गौसियन कोप्युला से अनुकरण कैसे करें?

मान लीजिए कि मेरे पास दो यूनिवर्सिएट सीमांत वितरण हैं, और कहते हैं , जिससे मैं अनुकरण कर सकता हूं। अब, एक गौसियन कोप्युला का उपयोग करके उनके संयुक्त वितरण का निर्माण करें, जो दर्शाता । सभी मापदंडों को जाना जाता है। $F$ $G$ $C(F,G;\Sigma)$

क्या इस कोपला से अनुकरण के लिए एक गैर-एमसीएमसी विधि है?

normal-distribution simulation copula

— Tilo
स्रोत

मान के लिए लिए मान लें : उत्पन्न करें । लो और। सब कुछ कर दिया।

Σ_{i i} = 1

$\Sigma_{ii} = 1$

i = 1, 2

$i=1,2$

(X, Y) \sim N (0, Σ)

$(X,Y) \sim \mathcal N(0,\Sigma)$

F^{- 1} (Φ (X))

$F^{-1}(\Phi(X))$

G^{- 1} (Φ (Y))

$G^{-1}(\Phi(Y))$

— कार्डिनल

आर में "कोपुला" नामक एक पैकेज भी है, जो अधिकांश मानक कोपलों को अनुकरण कर सकता है।

— सेमीब्रुइन

गौसियन कोप्युला से अनुकरण करने के लिए एक बहुत ही सरल विधि है जो बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण और गौस कोप्युला की परिभाषाओं पर आधारित है।

मैं मल्टीवेरिएट सामान्य वितरण की आवश्यक परिभाषा और गुण प्रदान करके शुरू करूंगा, इसके बाद गौसियन कोप्युला, और फिर मैं गॉस कोप्युला से अनुकरण करने के लिए एल्गोरिथ्म प्रदान करूंगा।

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण
एक यादृच्छिक वेक्टर एक है मल्टीवेरिएट सामान्य वितरण करता है, तो जहां एक है स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर के आयामी वेक्टर, एक है स्थिरांक की आयामी वेक्टर, और एक है स्थिरांक की मैट्रिक्स। संकेतन $X = (X_1, \ldots, X_d)'$

X \overset{d}{=} μ + A Z,

$X \stackrel{\mathrm{d}}{=} \mu + AZ,$

Z

$Z$

k

$k$

μ

$\mu$

d

$d$

A

$A$

d \times k

$d\times k$

\overset{d}{=}

$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$ वितरण में समानता को दर्शाता है। तो, का प्रत्येक घटक अनिवार्य रूप से स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर का भारित योग है। मीन वैक्टर और सहसंयोजक मैट्रिक्स के गुणों से, हमारे पास और , , प्राकृतिक संकेतन लिए अग्रणी है। ।

X

$X$

E (X) = μ

${\rm E}(X) = \mu$

c o v (X) = Σ

${\rm cov}(X) = \Sigma$

Σ = A A^{'}

$\Sigma = AA'$

X \sim N_{d} (μ, Σ)

$X \sim {\rm N}_d(\mu, \Sigma)$

गॉस योजक गॉस योजक मल्टीवेरिएट सामान्य वितरण, है कि से implicitely परिभाषित किया गया है, गॉस योजक बहुविविध सामान्य वितरण के साथ जुड़े योजक है। विशेष रूप से, Sklar की प्रमेय से गॉस जहां मानक सामान्य वितरण फ़ंक्शन को दर्शाता है, और सहसंबंध मैट्रिक्स P के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य सामान्य वितरण फ़ंक्शन को दर्शाता है। इसलिए, गॉस कॉपुला केवल एक मानक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण है जहां संभावना अभिन्न रूपांतर होती है प्रत्येक मार्जिन पर लागू किया जाता है।

