की संभावना

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मान लें कि और पैरामीटर साथ स्वतंत्र ज्यामितीय यादृच्छिक चर हैं । क्या संभावना है कि ? $X_1$ $X_2$ $p$ $X_1 \geq X_2$

मैं इस प्रश्न के बारे में उलझन में हूं क्योंकि हमें $X_1$ और $X_2$ बारे में कुछ भी नहीं बताया गया है क्योंकि वे ज्यामितीय हैं। क्या यह $50\%$ नहीं होगा क्योंकि $X_1$ और $X_2$ सीमा में कुछ भी हो सकते हैं?

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$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ = $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = $P(X1 < X2)$ और $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

इसलिए, $P(X1 > X2)$ = $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ = $\frac{1-p}{2-p}$
जोड़ना $P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ उस तक, मुझे $P(X1 ≥ X2)$ = $\frac{1}{2-p}$

क्या ये सही है?

self-study random-variable geometric-distribution

— आई आर सी ए
स्रोत

3

कृपया 'स्व-अध्ययन' टैग जोड़ें।

— स्टबबोर्नटॉम

1

वास्तव में क्योंकि X1और X2असतत चर समानताएं चीजों को थोड़ा कम स्पष्ट करती हैं।

— us --r11852

13

यह नहीं हो सकता क्योंकि $50\%$ $P(X_1=X_2)>0$

एक दृष्टिकोण:

तीन घटनाओं और , जो नमूना स्थान को विभाजित करते हैं। $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ $P(X_1=X_2)$

पहले दो के बीच एक स्पष्ट संबंध है। तीसरे के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें और सरल करें। इसलिए प्रश्न को हल करें।

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

मैंने संपादित किया, मेरी पोस्ट मेरे नए उत्तर के साथ। क्या आप देख सकते हैं कि क्या यह सही है?

— इरका

1

हां, आपके उत्तर सही हैं। एक वैकल्पिक विधि (एक समान विचार का उपयोग करके) यह ध्यान रखना होगा कि (फिर से, और की समरूपता / आदान-प्रदान का शोषण )।

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

6

ग्लेन के सुझाव के बाद आपका उत्तर सही है। एक और, कम सुरुचिपूर्ण, रास्ता बस हालत है:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

यह आपको दो ज्यामितीय श्रृंखला को संभालने के बाद एक ही । ग्लेन का तरीका बेहतर है। $1/(2-p)$

— जेन
स्रोत

4

नोट - आपका तरीका मेरे हिसाब से नई समस्याओं के लिए बेहतर है। क्योंकि यह पहले सिद्धांतों पर आधारित है। Glen_b के उत्तर से चाल / अंतर्मुखी आमतौर पर समस्या को हल करने के बाद आती है

— संभावना

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@probabilityislogic मैं "पहले सिद्धांतों" से व्युत्पन्न के लिए आपका उत्साह साझा करता हूं। हालाँकि, एक आधुनिक गणितज्ञ के लिए, समरूपता की तलाश और उसका दोहन पहले सिद्धांतों (परिभाषाओं) की तुलना में अधिक मौलिक है, जिसका आप उल्लेख करते हैं: हम इसे गणित का एक रूपक कह सकते हैं । यह एक "चाल" से बहुत अधिक है।

— whuber