क्या डेबोरा मेयो ने बिरनबाम के संभावना सिद्धांत के प्रमाण का खंडन किया था?

यह कुछ हद तक मेरे पिछले प्रश्न से संबंधित है: एक उदाहरण जहां संभावना सिद्धांत * वास्तव में * मायने रखता है?

जाहिर तौर पर, देबोराह मेयो ने सांख्यिकीय विज्ञान में एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें बिरनबाम के संभावना सिद्धांत के प्रमाण का खंडन किया गया। क्या कोई बिरनबाम द्वारा मुख्य तर्क और मेयो द्वारा प्रतिवाद को समझा सकता है? क्या वह सही है (तार्किक रूप से)?

mathematical-statistics likelihood-principle

— statslearner2
स्रोत

इस निराकरण का खंडन: academic.oup.com/bjps/article-abstract/66/3/475/1497890 (मुक्त प्रतिलिपि: gandenberger.org/wp-content/uploads/2013/11/... )।

— अमीबा का कहना है कि

अधिक कमेंटरी: stats.stackexchange.com/questions/65520/...

— rolando2

यह भी देखें arxiv.org/abs/1711.08093

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

माइकल लुईस सवाल पर इनाम के लिए धन्यवाद।

— 12

बाउंटी फिर से, तीसरी बार एक आकर्षण है।

— 19

संक्षेप में, बीरनबाम का तर्क यह है कि दो व्यापक रूप से स्वीकृत सिद्धांत तार्किक रूप से यह कहते हैं कि संभावना सिद्धांत को धारण करना चाहिए। मेयो का प्रतिवाद यह है कि प्रमाण गलत है क्योंकि बिरनबाम सिद्धांतों में से एक का दुरुपयोग करता है।

नीचे मैं तर्कों को इस हद तक सरल करता हूं कि वे बहुत कठोर नहीं हैं। मेरा उद्देश्य उन्हें व्यापक दर्शकों के लिए सुलभ बनाना है क्योंकि मूल तर्क बहुत ही तकनीकी हैं। इच्छुक पाठकों को टिप्पणियों में प्रश्न में जुड़े लेखों में विस्तार से देखना चाहिए।

$\theta$ $E_1$ $E_2$ $E_{mix}$ $E_1$ $E_2$

सिद्धांतों:

निम्नलिखित दो सिद्धांत व्यापक रूप से स्वीकार किए जाते हैं:

$E_1$ $E_{mix}$

पर्याप्तता सिद्धांत कहता है कि हमें दो प्रयोगों में समान निष्कर्ष निकालना चाहिए जहां एक पर्याप्त आंकड़े का समान मूल्य होता है।

निम्नलिखित सिद्धांत बायेसियन द्वारा स्वीकार किया जाता है लेकिन आवृत्तियों द्वारा नहीं। फिर भी, बीरनबाम का दावा है कि यह पहले दो का तार्किक परिणाम है।

संभावना सिद्धांत कहता है कि हमें दो प्रयोगों में समान निष्कर्ष निकालना चाहिए जहां संभावना कार्य आनुपातिक हैं।

बिरनबाम की प्रमेय:

$E_1$ $\theta$ ${10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3$ $E_2$ $\theta$ ${9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3$

Birnbaum पर निम्नलिखित आंकड़ा समझता है से के लिए : जहां और क्रमशः "शीर्ष" और "पूंछ" की संख्या हैं। तो कोई बात नहीं, परिणाम को रिपोर्ट करता है जैसे कि यह प्रयोग से आया है । यह पता चला है कि में लिए पर्याप्त है । एकमात्र मामला जो गैर-तुच्छ है, जब और , जहां हमारे पास है $E_{mix}$ $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$ $\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$

T : (ξ, x, y) \to (1, x, y),

$T: (\xi, x,y) \rightarrow (1, x,y),$

x

$x$

y

$y$

T

$T$

E_{1}

$E_1$

T

$T$

θ

$\theta$

E_{m i x}

$E_{mix}$

x = 7

$x = 7$

y = 3

$y = 3$

P (X_{m i x} = (1, x, y) | T = (1, x, y)) = \frac{0.5 \times (\binom{10}{3}) θ^{7} (1 - θ)^{3}}{0.5 \times (\binom{10}{3}) θ^{7} (1 - θ)^{3} + 0.5 \times (\binom{9}{7}) θ^{7} (1 - θ)^{3}} = \frac{(\binom{10}{3})}{(\binom{10}{3}) + (\binom{9}{7})} .

