दो आत्मविश्वास अंतराल / बिंदु अनुमानों का मेल

Question

मान लीजिए कि एक ही आबादी से दो स्वतंत्र नमूने हैं, और दो नमूनों पर बिंदु अनुमान और विश्वास अंतराल प्राप्त करने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग किया गया था। तुच्छ मामलों में एक समझदार व्यक्ति सिर्फ दो नमूनों को पूल करेगा और विश्लेषण करने के लिए एक विधि का उपयोग करेगा, लेकिन आइए इस क्षण के लिए मान लें कि किसी एक नमूने जैसे कि लापता डेटा को सीमित करने के कारण अलग-अलग विधि का उपयोग करना पड़ता है। ये दो अलग-अलग विश्लेषण ब्याज की जनसंख्या विशेषता के लिए स्वतंत्र, समान रूप से मान्य अनुमान उत्पन्न करेंगे। सहज रूप से मुझे लगता है कि इन दोनों अनुमानों को ठीक से संयोजित करने का एक तरीका होना चाहिए, दोनों बिंदु अनुमान और आत्मविश्वास अंतराल के संदर्भ में, बेहतर अनुमान प्रक्रिया के परिणामस्वरूप। मेरा सवाल यह है कि इसे करने का सबसे अच्छा तरीका क्या होना चाहिए? मैं प्रत्येक नमूने में जानकारी / नमूना आकार के अनुसार किसी प्रकार के भारित माध्य की कल्पना कर सकता हूं, लेकिन आत्मविश्वास अंतराल के बारे में क्या?

Answer 1

आप निम्नानुसार एक अनुमानित अनुमान लगा सकते हैं। फिर आप एक संयुक्त आत्मविश्वास अंतराल उत्पन्न करने के लिए जमा किए गए अनुमानों का उपयोग कर सकते हैं। विशेष रूप से, चलो:

$\bar{x_1} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n_1})$

$\bar{x_2} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n_2})$

दो मामलों के लिए विश्वास अंतराल का उपयोग करते हुए, आप अनुमानों के लिए मानक त्रुटियों का फिर से निर्माण कर सकते हैं और उपरोक्त को बदल सकते हैं:

$\bar{x_1} \sim N(\mu,SE_1)$

$\bar{x_2} \sim N(\mu,SE_2)$

एक अनुमानित अनुमान होगा:

$\bar{x} = \frac{n_1 \bar{x_1} + n_2 \bar{x_2}}{n_1 + n_2}$

Thus,

$\bar{x} \sim N(\mu,\frac{{n_1}^2 SE_1 + {n_2}^2 SE_2}{(n_1+n_2)^2})=N(\mu,\frac{\sigma^2}{n_1+n_2})$

Comments

This approach would work if we assume that our CI are of the form $\hat{\beta}\pm Z_{\alpha}SE$. Unfortunately, sometimes asymmetric CI may be more sensible, for example the CI for a binomial proportion when it's close to 0. In that case pooling the SE like this may not help.

— user1600

@user1600 Good point.

This answer could be applied to any two distributions, it is just that the product of normals is a normal, giving a nice solution. MCMC simulation could be used with pairs of distributions without a closed form solution, using a Bayesian approach with one sample being the prior and the other the likelihood.

— David LeBauer

If going back to confidence intervals from the pooled SE, what would the degrees of freedom for the T distribution be? Would this change if combining more than 2 confidence intervals?

— DocBuckets

Answer 2

Sounds a lot like meta-analysis to me. Your assumption that the samples are from the same population means you can use fixed-effect meta-analysis (rather than random-effects meta-analysis). The generic inverse-variance method takes a set of independent estimates and their variances as input, so doesn't require the full data and works even if different estimators have been used for different samples. The combined estimate is then a weighted average of the separate estimates, weighting each estimate by the inverse of its variance. The variance of the combined estimate is the inverse of the sum of the weights (the inverses of the variances).

You want to work on a scale where the sampling distribution of the estimate is approximately normal, or at least a scale on which the confidence intervals are approximately symmetric, so a log transformed scale is usual for ratio estimates (risk ratios, odds ratios, rate ratios...). In other cases a variance-stabilising transformation would be useful, e.g. a square-root transformation for Poisson data, an arcsin-square-root transformation for binomial data, etc.

Answer 3

This is not unlike a stratified sample. So, pooling the samples for a point estimate and standard error seems like a reasonable approach. The two samples would be weighted by sample proportion.

Answer 4

पेपर देखें: केएम स्कॉट, एक्स। लू, सीएम कैवानुआग, जेएस लियू, रेले डिस्टिलेशन समीकरण के विभिन्न रूपों से कैनेटिक आइसोटोप प्रभाव का अनुमान लगाने के लिए इष्टतम तरीके, जियोचिमिका एट कॉस्मोइमिका एक्टा, खंड 68, अंक 3, 1 फरवरी 2004, पृष्ठ 433-4 442, ISSN 0016-7037, http://dx.doi.org/10.1016/S0016-7037(03)00459-9 । ( http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0016703703004599 )