गामा वितरण के लघुगणक का अपेक्षित मूल्य क्या है?

यदि का अपेक्षित मान , तो का अपेक्षित मान क्या है ? क्या इसकी गणना विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है? $\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$ $\frac{\alpha}{\beta}$ $\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

मेरे द्वारा उपयोग किया जा रहा परिमाप आकार-दर है।

expected-value gamma-distribution

— स्टेफानो वेस्पुची
स्रोत

यदि , तो मैथस्टैटिक / गणित के अनुसार, + PolyGamma [a], जहां PolyGamma digamma फ़ंक्शन का

X \sim Gamma (a, b)

$X \sim \text{Gamma}(a,b)$

E [\log (X)] = \log (b)

$E[ \log(X) ] = \log(b)$

— उल्लेख

मुझे यह जोड़ना चाहिए कि आप अपने गामा चर का पीडीएफ़ फॉर्म प्रदान नहीं करते हैं, और जब से आप रिपोर्ट करते हैं कि माध्य (जबकि मेरे लिए यह होगा , ऐसा प्रतीत होता है कि आप मुझसे भिन्न संकेतन का उपयोग कर रहे हैं, मैं कहाँ हूँ आपका

α / β

$\alpha/\beta$

a b

$a b$

β = 1 / b

$\beta= 1/b$

— भेड़िया

सच है, क्षमा करें। मेरे द्वारा उपयोग किया जा रहा परिमाप आकार-दर है। मैं इसे इस परिमार्जन के लिए खोजने का प्रयास करूँगा । क्या आप कृपया Mathematica / WolframAlpha के लिए क्वेरी सुझा सकते हैं?

\frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x}

${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

— स्टेफानो वेस्पुसी

जॉनसन, लोट्ज़ और बालकृष्ण (1994) को लगातार एकतरफा वितरण Vol 1 2nd Ed भी देखें। पीपी। 337-349।

— ब्योर्न

इसके अलावा विकिपीडिया: गामा वितरण # लॉगरिदमिक अपेक्षा और भिन्नता

— Glen_b -Reinstate Monica

जवाबों:

यह एक (शायद आश्चर्यजनक रूप से) आसान प्राथमिक संचालन (एक पैरामीटर के संबंध में अभिन्न संकेत के तहत विभेदित करने के रिचर्ड फेनमैन की पसंदीदा चाल को रोजगार) के साथ किया जा सकता है।

हम मान रहे हैं $X$ एक है $\Gamma(\alpha,\beta)$ वितरण और हम की उम्मीद लगाने के लिए इच्छा $Y=\log(X).$ सबसे पहले, क्योंकि $\beta$ पैमाने पैरामीटर है, उसके प्रभाव के लिए किया जाएगा शिफ्ट द्वारा लघुगणक $\log\beta.$ (आप का उपयोग करते हैं $\beta$ एक के रूप में दर पैरामीटर, प्रश्न में के रूप में, यह द्वारा लघुगणक परिवर्तन होगा $-\log\beta.$ यह परमिट हमें काम करने के लिए मामले के साथ) $\beta=1.$

इस सरलीकरण के बाद, $X$ का प्रायिकता तत्व है

f_{X} (x) = \frac{1}{Γ (α)} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x}

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$

जहां $\Gamma(\alpha)$ सामान्य स्थिर है

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x} .

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$

स्थानापन्न $x=e^y,$ जो जरूरत पर जोर देता $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ की संभावना तत्व देता है $Y$ ,

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} e^{α y - e^{y}} d y .

$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$

$Y$ संभावित मूल्य अब सभी वास्तविक संख्या $\mathbb{R}.$

क्योंकि $f_Y$ को एकता में एकीकृत करना चाहिए, हम प्राप्त करते हैं (तुच्छ रूप से)

\begin{matrix} (1) & Γ (α) = \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y . \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$

सूचना $f_Y(y)$ $\alpha.$ का एक अलग कार्य है एक आसान गणना देता है

\frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y = y e^{α y - e^{y}} d y = Γ (α) y f_{Y} (y) .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$

अगला चरण $\Gamma(\alpha),$ द्वारा इस पहचान के दोनों पक्षों को विभाजित करके प्राप्त संबंध का शोषण करता है जिससे अपेक्षा को खोजने के लिए हमें जिस वस्तु को एकीकृत करने की आवश्यकता होती है उसे उजागर करता है; अर्थात्, $y f_Y(y):$

\begin{aligned} E (Y) & = \int_{R} y f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{R} \frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} Γ (α) \\ = \frac{d}{d α} \log Γ (α) \\ = ψ (α), \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$

