की MLE है

मान लीजिए $(X,Y)$ में पीडीएफ है

f_{θ} (x, y) = e^{- (x / θ + θ y)} 1_{x > 0, y > 0}, θ > 0

$f_{\theta}(x,y)=e^{-(x/\theta+\theta y)}\mathbf1_{x>0,y>0}\quad,\,\theta>0$

नमूना का घनत्व $(\mathbf X,\mathbf Y)=(X_i,Y_i)_{1\le i\le n}$ इस आबादी से तैयार इसलिए है

\begin{aligned} g_{θ} (x, y) & = \prod_{i = 1}^{n} f_{θ} (x_{i}, y_{i}) \\ = \exp [- \sum_{i = 1}^{n} (\frac{x_{i}}{θ} + θ y_{i})] 1_{x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n} > 0} \\ = \exp [- \frac{n \bar{x}}{θ} - θ n \bar{y}] 1_{x_{(1)}, y_{(1)} > 0}, θ > 0 \end{aligned}

$\begin{align} g_{\theta}(\mathbf x,\mathbf y)&=\prod_{i=1}^n f_{\theta}(x_i,y_i) \\&=\exp\left[{-\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{\theta}+\theta y_i\right)}\right]\mathbf1_{x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n>0} \\&=\exp\left[-\frac{n\bar x}{\theta}-\theta n\bar y\right]\mathbf1_{x_{(1)},y_{(1)}>0}\quad,\,\theta>0 \end{align}$

की अधिकतम संभावना आकलनकर्ता $\theta$ के रूप में प्राप्त किया जा सकता

\hat{θ} (X, Y) = \sqrt{\frac{\bar{X}}{\bar{Y}}}

$\hat\theta(\mathbf X,\mathbf Y)=\sqrt\frac{\overline X}{\overline Y}$

मैं यह जानना चाहता हूं कि इस MLE का सीमित वितरण सामान्य है या नहीं।

यह स्पष्ट है कि नमूने के आधार पर लिए एक पर्याप्त आँकड़ा है । $\theta$ $(\overline X,\overline Y)$

अब मैंने कहा होगा कि MLE एक संदेह के बिना सामान्य रूप से सामान्य है यदि यह नियमित एक-पैरामीटर घातांक परिवार का सदस्य था। मुझे नहीं लगता कि यह मामला है, आंशिक रूप से क्योंकि हमारे पास एक आयामी पैरामीटर के लिए दो आयामी पर्याप्त सांख्यिकीय है ( उदाहरण के लिए वितरण में, उदाहरण के लिए)। $N(\theta,\theta^2)$

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि और वास्तव में स्वतंत्र घातीय चर हैं, मैं दिखा सकता हूं कि का सटीक वितरण ऐसा है $X$ $Y$ $\hat\theta$

\frac{\hat{θ}}{θ} \overset{d}{=} \sqrt{F}, where F \sim F_{2 n, 2 n}

$\frac{\hat\theta}{\theta}\stackrel{d}{=} \sqrt F\quad,\text{ where }F\sim F_{2n,2n}$

मैं संभवतः यहाँ से सीमित वितरण खोजने के लिए आगे नहीं बढ़ सकता।

इसके बजाय मैं WLLN द्वारा तर्क दे सकता हूं कि और , ताकि । $\overline X\stackrel{P}\longrightarrow\theta$ $\overline Y\stackrel{P}\longrightarrow 1/\theta$ $\hat\theta\stackrel{P}\longrightarrow\theta$

यह मुझसे कहता है कि और converges वितरण में करने के लिए । लेकिन इस एक आश्चर्य के रूप नहीं आता है, के बाद से एक 'अच्छा' की आकलनकर्ता । और यह परिणाम यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त नहीं है कि क्या कुछ भी सामान्य रूप से सामान्य है या नहीं। मैं सीएलटी का उपयोग करके एक उचित तर्क के साथ नहीं आ सका। $\hat\theta$ $\theta$ $\hat\theta$ $\theta$ $\sqrt n(\hat\theta-\theta)$

इसलिए एक सवाल यह है कि क्या MLE के सीमित वितरण की सामान्य स्थिति को सामान्य बनाने के लिए यहाँ के मूल वितरण को संतुष्ट करता है।

