एक गैर-नकारात्मक असतत वितरण का उदाहरण जहां माध्य (या एक और क्षण) मौजूद नहीं है?

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मैं स्कैपी में कुछ काम कर रहा था और w / कोर स्कैपी समूह के एक सदस्य ने बातचीत की थी कि क्या एक गैर-नकारात्मक असतत रैंडम वैरिएबल एक अपरिभाषित पल हो सकता है। मुझे लगता है कि वह सही है लेकिन उसके पास कोई सबूत नहीं है। क्या कोई इस दावे को दिखा / साबित कर सकता है? (या यदि यह दावा सही नहीं है)

यदि असतत रैंडम वैरिएबल का पर समर्थन है तो मेरे पास उदाहरण नहीं है, लेकिन ऐसा लगता है कि कॉची वितरण के कुछ विवेकाधीन संस्करण को एक अपरिभाषित क्षण पाने के लिए एक उदाहरण के रूप में काम करना चाहिए। गैर-नकारात्मकता (शायद सहित ) की स्थिति समस्या को चुनौतीपूर्ण बनाने के लिए लगती है (कम से कम मेरे लिए)। $\mathbb{Z}$ $0$

mathematical-statistics expected-value

— लुकास रॉबर्ट्स
स्रोत

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CDF बराबर पूर्णांक हर जगह हमेशा की तरह स्थिर रहने दें, और CDF होने के लिए सभी मानदंडों के अधीन होने दें। अपेक्षा है $F$ $1-1/n$ $n=1,2,\ldots,$

\int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x = 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + \dots

$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$

कौन सा विचलन होता है। इस अर्थ में पहला क्षण (और इसलिए सभी उच्च क्षण) अनंत है। (आगे विस्तार के लिए अंत में टिप्पणी देखें।)

यदि आप इस नोटेशन से असहज हैं, तो ध्यान दें कि $n=1,2,3,\ldots,$

{Pr}_{F} (n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1.}

${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$

यह एक संभाव्यता वितरण को परिभाषित करता है क्योंकि प्रत्येक पद सकारात्मक है और

\sum_{n = 1}^{\infty} {Pr}_{F} (n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n + 1} = 1.

$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$

अपेक्षा है

\sum_{n = 1}^{\infty} n {Pr}_{F} (n) = \sum_{n = 1}^{\infty} n (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1} = 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + \dots

$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$

किसका विचलन होता है।

उत्तर को व्यक्त करने के इस तरीके से यह स्पष्ट हो जाता है कि सभी समाधान इस तरह के विचलन श्रृंखला द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। वास्तव में, यदि आप चाहते हैं कि वितरण को सकारात्मक मानों के कुछ सबसेट पर समर्थन दिया जाए संभावनाओं के साथ एकता को , तो श्रृंखला को विचलन करने की अपेक्षा के लिए। जो इसे व्यक्त करता है, अर्थात् $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$ $p_1, p_2, \ldots$

(a_{n}) = (x_{n} p_{n}),

$(a_n) = (x_n p_n),$

डायवर्जेंट आंशिक रकम होना चाहिए।

इसके विपरीत, गैर-ऋणात्मक संख्याओं की प्रत्येक विचलन श्रृंखला कई असतत सकारात्मक वितरणों के साथ जुड़ी होती है जिसमें विपरित अपेक्षा होती है। $(a_n)$ उदाहरण के लिए, यह देखते हुए आप निम्नलिखित एल्गोरिथ्म लागू दृश्यों निर्धारित करने के लिए कर सकता है और । और लिए सेट करके प्रारंभ करें परिभाषित करें सभी के सेट होने के लिए कि इस तरह से पैदा होती है, सूचकांक के रूप में उसके तत्वों और परिभाषित एक संभावना पर वितरण द्वारा $(a_n)$ $(x_n)$ $(p_n)$ $q_n = 2^{-n}$ $y_n = 2^n a_n$ $n=1, 2, \ldots.$ $\Omega$ $y_n$ $\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$ $\Omega$

Pr (ω_{i}) = \sum_{n ∣ y_{n} = ω_{i}} q_{n} .

$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$

यह काम करता है क्योंकि का योग के योग के बराबर होता है जो कि और में अधिकांश संख्या में सकारात्मक तत्व हैं। $p_n$ $q_n,$ $1,$ $\Omega$

एक उदाहरण के रूप में, श्रृंखला स्पष्ट रूप से विचलन करती है। एल्गोरिथ्म देता है $(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

y_{1} = 2 a_{1} = 2; y_{2} = 2^{2} a_{2} = 2; y_{3} = 2^{3} a_{3} = 8; \dots

$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$

इस प्रकार

Ω = {2, 8, 32, 128, \dots, 2^{2 n + 1}, \dots}

$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$

और की विषम सकारात्मक शक्तियों का $2$

p_{1} = q_{1} + q_{2} = 3 / 4; p_{2} = q_{3} + q_{4} = 3 / 16; p_{3} = q_{5} + q_{6} = 3 / 64; \dots

$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$

अनंत और अस्तित्वहीन क्षणों के बारे में

जब सभी मूल्य सकारात्मक होते हैं, तो एक "अपरिभाषित" क्षण जैसी कोई चीज नहीं होती है: क्षण सभी मौजूद होते हैं, लेकिन वे एक अलग योग (या अभिन्न) के अर्थ में अनंत हो सकते हैं, जैसा कि इस उत्तर के प्रारंभ में दिखाया गया है।

