माध्य, मध्य और विधा के बीच अनुभवजन्य संबंध

Question

एक असमान वितरण के लिए जो मामूली तिरछा है, हमारे मध्यमान, माध्य और मोड: के बीच निम्नलिखित अनुभवजन्य संबंध है। यह रिश्ता कैसा था निकाली गई?

$$\text{(Mean - Mode)}\sim 3\,\text{(Mean - Median)}$$

क्या कार्ल पियर्सन ने इस निष्कर्ष को बनाने से पहले हजारों रिश्तों की साजिश रची, या इस रिश्ते के पीछे तर्क की एक तार्किक रेखा है?

Answer 1

निरूपित मतलब ( औसत), मंझला, मानक विचलन और मोड। अंत में, को नमूना होने दें , एक निरंतर अनिमॉडल वितरण का अहसास जिसके लिए पहले दो क्षण मौजूद हैं।≠ मीटर σ एम एक्स $\mu$$\neq$$m$$\sigma$$M$$X$$F$

यह सर्वविदित है

$$|\mu-m|\leq\sigma\label{d}\tag{1}$$

यह एक लगातार पाठ्यपुस्तक अभ्यास है:

गई| एक्स-सी|

$$\begin{eqnarray} |\mu-m| &=& |E(X-m)| \\ &\leq& E|X-m| \\ &\leq& E|X-\mu| \\ &=& E\sqrt{(X-\mu)^2} \\ &\leq& \sqrt{E(X-\mu)^2} \\ &=& \sigma \end{eqnarray}$$ पहला समानता माध्य की परिभाषा से निकलती है, तीसरा इस बारे में आता है क्योंकि मध्ययुगीन का यूनिक मिनिमाइज़र (सभी 's के बीच ) हैऔर जेनसन की असमानता से चौथा (यानी उत्तल कार्य की परिभाषा)। दरअसल, इस असमानता को तंग किया जा सकता है। वास्तव में, किसी भी , उपरोक्त शर्तों को संतोषजनक करते हुए, यह दिखाया जा सकता है [3] कि$c$$E|X-c|$$F$

$$|m-\mu|\leq \sqrt{0.6}\sigma\label{f}\tag{2}$$

हालांकि यह सामान्य रूप से सही नहीं है ( अबादिर, 2005 ) कि किसी भी असामयिक वितरण को से किसी एक को संतुष्ट करना चाहिए, फिर भी यह दिखाया जा सकता है कि असमानता

$$M\leq m\leq\mu\textit{ or }M\geq m\geq \mu$$

$$|\mu-M|\leq\sqrt{3}\sigma\label{e}\tag{3}$$

किसी भी असमान, वर्ग पूर्णांक वितरण (तिरछा की परवाह किए बिना) के लिए रखती है। यह औपचारिक रूप से जॉनसन एंड रोजर्स (1951) में सिद्ध होता है, हालांकि यह प्रमाण कई सहायक नींबूओं पर निर्भर करता है, जो यहां फिट होना मुश्किल है। मूल पेपर देखें।

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डिस्ट्रीब्यूशन लिए पर्याप्त शर्त को संतुष्ट करने के लिए [2] में दी गई है। यदि :μ ≤ एम ≤ एम $F$$\mu\leq m\leq M$$F$

$$F(m−x)+F(m+x)\geq 1 \text{ for all }x\label{g}\tag{4}$$

तो । इसके अलावा, अगर , तो असमानता सख्त है। पियर्सन टाइप I टू XII वितरण, संतोषजनक वितरण के परिवार का एक उदाहरण है [४] (उदाहरण के लिए, वीबुल एक सामान्य वितरण है जिसके लिए धारण नहीं करता है, [५] देखें)।$\mu\leq m\leq M$$\mu\neq m$$(4)$$(4)$