गामा समारोह (उर्फ " बहुविवाह ") के लघुगणक व्युत्पन्न । पहचान का उपयोग कर अभिन्न की गणना की गई थी $(1).$

फिर से शुरू करने का पहलू $\beta$ शो सामान्य परिणाम है

E (\log (X)) = \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$

पैमाने parameterization के लिए (जहां घनत्व समारोह निर्भर करता है पर $x/\beta$ ) या

E (\log (X)) = - \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$

एक दर parameterization (जहां घनत्व समारोह पर निर्भर करता है के लिए $x\beta$ )।

— व्हीबर
स्रोत

बहुविवाह समारोह के साथ आप किस क्रम (जैसे, 0,1) का एक डिगामा होने का मतलब रखते हैं (जैसा कि @wolfies ने बताया), ट्राइगम्मा?

— स्टेफानो वेस्पुची

@ सेफ़ानो का अर्थ है गामा का लघुगणक व्युत्पन्न, जैसा कि कहा गया है। इसका मतलब है कि

ψ (z) = Γ^{'} (z) / Γ (z) .

$\psi(z) = \Gamma^\prime(z)/\Gamma(z).$

— whuber

@Whuber द्वारा उत्तर काफी अच्छा है; मैं अनिवार्य रूप से उनके जवाब को अधिक सामान्य रूप में जोड़ता हूं जो (मेरे विचार में) सांख्यिकीय सिद्धांत के साथ बेहतर जुड़ता है, और जो समग्र तकनीक की शक्ति को स्पष्ट करता है।

वितरण के एक परिवार पर विचार करें $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$ जो एक consitute घातीय परिवार , जिसका अर्थ है कि वे एक घनत्व स्वीकार

f_{θ} (x) = \exp {s (x) θ - A (θ) + h (x)}

$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$ सम्मान के साथ कुछ सामान्य वर्चस्व के उपाय (आमतौर पर, लेबेस्ग या गिनती के उपाय)। के दोनों किनारों फर्क

\int f_{θ} (x) d x = 1

$\int f_\theta(x) \ dx = 1$ सम्मान के साथ करने के लिए

θ

$\theta$ हम पर पहुंचनेस्कोर समीकरण

\begin{matrix} (†) & \int f_{θ}^{'} (x) = \int \frac{f_{θ}^{'} (x)}{f_{θ} (x)} f_{θ} (x) = \int u_{θ} (x) f_{θ} (x) d x = 0 \end{matrix}

$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$ जहां

u_{θ} (x) = \frac{d}{d θ} \log f_{θ} (x)

$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$ हैस्कोर समारोहऔर हमारे द्वारा निर्धारित किया

f_{θ}^{'} (x) = \frac{d}{d θ} f_{θ} (x)

$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$ । एक घातीय परिवार के मामले में, हम

u_{θ} (x) = s (x) - A^{'} (θ)

$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$ जहां

A^{'} (θ) = \frac{d}{d θ} A (θ)

$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$ ; इसे कभी-कभीक्यूम्युलेंट फ़ंक्शनकहा जाता है, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से क्यूम्युलेंट-जनरेटिंग फ़ंक्शन से बहुत निकट से संबंधित है। यह से अब इस प्रकार है

(†)

$(\dagger)$ कि

E_{θ} [s (X)] = A^{'} (θ)

$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$ ।

अब हम दिखाते हैं कि इससे हमें अपेक्षित अपेक्षा की गणना करने में मदद मिलती है। हम ठीक किए जाने के गामा घनत्व लिख सकते हैं $\beta$ एक घातीय परिवार के रूप में

च_{θ} (एक्स) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} {एक्स}^{α - 1} इ^{- β एक्स} = \exp {लॉग (एक्स) α + α लॉग β - लॉग Γ (α) - β एक्स} ।

$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$ यह एक घातीय परिवार हैमें $\alpha$ अकेलेके साथ

s (x) = \log x

$s(x) = \log x$ और

A (α) = \log Γ (α) - α \log β

$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$ । अब यह कंप्यूटिंग

द्वारा तुरंत अनुसरण करता है

\frac{d}{d α} A (α)

$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$ कि

E [\log X] = ψ (α) - \log β .

$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$

— पुरुष
स्रोत

+1 यह अच्छा सामान्यीकरण इंगित करने के लिए धन्यवाद।

— whuber