— StubbornAtom
स्रोत

अनुभवजन्य रूप से यह सामान्य के बहुत करीब लगता है। आपको यह निर्धारित करना आसान हो सकता है कि को

पर सेट करना (यह केवल एक स्केलिंग कारक है) और फिर विचार करें कि क्या आईआईडी घातीय यादृच्छिक चर के नमूना साधनों के अनुपात के वर्गमूल का वितरण असमान रूप से सामान्य है। डेल्टा विधि का उपयोग करते हुए, यह आईप घातीय यादृच्छिक चर के नमूना साधनों के अनुपात के वितरण से मेल खाता है जो कि विषम रूप से सामान्य है। और यह दो iid गामा यादृच्छिक चर के अनुपात के वितरण से मेल खाती है जैसा कि आकार पैरामीटर में वृद्धि के साथ विषम रूप से सामान्य है।

θ

$\theta$

1

$1$

— हेनरी

MLE की विषमता सामान्यता का घातीय परिवारों से कोई लेना-देना नहीं है। सहज रूप से, स्पर्शोन्मुख सामान्यता के लिए आपको बस यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि कोई ऐसा मौका नहीं है कि समाधान पैरामीटर स्थान की सीमा के पास होगा।

— whuber

@ जब तक मुझे पता है, pdfs कि विहित घातीय परिवार के सदस्य हैं लगभग हमेशा MLEs हैं जो कि विषम रूप से सामान्य हैं (ऐसा नहीं है कि यह exp परिवार के कारण है)। यही वह संबंध है जो मैं इंगित करना चाह रहा था।

— स्टुबोर्नटॉम

राइट: लेकिन कनेक्शन एक तरीका है। MLE के लिए स्पर्शोन्मुखी परिणाम कहीं अधिक सामान्य हैं और इसलिए मैं यह सुझाव देने की कोशिश कर रहा था कि घातीय परिवारों के गुणों पर ध्यान केंद्रित करने के बजाय उस सामान्य दिशा में देखना अधिक उपयोगी जांच हो सकती है।

— whuber

मल्टीवेरेट सीएलटी और डेल्टा विधि का उपयोग कर एक प्रमाण भी संभव है जैसा कि यहां किया गया है ।

— स्टबबोर्नटॉम

स्पर्शोन्मुख सामान्यता के लिए एक प्रत्यक्ष प्रमाण:

लॉग-लाइक यहाँ है

L = - \frac{n \bar{x}}{θ} - θ n \bar{y}

$L = -\frac {n \bar x}{\theta} - \theta n \bar y$

पहला और दूसरा डेरिवेटिव हैं

\frac{\partial L}{\partial θ} = \frac{n \bar{x}}{θ^{2}} - n \bar{y}, \frac{\partial^{2} L}{\partial θ^{2}} = - \frac{2 n \bar{x}}{θ^{3}}

$\frac {\partial L}{\partial \theta } = \frac {n \bar x}{\theta^2} - n\bar y,\;\;\;\frac {\partial^2 L}{\partial \theta^2 } = -\frac {2n \bar x}{\theta^3}$

MLE संतुष्ट $\hat \theta_n$

\frac{\partial L ({\hat{θ}}_{n})}{\partial θ} = 0

$\frac {\partial L(\hat \theta_n)}{\partial \theta }=0$

सही मूल्य के चारों ओर एक औसत मान विस्तार को लागू करने $\theta_0$ हमारे पास

\frac{\partial L ({\hat{θ}}_{n})}{\partial θ} = \frac{\partial L (θ_{0})}{\partial θ} + \frac{\partial^{2} L ({\tilde{θ}}_{n})}{\partial θ^{2}} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = 0

$\frac {\partial L(\hat \theta_n)}{\partial \theta } = \frac {\partial L(\theta_0)}{\partial \theta } + \frac {\partial^2 L(\tilde \theta_n)}{\partial \theta^2 }(\hat \theta_n - \theta_0) =0$

कुछ के लिए $\tilde \theta_n$ के बीच में और । हमारे पास फिर से व्यवस्था करना, $\hat \theta_n$ $\theta_0$

({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = - {(\frac{\partial^{2} L ({\tilde{θ}}_{n})}{\partial θ^{2}})}^{- 1} \frac{\partial L (θ_{0})}{\partial θ}

