधिक प्रमुख कारक होता है ।$N$$6$

Comments

क्या आप इस पद्धति की दक्षता उत्पन्न की गई प्रति रोल की अपेक्षित संख्या के संदर्भ में बता सकते हैं, और स्पष्ट कर सकते हैं कि परिणाम 1,2, .... 150 पर समान क्यों है?

— साइकोरैक्स का कहना है कि मोनिका

एक परिणाम प्राप्त करने की संभावना जिसके लिए कोई पुन: रोलिंग की आवश्यकता नहीं है , जो आपके उत्तर के समान है। यह समझने के लिए कि यह एकसमान क्यों है, ध्यान दें कि आप प्रभावी रूप से केवल मूलांक 5-5-6 (यानी, अंतिम अंक इकाइयाँ हैं, के साथ स्थितीय अंकन का उपयोग करके एक समान संख्या पैदा कर रहे हैं, दूसरा-अंतिम अंक "छक्के" और तीसरा है -last अंक "तीसवां दशक" है। $25/36$

— मोनिका

विधि प्रभावी रूप से आपके उत्तर में विधि पर बहुत मामूली बदलाव है। आपके उत्तर में आप 6-6-6 संख्या के पैमाने पर एक समान संख्या बनाते हैं और फिर अमान्य मानों को छोड़ देते हैं, जबकि मेरे उत्तर में आप 5-5-6 के पैमाने पर संख्या उत्पन्न करने के लिए पहले अमान्य मान छोड़ देते हैं ।

— मोनिका

+1 व्यावहारिक मामले के रूप में यह एक आकर्षक एल्गोरिथ्म है। यह व्यापक है, और शायद एक व्यापक विश्लेषण का विचारोत्तेजक है, कि यह मरते हुए रोल द्वारा संचालित एक परिमित राज्य ऑटोमेटन को लागू करता है। इसके चार राज्य हैं, {प्रारंभ, ए, बी, स्वीकार}। 1..5 को रोल करने पर ए से संक्रमण शुरू करें; 1..5 रोलिंग पर बी में एक संक्रमण; और बी संक्रमण कुछ भी रोलिंग पर स्वीकार करने के लिए। प्रत्येक संक्रमण उस रोल के मूल्य को बचाता है जो इसके कारण होता है, इसलिए आप तक पहुँचने पर आउटपुट तीन संग्रहीत रोल का क्रम और संक्रमण स्वचालित रूप से वापस शुरू होता है।

— whuber

आप @ साइकोरैक्स जितनी बार अस्वीकार करते हैं, लेकिन औसतन कम रोल बनाते हैं। अपेक्षित नहीं। रोल प्रति वैरिएंट 6 है५ +६5 +1=3.4। $\frac{6}{5} + \frac{6}{5} + 1= 3.4$

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

Answer 4

छह-पक्षीय पासा का उपयोग करके $150$ मानों के बीच समान रूप से चुनने के लिए एक एल्गोरिथ्म के उदाहरण के रूप में , यह कोशिश करें कि प्रत्येक रोल का उपयोग $6$ से उपलब्ध मानों को गुणा करें और प्रत्येक नए मूल्यों को समान रूप से करें:

• $0$ रोल के बाद , आपके पास $1$ संभावना है, $150$ मूल्यों को भेद करने के लिए पर्याप्त नहीं है
• $1$ रोल के बाद , आपके पास $6$ संभावनाएं हैं, $150$ मूल्यों को भेद करने के लिए पर्याप्त नहीं है
• $2$ रोल के बाद , आपके पास $36$ संभावनाएं हैं, $150$ मूल्यों को अलग करने के लिए पर्याप्त नहीं है
• $3$ रोल के बाद , आपके पास $216$ संभावनाएं हैं, जो $150$ मूल्यों को भेद करने के लिए पर्याप्त हैं लेकिन $66$ शेष मूल्यों के साथ; संभावना है कि आप अब बंद करो $\frac{150}{216}$
• यदि आपने नहीं रोका है, तो $4$ रोल के बाद आपके पास $396$ शेष संभावनाएं हैं, $150$ मानों को दो तरीकों से अलग करने के लिए पर्याप्त है लेकिन $96$ शेष मानों के साथ; अब आप जिस संभावना को रोकते हैं वह $\frac{300}{1296}$
• यदि आपने नहीं रोका है, तो $5$ रोल के बाद आपके पास $576$ शेष संभावनाएं हैं, $150$ मानों को तीन तरीकों से अलग करने के लिए पर्याप्त है लेकिन $96$ शेष मानों के साथ; अब आप जिस संभावना को रोकते हैं, वह $\frac{450}{7776}$
• यदि आपने नहीं रोका है, तो $6$ रोल के बाद आपके पास $756$ शेष संभावनाएं हैं, $150$ मानों को पांच तरीकों से अलग करने के लिए पर्याप्त है लेकिन $6$ शेष मानों के साथ; अब आप जिस संभावना को रोकते हैं वह $\frac{750}{46656}$