आम तौर पर, सभी क्षणों को सकारात्मक यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित किया जाता है, क्योंकि उन्हें व्यक्त करने वाला योग या अभिन्न या तो पूर्ण रूप से परिवर्तित होता है या यह विचलन करता है (यह "अनंत है।") इसके विपरीत, क्षण सकारात्मक और नकारात्मक मान लेने वाले चर के लिए अपरिभाषित हो सकते हैं। , क्योंकि - लेब्सेग अभिन्न की परिभाषा से - क्षण सकारात्मक भाग के एक पल और नकारात्मक भाग के पूर्ण मूल्य के एक पल के बीच का अंतर है। यदि वे दोनों अनंत हैं, तो अभिसरण निरपेक्ष नहीं है और आप एक अनंत से एक अनंत को घटाने की समस्या का सामना करते हैं: जो मौजूद नहीं है।

— रिवीजन व्हीबर
स्रोत

क्या यह तर्क अनंत क्षण या अपरिभाषित क्षण का उदाहरण देता है? मैं एक अपरिभाषित पल की तलाश में हूं। शायद अपरिभाषित बनाम अनंत क्षणों की एक सूक्ष्मता है कि मैं आपके उत्तर को पूरी तरह से समझने के लिए याद कर रहा हूं।

— लुकास रॉबर्ट्स

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जब सभी मूल्य सकारात्मक होते हैं, तो "अपरिभाषित" क्षण जैसी कोई चीज नहीं होती है: क्षण सभी मौजूद होते हैं, लेकिन वे अनंत हो सकते हैं।

— whuber

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सभी क्षण सकारात्मक यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित किए गए हैं। कुछ अनंत हो सकते हैं, बस। सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों को लेने वाले चरों के लिए क्षण अपरिभाषित हो सकते हैं, क्योंकि - लेब्सेग अभिन्न की परिभाषा से - यह क्षण सकारात्मक भाग के एक पल और नकारात्मक भाग के पूर्ण मूल्य के एक पल का अंतर है। यदि वे दोनों अनंत हैं, तो आप एक अनन्तता को एक अनन्तता से घटाने की समस्या का सामना करते हैं: जो मौजूद नहीं है।

— whuber

1

"सभी क्षण सकारात्मक यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित किए जाते हैं। कुछ अनंत हो सकते हैं, बस।" यह देखते हुए कि प्रश्न का शीर्षक क्षणों में विद्यमान नहीं है , मुझे लगता है कि इस टिप्पणी के बहुत से जवाब में संपादित किए जाने के योग्य हैं!

— सिल्वरफिश

1

मुझे लगता है कि मुझे इस पोस्ट में दफनाए गए जवाब मिल सकते हैं: आंकड़े.stackexchange.com/questions/243150/…

— लुकास रॉबर्ट्स

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यहाँ एक प्रसिद्ध उदाहरण है: को प्रत्येक पूर्णांक लिए प्रायिकता साथ मान । तब पॉजिटिव पूर्णांकों में (एक सबसेट) मान लेता है; कुल द्रव्यमान , लेकिन इसकी अपेक्षा यह यादृच्छिक चर सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास में उत्पन्न होता है । $X$ $2^k$ $2^{-k}$ $k\ge1$ $X$ $\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$

E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} 2^{k} P (X = 2^{k}) = \sum_{k = 1}^{\infty} 1 = \infty .

$E(X) = \sum_{k=1}^\infty 2^k P(X=2^k) = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty.$

X

$X$

— grand_chat
स्रोत

6

+1 यह मुझे अपने ऐतिहासिक और दार्शनिक संबंधों के लिए पसंद है।

— whuber

विरोधाभास संकल्प: यदि आप जीतते हैं तो आप जी बलों द्वारा कुचल दिए जाते हैं।

— जोशुआ

8

जीटा वितरण धनात्मक पूर्णांक है कि परिमित मतलब नहीं है पर एक काफी अच्छी तरह से ज्ञात असतत वितरण (के लिए है )। $1<\theta\leq 2$

$P(X=x|\theta)={{\frac {1}{\zeta (\theta)}}x^{-\theta}}\,,\: x=1,2,...,\:\theta>1$

जहां सामान्यीकरण स्थिर , रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन $\zeta(\cdot)$

(संपादित करें: केस व्हॉबर के उत्तर के समान है) $\theta=2$

इसी तरह के पूंछ व्यवहार के साथ एक और वितरण यूल-साइमन वितरण है।
एक और उदाहरण साथ बीटा-नकारात्मक द्विपद वितरण होगा : $0<\alpha\leq 1$

$P(X=x|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+x)}{x!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm{B} (\alpha +r,\beta +x)}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}}\,,\:x=0,1,2...\:\alpha,\beta,r > 0$

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

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कॉची वितरण के कुछ विवेकाधीन संस्करण

हाँ, अगर आप ले के आसपास अंतराल में कॉची वितरण के औसत मूल्य होने के रूप में , तो स्पष्ट रूप से अपनी zeroth पल कॉची वितरण की तरह ही है, और इसके पहले क्षण asymptotically के पहले पल दृष्टिकोण काउची वितरण। जहाँ तक " आसपास अंतराल " है, यह वास्तव में कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप इसे कैसे परिभाषित करते हैं; take , , , वेल सिटेरा , और यह काम करेगा। सकारात्मक पूर्णांकों के लिए, आप भी ले सकते हैं । शून्य क्षण एक के लिए जाता है, और पहला क्षण का योग होता है , जो विचलन करता है। $p(n)$ $n$ $n$ $(n-1,n]$ $[n,n+1)$ $[n-.5,n+.5)$ $p(n) =\frac6{(n\pi)^2}$ $\frac6{n\pi^2}$

और वास्तव में किसी भी बहुपद , कुछ ऐसा जो sums 1. 1. यदि हम फिर वें क्षण लेते हैं, जहाँ का क्रम है , यह विचलन होगा। $p(n)$ $c$ $\frac c {p(n)}$ $k$ $k$ $p(n)$

— Acccumulation
स्रोत