मेरे प्रथम पीसी द्वारा विचरण की मात्रा को औसत युग्मबद्ध सहसंबंध के इतने करीब क्यों बताया गया है?

Question

पहले मुख्य घटक (एस) और सहसंबंध मैट्रिक्स में औसत सहसंबंध के बीच क्या संबंध है?

उदाहरण के लिए, एक अनुभवजन्य अनुप्रयोग में मैं यह देखता हूं कि औसत सहसंबंध कुल प्रिंसिपल (पहले eigenvalue) के कुल विचरण (सभी eigenvalues ​​का योग) के विचरण के अनुपात के समान है।

क्या कोई गणितीय संबंध है?

नीचे अनुभवजन्य परिणामों का चार्ट है। जहां सहसंबंध डीएएक्स स्टॉक इंडेक्स घटक के बीच औसत सहसंबंध है, जो 15-दिवसीय रोलिंग विंडो पर गणना की गई है और समझाया गया विचरण पहला प्रमुख घटक द्वारा समझाया गया विचरण का हिस्सा है, जिसे 15-दिवसीय रोलिंग विंडो पर भी गणना की जाती है।

क्या इसे CAPM जैसे सामान्य जोखिम कारक मॉडल द्वारा समझाया जा सकता है?

Comments

क्या लगता है जब कई सहसंबंध नकारात्मक या शून्य के पास होते हैं ? उदाहरण के लिए, शून्य सहसंबंध के साथ कुछ द्विभाजित सामान्य डेटा उत्पन्न करते हैं। आप अपने विचरण अनुपात और उस शून्य सहसंबंध के बीच कोई संबंध होने की उम्मीद क्यों करेंगे?

— whuber

Answer 1

मेरा मानना ​​है कि माध्य सहसंबंध और 1 पीसी के आइजनवेल के बीच संबंध मौजूद हैं, लेकिन अद्वितीय नहीं है। मैं एक गणितज्ञ नहीं हूं जो इसे कम कर सके, लेकिन मैं कम से कम शुरुआती बिंदु को प्रदर्शित कर सकता हूं जहां से किसी का अंतर्ज्ञान या विचार बढ़ सकता है।

यदि आप यूक्लिडियन स्पेस में वैक्टर के रूप में मानकीकृत चर खींचते हैं जो इसे सीट देता है (और यह कम जगह है जहां कुल्हाड़ियों के अवलोकन होते हैं), सहसंबंध दो वैक्टर के बीच कोसाइन है ।

और क्योंकि वैक्टर सभी इकाई लंबाई के होते हैं (मानकीकरण के कारण) कोसाइन एक दूसरे पर वैक्टर के अनुमान होते हैं (जैसे तीन चर के साथ बाईं तस्वीर पर दिखाया गया है)। 1 पीसी इस अंतरिक्ष कि यह पर वर्ग के अनुमानों की राशि को अधिकतम, में इस तरह के एक पंक्ति है एक की, कहा जाता लोडिंग; और यह योग 1 स्वदेशी है।

इसलिए, जब आप दाईं ओर तीन चुकता अनुमानों के योग (या माध्य) के साथ बाईं ओर तीन अनुमानों के मध्य के बीच संबंध स्थापित करते हैं, तो आप मध्य सहसंबंध और स्वदेशी के बीच संबंध के बारे में अपने प्रश्न का उत्तर देते हैं।

Answer 2

मुझे लगता है कि यहाँ क्या हुआ है कि सभी चर एक दूसरे के साथ सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध थे। इस मामले में 1 पीसी काफी बार सभी चर के औसत के बहुत करीब हो जाता है। यदि सभी चर सकारात्मक समान सहसंबंध गुणांक के साथ सहसंबद्ध हैं$c$है, तो 1 पीसी है वास्तव में , सभी चर की औसत के लिए आनुपातिक रूप में मैं यहाँ समझाने: Can औसत सभी चर पीसीए के एक कच्चे रूप में देखा जा सकता है?

इस सरल मामले में आप वास्तव में उस संबंध को गणितीय रूप से प्राप्त कर सकते हैं जिसके बारे में आप पूछ रहे हैं। के सहसंबंध मैट्रिक्स पर विचार करें$n\times n$ आकार जो ऐसा दिखता है:

$$\left(\begin{array}{}1&c&c&c\\c&1&c&c\\c&c&1&c\\c&c&c&1\end{array} \right).$$ इसका पहला आइजनवेक्टर के बराबर है $(1,1,1,1)^\top/\sqrt{n}$, जो सभी चर के [स्केल] औसत से मेल खाती है। इसका स्वदेशी है$\lambda_1=1+(n-1)c$। यदि सभी तिर्यक तत्वों के योग द्वारा दिए गए सभी eigenvalues ​​का योग, अर्थात$\sum \lambda_i=n$। तो पहले पीसी द्वारा समझाया गया विचरण का अनुपात बराबर है $$R^2=\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n}c \approx c.$$

तो इस सबसे सरल मामले में पहले पीसी द्वारा समझाया गया विचरण का अनुपात औसत सहसंबंध के साथ 100% और बड़े के लिए संबंधित है $n$इसके बराबर है। जो ठीक है कि हम आपके भूखंड पर देखते हैं।

मैं उम्मीद करता हूं कि बड़े मैट्रिसेस के लिए, यह परिणाम लगभग धारण करेगा भले ही सहसंबंध बिल्कुल समान न हों।

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अपडेट करें। प्रश्न में पोस्ट की गई आकृति का उपयोग करके, कोई व्यक्ति अनुमान लगाने की कोशिश भी कर सकता है$n$ यह देखते हुए $n=(1-c)/(R^2-c)$। अगर हम लेते हैं$c=0.5$ तथा $R^2-c=0.02$, तो हम प्राप्त करते हैं $n=25$। ओपी ने कहा कि डेटा "डीएएक्स स्टॉक इंडेक्स" था; इसे देखते हुए , हम देखते हैं कि इसमें स्पष्ट रूप से शामिल हैं$30$चर। बुरा मैच नहीं।