अब यह मानते हुए कि सख्ती से रखती है और उस _ रोकती है , हमारे पास वह $(4)$$\sigma=1$

$$3(m-\mu)\in(0,3\sqrt{0.6}] \mbox{ and } M-\mu\in(m-\mu,\sqrt{3}]$$

और जब से इन दो श्रेणियों में से दूसरा खाली नहीं है, निश्चित रूप से उन वितरणों को ढूंढना संभव है जिनके लिए अभिकथन सत्य है (जैसे ) वितरण के मापदंडों के मूल्यों की कुछ सीमा के लिए लेकिन यह सभी वितरणों के लिए सही नहीं है और सभी वितरणों के लिए भी संतोषजनक नहीं है ।$0<m-\mu<\frac{\sqrt{3}}{3}<\sigma=1$$(4)$

• [०]: द अनिमोडल डिस्ट्रीब्यूशन के लिए मोमेंट प्रॉब्लम। एनएल जॉनसन और सीए रोजर्स। गणित की सांख्यिकी, खंड। 22, नंबर 3 (सित।, 1951), पीपी। 433-439
• [१]: द मीन-मेडियन-मोड असमानता: काउंटरटेक्मेंस करीम एम। अबादिर इकोनोमेट्रिक थ्योरी, वॉल्यूम। 21, नंबर 2 (अप्रैल, 2005), पीपी। 477-482
• [२]: WR वैन Zwet, माध्य, माध्यिका, मोड II, स्टेटिस्ट। नीरलैंडिका, 33 (1979), पीपी। 1--5।
• [३]: द मीन, मेडियन, और मोड ऑफ़ अनिमॉडल डिस्ट्रिब्यूशन: ए अक्षर। एस। बसु और ए। दासगुप्ता (1997)। थ्योरी प्रोबब। Appl।, 41 (2), 210–223।
• [४]: मीन, मेडियन, मोड एंड स्केवनेस पर कुछ रिमार्क्स। मिकिकाज़ु सातो। सांख्यिकी के ऑस्ट्रेलियाई जर्नल। वॉल्यूम 39, अंक 2, पृष्ठ 219-224, जून 1997
• [५]: पीटी वॉन हिप्पेल (२००५)। मीन, मेडियन और स्क्यू: एक पाठ्यपुस्तक नियम को सही करना। जर्नल ऑफ़ स्टैटिस्टिक्स एजुकेशन वॉल्यूम 13, नंबर 2।

Comments

मुझे खेद है, मैं सिर्फ प्रथम वर्ष का छात्र हूं। क्या आप कृपया एक लिंक / पुस्तक / पेपर प्रदान कर सकते हैं / सुझा सकते हैं जो बताता है कि संबंध कैसे बना था?

— सारा

@ मुझे लगता है कि यह कार्ल पियर्सन के लिए वापस आता है, जो अपने "पियर्सन मोड स्केचनेस" के लिए इस अनुभवजन्य संबंध का उपयोग करता है। इसके अलावा, आपको यह दिलचस्प लेख ऑनलाइन मिल सकता है, j.mp/aWymCv ।

— chl

आपने जो लिंक और उत्तर प्रदान किया है, उसके लिए आपको chl और kwak धन्यवाद। मैं उनका अध्ययन करूंगा।

— सारा

विभिन्न बिंदु:कम से कम जब है की औसत है । वॉन हिप्पेल का लेख (chl द्वारा ऊपर जोड़ा गया) अपवादों और btinternet.com/~se16/hgb/median.htm को निरंतर और असतत वितरण के लिए, माध्य, मोड और मानक विचलन दोनों के बीच संभावित संबंध को दर्शाता है। 3 वास्तव में कोई भी मूल्य ले सकता है: सकारात्मक, नकारात्मक, शून्य या अनंत। के $E|X-k|$$k$$X$

— हेनरी

$|M-\mu|\leq 3|\mu-m|$

Answer 2

पेपर chl कुछ महत्वपूर्ण जानकारी देता है - यह दर्शाता है कि यह एक सामान्य नियम के करीब नहीं है (यहां तक ​​कि निरंतर, चिकनी, "अच्छी तरह से व्यवहार किया गया" चर, जैसे वेबुल)। तो जबकि यह अक्सर लगभग सच हो सकता है, यह अक्सर नहीं होता है।

तो पियर्सन कहाँ से आ रहा है? वह इस सन्निकटन में कैसे पहुंचे?