$(\hat \theta_n - \theta_0) = -\left(\frac {\partial^2 L(\tilde \theta_n)}{\partial \theta^2 }\right)^{-1}\frac {\partial L(\theta_0)}{\partial \theta }$

लेकिन हमारे एकल-पैरामीटर मामले में, व्युत्क्रम सिर्फ पारस्परिक है, इसलिए, डेरिवेटिव के विशिष्ट अभिव्यक्तियों को भी सम्मिलित करना,

({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = \frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{2 n \bar{x}} (\frac{n \bar{x}}{θ_{0}^{2}} - n \bar{y})

$(\hat \theta_n - \theta_0) = \frac {\tilde \theta^3_n}{2n\bar x}\left(\frac {n \bar x}{\theta^2_0} - n\bar y\right)$

⟹ \sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = \frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{2 \bar{x} θ_{0}^{2}} \sqrt{n} \cdot (\bar{x} - θ_{0}^{2} \bar{y})

$\implies \sqrt{n}(\hat \theta_n - \theta_0) = \frac {\tilde \theta^3_n}{2\bar x \theta_0^2}\sqrt{n}\cdot\left(\bar x - \theta_0^2\bar y \right)$

⟹ \sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = \frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{2 \bar{x} θ_{0}^{2}} \cdot (n^{- 1 / 2} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - θ_{0}^{2} y_{i}))

$\implies \sqrt{n}(\hat \theta_n - \theta_0) = \frac {\tilde \theta^3_n}{2\bar x \theta_0^2}\cdot\left (n^{-1/2}\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0^2 y_i)\right)$

राशि का विचरण है

Var (\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - θ_{0}^{2} y_{i})) = 2 n θ_{0}^{2}

$\text{Var}\left(\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0^2 y_i)\right) = 2n\theta_0^2$

$S_n$

\sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = (\frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{\sqrt{2} \bar{x} θ_{0}}) \cdot \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - θ_{0}^{2} y_{i})}{\sqrt{n} \sqrt{2} θ_{0}}

$\sqrt{n}(\hat \theta_n - \theta_0) = \left(\frac {\tilde \theta^3_n}{\sqrt{2}\bar x \theta_0}\right)\cdot\frac {\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0^2 y_i)}{\sqrt{n}\sqrt{2}\theta_0}$

\sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = (\frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{\sqrt{2} \bar{x} θ_{0}}) \cdot \frac{S_{n}}{\sqrt{Var (S_{n})}}

$\sqrt{n}(\hat \theta_n - \theta_0) = \left(\frac {\tilde \theta^3_n}{\sqrt{2}\bar x \theta_0}\right)\cdot\frac {S_n}{\sqrt{\text{Var}(S_n)}}$

$E(x_i-\theta_0^2 y_i) = 0$ $E(S_n)=0$

\frac{S_{n}}{\sqrt{Var (S_{n})}} \to_{d} N (0, 1)

$\frac {S_n}{\sqrt{\text{Var}(S_n)}} \to_d N(0,1)$

अनुमानक की संगति के कारण, हमारे पास भी है

(\frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{\sqrt{2} \bar{x} θ_{0}}) \to_{p} \frac{θ_{0}}{\sqrt{2}}

$\left(\frac {\tilde \theta^3_n}{\sqrt{2}\bar x \theta_0}\right) \to_p \frac{\theta_0}{\sqrt{2}}$

और स्लटस्की के प्रमेय से हम पहुंचे

\sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) \to_{d} N (0, θ_{0}^{2} / 2)

$\sqrt{n}(\hat \theta_n - \theta_0) \to_d N (0, \theta_0^2/2)$

$\theta_0$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

देर से उत्तर के लिए क्षमा करें। यह सब समय मैं सोच रहा था कि क्या यह एक घुमावदार घातीय परिवार है और इसलिए MLE भिन्न व्यवहार कर सकता है।

— स्टबबोर्नटॉम

@StubbornAtom विषमता सामान्यता निश्चित रूप से खो जाती है जब अनुमान के तहत पैरामीटर पैरामीटर की सीमा पर होता है (यदि आप इसके बारे में सोचते हैं तो काफी सहज परिणाम)।

— एलेकोस पापाडोपोलोस