$P(X_{mix}=(1,x,y)|T=(1,x,y)) = \frac{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3}{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3 + 0.5 \times {9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3}=\frac{{10 \choose 3}}{{10 \choose 3}+{9 \choose 7}}.$ अन्य सभी मामले 0 या 1 हैं - को छोड़कर , जो ऊपर दिए गए प्रायिकता का पूरक है। के वितरण दिया से स्वतंत्र है , इसलिए के लिए पर्याप्त आंकड़ा है ।

P (X_{m i x} = (2, x, y) | T = (1, x, y))

$P(X_{mix}=(2,x,y)|T=(1,x,y))$

X_{m i x}

$X_{mix}$

T

$T$

θ

$\theta$

T

$T$

θ

$\theta$

अब, प्रचुरता सिद्धांत के अनुसार, हम के लिए एक ही निष्कर्ष निकालना चाहिए और में , और कमजोर condionality सिद्धांत से, हम के लिए एक ही निष्कर्ष निकालना चाहिए में और में , साथ ही के लिए में और में । इसलिए हमारा निष्कर्ष सभी मामलों में एक जैसा होना चाहिए, जो कि संभावना सिद्धांत है। $(1,x,y)$ $(2,x,y)$ $E_{mix}$ $(x,y)$ $E_1$ $(1,x,y)$ $E_{mix}$ $(x,y)$ $E_2$ $(2,x,y)$ $E_{mix}$

मेयो के काउंटर प्रूफ:

बिरनबाम की स्थापना एक मिश्रण प्रयोग नहीं है क्योंकि "1" और "2" लेबल वाले सिक्के का परिणाम नहीं देखा गया था , इसलिए कमजोर स्थिति सिद्धांत इस मामले पर लागू नहीं होता है ।

टेस्ट बनाम लें और परीक्षण के पी-मान से एक निष्कर्ष निकालें। एक प्रारंभिक अवलोकन, ध्यान दें कि के पी-मूल्य के रूप में में लगभग के रूप में द्विपद बंटन द्वारा दिया जाता है ; में p का ऋणात्मक द्विपद वितरण द्वारा लगभग रूप में दिया गया है । $\theta = 0.5$ $\theta > 0.5$ $(7,3)$ $E_1$ $0.1719$ $(7,3)$ $E_2$ $0.0898$

यहां महत्वपूर्ण भाग आता है: में का पी-मान दो के औसत के रूप में दिया गया है - याद रखें कि हम सिक्के की स्थिति नहीं जानते हैं - अर्थात लगभग । अभी तक के पी-मूल्य में - जहां सिक्का मनाया जाता है - में है कि रूप में ही है , यानी लगभग । कमजोर शर्त सिद्धांत रखती है (अंत में एक ही है और में और अभी तक संभावना सिद्धांत नहीं है जहां सिक्का भूमि "1")। काउंटर-उदाहरण बीरनबाम की प्रमेय को नापसंद करता है। $T=(1,7,3)$ $E_{mix}$ $0.1309$ $(1,7,3)$ $E_{mix}$ $E_1$ $0.1719$ $E_1$ $E_{mix}$

मेयो के काउंटर प्रूफ के पेना और बर्जर का खंडन:

मेयो ने स्पष्ट रूप से पर्याप्तता सिद्धांत के बयान को बदल दिया: वह "एक ही विधि" के रूप में "उसी निष्कर्ष" की व्याख्या करती है। पी-वैल्यू लेना एक निष्कर्ष विधि है, लेकिन निष्कर्ष नहीं।

पर्याप्तता सिद्धांत कहता है कि यदि पर्याप्त संख्या में मौजूद है, तो निष्कर्ष समान होना चाहिए, लेकिन इसके लिए पर्याप्त सांख्यिकीय का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। यदि ऐसा होता है, तो यह एक विरोधाभास की ओर ले जाएगा, जैसा कि मेयो द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

— gui11aume
स्रोत

एक साइड नोट के रूप में, कोई संस्थापक सिद्धांतों के मूल्य पर सवाल उठा सकता है यदि कोई वास्तव में नहीं बता सकता है कि वे कब और कैसे लागू होते हैं। मुझे आश्चर्य है कि स्वयंसिद्ध पद्धति संभाव्यता के लिए अच्छी तरह से क्यों काम करती है लेकिन आंकड़ों के सिद्धांत के लिए इतना नहीं।

— गुई ११