सौभाग्य से, Pearson बहुत हमें खुद जवाब बताता है।

शब्द "तिरछा" जिस अर्थ में हम इसका उपयोग कर रहे हैं उसका पहला उपयोग पियर्सन, 1895 [1] लगता है (यह शीर्षक में सही प्रतीत होता है)। यह कागज भी प्रतीत होता है जहां उन्होंने पद मोड (फुटनोट, पी ३४५) का परिचय दिया :

मैंने अधिकतम आवृत्ति के क्रम के अनुरूप एब्सिस्सा के लिए शब्द मोड का उपयोग करना सुविधाजनक पाया है । "माध्य," "विधा," और "माध्यिका" सभी महत्वपूर्ण चरित्र सांख्यिकीय के लिए महत्वपूर्ण हैं।

यह आवृत्ति घटता की उनकी प्रणाली का उनका पहला वास्तविक विवरण भी प्रतीत होता है ।

इसलिए पीयर्सन टाइप III वितरण में आकार के पैरामीटर के आकलन पर चर्चा करने में (जिसे अब हम शिफ्टेड कहेंगे - और संभवतः फ़्लिप - गामा), वे कहते हैं (p375):

$p$$^\dagger$

* यह गामा आकार पैरामीटर मेल खाता है$>1$

$\dagger$$x$

और वास्तव में, यदि हम गामा वितरण के लिए (माध्य-मध्यमान) के अनुपात (माध्य-माध्यिका) को देखते हैं, तो हम निम्न निरीक्षण करते हैं:

(नीला भाग इस क्षेत्र को दर्शाता है कि पियर्सन का कहना है कि अनुमान उचित है)।

$\alpha$$\beta$

( साथ बीटा की सबफैमिली की विशेष पसंद$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}=k$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}=c$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$

$\alpha>10$

$e^{\mu-\sigma^2}, e^{\mu}$$e^{\mu+\sigma^2/2}$

$e^{\mu}$$\frac{e^{\sigma^2/2}-e^{-\sigma^2}}{e^{\sigma^2/2}-1}$$\sigma^2$$\frac{3}{2}\sigma^2$$\frac{1}{2}\sigma^2$$\sigma^2$

अच्छी तरह से ज्ञात वितरणों की एक उचित संख्या है - जिनमें से कई पियर्सन परिचित थे - जिसके लिए यह पैरामीटर मानों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए सही है; उन्होंने इसे गामा वितरण के साथ देखा, लेकिन जब वह कई अन्य वितरणों पर विचार करने की संभावना होगी, तो विचार की पुष्टि होगी।

[१]: पियर्सन, के। (१, ९ ५),
"इवोल्यूशन के गणितीय सिद्धांत में योगदान, २:
होमोजीसियस मटीरियल में तिरछा बदलाव," रॉयल सोसाइटी के दार्शनिक लेन-देन, श्रृंखला ए, १6६, ३४३-४१४
[कॉपीराइट से बाहर। स्वतंत्र रूप से यहाँ उपलब्ध ]

Answer 3

यह संबंध व्युत्पन्न नहीं था। यह देखा गया था लगभग पास सममित वितरण पर धारण करने के लिए अनुभव । आंकड़ों के सिद्धांत का परिचय , (1922), पृष्ठ.121, अध्याय VII धारा 20 में यूल का विस्तार देखें । वह अनुभवजन्य उदाहरण प्रस्तुत करता है।

Comments

+1 वास्तव में, पियरसन 1895 का मेरा उद्धरण इंगित करता है कि यह कुछ ऐसा है जिसे उन्होंने व्युत्पन्न के बजाय देखा है।

— Glen_b

पुराने गणित के ग्रंथ आज के लेखन की तुलना में पढ़ने में बहुत अधिक मजेदार हैं

— अक्षल