यदि एक ही मॉडल में दो पैरामीटर का अनुमान काफी भिन्न है तो मैं कैसे परीक्षण कर सकता हूं?

मेरे पास मॉडल है

y = x^{a} \times z^{b} + e

$y=x^a \times z^b + e$

जहाँ निर्भर चर है, और व्याख्यात्मक चर हैं, और पैरामीटर हैं और एक त्रुटि शब्द है। मेरे पास और पैरामीटर अनुमान हैं और इन अनुमानों का एक सहसंयोजक मैट्रिक्स है। अगर और काफी अलग हैं तो मैं कैसे परीक्षण करूं ? $y$ $x$ $z$ $a$ $b$ $e$ $a$ $b$ $a$ $b$

statistical-significance nonlinear-regression

— के। रॉलोफ़्स
स्रोत

इस परिकल्पना का आकलन करना कि $a$ और $b$ अलग हैं, null परिकल्पना $a - b = 0$ (विकल्प के $a-b\ne 0$ ) ) के परीक्षण के बराबर है ।

निम्नलिखित विश्लेषण presumes यह आप अनुमान लगाने के लिए के लिए उचित है $a-b$ के रूप में

U = \hat{a} - \hat{b} .

$U = \hat a - \hat b.$ यह आपके मॉडल निर्माण को भी स्वीकार करता है (जो अक्सर एक उचित होता है), जो - क्योंकि त्रुटियां योजक हैं (और यहां तक कि

y

$y$ नकारात्मक मनाया मूल्यों का उत्पादन भी कर सकते हैं ) - हमें दोनों पक्षों के लॉगरिथम ले कर इसे रेखीय करने की अनुमति नहीं देता है ।

का विचरण $U$ सहप्रसरण मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $(c_{ij})$ के $(\hat a, \hat b)$ के रूप में

Var (U) = Var (\hat{a} - \hat{b}) = Var (\hat{a}) + Var (\hat{b}) - 2 Cov (\hat{a}, \hat{b}) = c_{11} + c_{22} - 2 c_{12}^{2} .

$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$

जब $(\hat a, \hat b)$ है कम से कम वर्गों के साथ अनुमान है, एक आम तौर पर एक "टी परीक्षण," का उपयोग करता है वह यह है कि के वितरण

t = U / \sqrt{V a r (U)}

$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$ कोछात्र t वितरण केसाथ

n - 2

$n-2$ डिग्री की स्वतंत्रता (जहां

n

$n$ डेटा की संख्या है और

2

$2$ गुणांक की संख्या गिनताहै

द्वारा अनुमानित किया गया है। भले ही,

t

$t$ आमतौर पर किसी भी परीक्षा का आधार होता है। उदाहरण के लिए,आप एक Z परीक्षण (जब

n

$n$ बड़ा होता है या अधिकतम संभावना के साथ फिटिंग) करते हैं या इसे बूटस्ट्रैप कर सकते हैं।

विशिष्ट होने के लिए, टी परीक्षण के पी-मूल्य द्वारा दिया जाता है

p = 2 t_{n - 2} (- | t |)

$p = 2t_{n-2}(-|t|)$

जहाँ $t_{n-2}$ छात्र t (संचयी) वितरण कार्य है। यह "पूंछ क्षेत्र:" का मौका है कि एक छात्र t चर ( $n-2$ डिग्री की स्वतंत्रता के) बराबर होता है या परीक्षण सांख्यिकीय के आकार से अधिक होता है, $|t|.$

आम तौर पर, संख्या के लिए $c_1,$ $c_2,$ और $\mu$ आप किसी भी परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए बिल्कुल एक ही दृष्टिकोण का उपयोग कर सकते हैं

H_{0} : c_{1} a + c_{2} b = μ

$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$

दो तरफा विकल्प के खिलाफ। (यह एक विशेष लेकिन व्यापक मामले शामिल हैं "विपरीत" ।) का उपयोग करें अनुमानित विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स $(c_{ij})$ के विचरण का अनुमान लगाने के $U = c_1 a + c_2 b$ और आँकड़ों के लिए फार्म

t = (c_{1} \hat{a} + c_{2} \hat{b} - μ) / \sqrt{Var (U)} .

$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$

पूर्वगामी मामला है $(c_1,c_2) = (1,-1)$ और $\mu=0.$

यह सलाह सही है, यह जांचने के लिए, मैंने Rइस मॉडल के अनुसार डेटा बनाने के लिए निम्न कोड चलाया (सामान्य रूप से वितरित त्रुटियों के साथ e), उन्हें फिट करें, और कई बार $t$ के मूल्यों की गणना करें । जांच यह है कि $t$ की संभावना की साजिश (माना गया छात्र टी वितरण के आधार पर) विकर्ण का बारीकी से अनुसरण करता है। यहाँ आकार के अनुकरण में है कि साजिश है $500$ जहाँ $n=5$ (एक बहुत छोटा डाटासेट, चुना क्योंकि $t$ वितरण सामान्य से दूर है) और $a=b=-1/2.$

$a,$ $b,$ $\sigma$ $n$

यहाँ कोड है।

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)

— व्हीबर
स्रोत

यह उत्कृष्ट है। थ्योरी के साथ उत्तर, अन्य परीक्षणों के लिए दोहराने के लिए चरणों के साथ, स्पष्टता के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण और कोड के साथ। यह सोने का मानक है।

— सीक्रेटएजमैन

मुझे लगता है " परिकल्पना है कि ए और बी अलग हैं" अपने उद्घाटन वाक्य में अस्पष्ट है, क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि एक अशक्त या वैकल्पिक परिकल्पना है या नहीं। ओपी का प्रश्न स्पष्ट करता है कि वे अंतर के सबूत की तलाश कर रहे हैं, और आपके वाक्य का दूसरा खंड उस पर बोलता है। शैक्षणिक रूप से मुझे लगता है कि यह लोगों को नए सिरे से परिकल्पना परीक्षण के लिए सुपर स्पष्ट होने में मदद करता है। (लेकिन आपके जवाब के लिए +1 समग्र :)

— एलेक्सिस

@ एलेक्सिस धन्यवाद - मैं देख रहा हूं कि आप क्या कह रहे हैं। क्योंकि मेरे मन में ऐसे लोग हैं, मैं स्पष्ट करूँगा।

— whuber