C_{P} (u_{1}, \dots, u_{d}) = Φ_{P} (Φ^{- 1} (u_{1}), \dots, Φ^{- 1} (u_{d})),

$C_P(u_1, \ldots, u_d) = \boldsymbol{\Phi}_P(\Phi^{-1}(u_1), \ldots, \Phi^{-1}(u_d)),$

Φ

$\Phi$

Φ_{P}

$\boldsymbol{\Phi}_P$

सिमुलेशन एल्गोरिथ्म
उपरोक्त के मद्देनजर, गॉस कोप्युला से अनुकरण करने के लिए एक प्राकृतिक दृष्टिकोण मल्टीरिएट मानक सामान्य वितरण से उचित सहसंबंध मैट्रिक्स साथ अनुकरण करना है , और मानक सामान्य वितरण फ़ंक्शन के साथ प्रायिकता अभिन्न परिवर्तन का उपयोग करके प्रत्येक मार्जिन को परिवर्तित करना है। कोविरियन मैट्रिक्स साथ एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से अनुकरण करते हुए अनिवार्य रूप से स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर का भारित योग करने के लिए नीचे आता है, जहां "वजन" मैट्रिक्स कोवेरिएंस मैट्रिक्स के चोल्स्की अपघटन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है । $P$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$

इसलिए, सहसंबंध मैट्रिक्स साथ गॉस कॉपुला से नमूनों को अनुकरण करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है: $n$ $P$

चोल्स्की अपघटन करें , और को परिणामी निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स के रूप में सेट करें । $P$ $A$
निम्नलिखित चरणों को बार दोहराएं ।
1. एक वेक्टर स्वतंत्र मानक सामान्य उत्पन्न करें । $Z = (Z_1, \ldots, Z_d)'$
2. सेट करें $X = AZ$
3. वापसी । $U = (\Phi(X_1), \ldots, \Phi(X_d))'$

R का उपयोग करके इस एल्गोरिथ्म के एक उदाहरण कार्यान्वयन में निम्नलिखित कोड:

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
P <- matrix(c(1, 0.1, 0.8,               # Correlation matrix
              0.1, 1, 0.4,
              0.8, 0.4, 1), nrow = 3)
d <- nrow(P)                             # Dimension
n <- 200                                 # Number of samples

## Simulation (non-vectorized version)
A <- t(chol(P))
U <- matrix(nrow = n, ncol = d)
for (i in 1:n){
    Z      <- rnorm(d)
    X      <- A%*%Z
    U[i, ] <- pnorm(X)
}

## Simulation (compact vectorized version) 
U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))

## Visualization
pairs(U, pch = 16,
      labels = sapply(1:d, function(i){as.expression(substitute(U[k], list(k = i)))}))

निम्न चार्ट उपरोक्त आर कोड के परिणामस्वरूप डेटा दिखाता है।

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

— QuantIbex
स्रोत

उसके बाद F और G कहां दिखाई देते हैं?

— lcrmorin 16

@Were_cat, आपका क्या मतलब है?

— क्वांटाइबेक्स

मूल प्रश्न में एफ और जी का उल्लेख है, दो अविभाजित वितरण। आप एफ और जी मार्जिन के साथ आरवी के लिए कॉपुलस से कैसे जाते हैं?

— lcrmorin

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

(0, 1)

$(0, 1)$

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}

$Y_2$

F

$F$

G

$G$

Y_{1} = F^{- 1} (U_{1})

$Y_1 = F^{-1}(U_1)$

Y_{2} = G^{- 1} (U_{2})

$Y_2 = G^{-1}(U_2)$

F^{- 1}

$F^{-1}$

G^{- 1}

$G^{-1}$

F

$F$

G

$G$

@Were_cat, विकिपीडिया उद्धृत करने के लिए योजक पेज: "एक योजक बहुविविध संभावना वितरण जिसके लिए प्रत्येक चर के सीमांत संभावना वितरण वर्दी copulas यादृच्छिक चर के बीच निर्भरता का वर्णन किया जाता है।।"

— क्वांटाइबेक्स