यदि आप 6 रोल के बाद $6$ शेष मानों में से एक पर हैं तो आप 1 रोल के बाद स्थिति के समान स्थिति में हैं । तो आप उसी तरह से जारी रख सकते हैं: 7 रोल के बाद आप जिस संभावना को रोकते हैं वह है 0$6$$1$$7$$\frac{0}{279936}$ ,$8$रोल केबाद$\frac{150}{1679616}$ आदि।

इन्हें जोड़ें और आप पाते हैं कि अपेक्षित रोल की संख्या लगभग $3.39614$ । यह $150$ से एक समान चयन प्रदान करता है , क्योंकि आप केवल एक समय में एक मूल्य का चयन करते हैं जब आप समान संभावना वाले $150$ प्रत्येक का चयन कर सकते हैं

---

Sycorax ने अधिक स्पष्ट एल्गोरिथ्म के लिए टिप्पणियों में पूछा

• सबसे पहले, मैं base- में काम करेंगे $6$ के साथ $150_{10}=410_6$
• दूसरा, लक्ष्य मान $1_6$ से $410_6$ बजाय , मैं एक को घटाऊंगा ताकि लक्ष्य मान $0_6$ से $409_6$
• तीसरा, प्रत्येक डाई में मान $0_6$ से $5_6$ होना चाहिए , और मरने के लिए मौजूदा $6$ अंक के दाहिने हाथ की ओर आधार ६ अंक जोड़ना शामिल है । जेनरेट किए गए नंबरों में अग्रणी शून्य हो सकते हैं, और उनके अंकों की संख्या अब तक के रोल की संख्या है

एल्गोरिथ्म पासा के क्रमिक रोल है:

• $000_6$ से $555_6$ तक की संख्या उत्पन्न करने के लिए पहले तीन पासा को रोल करें । के बाद से $1000_6 \div 410_6 = 1_6 \text{ remainder } 150_6$ आप उत्पन्न मान ले (जो भी द्वारा विभाजन पर अपने शेष है $410_6$ ) यदि उत्पन्न मूल्य सख्ती से नीचे है $1000_6-150_6=410_6$ और बंद;

• यदि जारी है, तो चौथी मर को रोल करें ताकि आपने अब $4100_6$ से $5555_6$ तक की संख्या उत्पन्न की हो । के बाद से $10000_6 \div 410_6 = 12_6 \text{ remainder } 240_6$ आप द्वारा विभाजन पर उत्पन्न मूल्य के शेष ले $410_6$ यदि उत्पन्न मूल्य सख्ती से नीचे है $10000_6-240_6=5320_6$ और बंद;

• यदि जारी है, तो पांचवीं मर को रोल करें ताकि आपने अब $53200_6$ से $55555_6$ तक की संख्या उत्पन्न की हो । के बाद से $100000_6 \div 410_6 = 123_6 \text{ remainder } 330_6$ आप द्वारा विभाजन पर उत्पन्न मूल्य के शेष ले $410_6$ यदि उत्पन्न मूल्य सख्ती से नीचे है $100000_6-330_6=55230_6$ और बंद;

• यदि जारी है, तो छठी डाई को रोल करें ताकि आपने अब $552300_6$ से $555555_6$ तक एक संख्या उत्पन्न की हो । के बाद से $1000000_6 \div 410_6 = 1235_6 \text{ remainder } 10_6$ में आपके द्वारा विभाजन पर उत्पन्न मूल्य के शेष ले $410_6$ यदि उत्पन्न मूल्य सख्ती से नीचे है $1000000_6-10_6=555550_6$ और बंद;

• आदि।

Comments

(+1) This answer would be more clear if you explained how you map the outcomes of, say, 4d6 or 5d6 to 1,2, ..., 150.

— Sycorax says Reinstate Monica

@Sycorax - I have now provided a base $6$ mapping

— Henry

Entropy considerations indicate you can do substantially better than this algorithm. It also remains to show that your algorithm actually produces independently distributed values with uniform distributions.

— whuber

@whuber - My algorithm produces exactly one integer from $150$ possibilities and does so uniformly providing the dice rolls are uniform and independent. At each step if reached, each of the $150$ values is equally likely to be selected. It does not produce multiple values (unlike your answer)

— Henry

I misunderstood what you meant, then, in writing "the algorithm is successive rolls of dice." (I should have read through more carefully.) In doing so, it seems to me your algorithm does not produce a uniform distribution, but I'm not sure because I haven't been able to figure out what the general algorithm is intended to be. It would be good to see a demonstration that it does produce uniform values.

— whuber