कृमि और सेब की उम्मीद का मूल्य

Question

एक सेब पेंटागन शीर्ष पर स्थित है , और एक कीड़ा पर दो कोने दूर स्थित । हर दिन कीड़ा दो समीपस्थ स्थानों में से एक के बराबर संभावना के साथ क्रॉल करता है। इस प्रकार एक दिन बाद कृमि या , प्रत्येक में$A$$ABCDE$$C$$B$$D$$1/2$। दो दिनों के बाद, कीड़ा वापस आ सकता है$C$फिर से, क्योंकि इसमें पिछले पदों की कोई स्मृति नहीं है। जब यह शीर्ष पर पहुंचता है$A$, यह भोजन करना बंद कर देता है।

(क) रात के खाने तक कितने दिनों का क्या मतलब है?

(b) बता दें कि p कितने दिनों की संभावना है $100$या ज्यादा। मार्कोव की असमानता के बारे में क्या कहता है$p$?

For (a), चलो $X$रात्रिभोज तक दिनों की संख्या से परिभाषित यादृच्छिक चर हो। तो

$$P(X = 0) = 0 \\ P(X=1) = 0 \\ P(X=2) = \frac{1}{\binom{5}{2}} \\ \vdots$$

सामान्य वितरण क्या होगा?

For (b), अगर हम जानते हैं (a), तो हम जानते हैं कि

$$P(X \geq 100) \leq \frac{E(X)}{100}$$

Comments

क्या आप समीकरणों के अपने पहले सेट की व्याख्या कर सकते हैं? वे कीड़ा पलटने की दिशा की संभावना के लिए जिम्मेदार नहीं हैं, न ही वे सही प्रतीत होते हैं। आखिरकार, पथ तक की संभावना से कम है, जिसमें प्रायिकता ध्यान दें कि इस प्रश्न का मुद्दा यह है कि इसकी अपेक्षा की गणना करने की तुलना में पूर्ण वितरण प्राप्त करना अधिक कठिन हो सकता है; और मार्कोव की असमानता आपको केवल अपेक्षा से उपयोगी जानकारी को कम करने देती है। $1/\binom{5}{2}=1/10$$A\to B\to C$$(1/2)(1/2)=1/4.$

— whuber

Answer 1

Glen_b द्वारा उत्कृष्ट उत्तर में , वह दर्शाता है कि आप रैखिक समीकरणों की एक सरल प्रणाली का उपयोग करके विश्लेषणात्मक रूप से अपेक्षित मूल्य की गणना कर सकते हैं। इस विश्लेषणात्मक विधि के बाद आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि ऐप्पल में चालों की अपेक्षित संख्या छह है। व्हीबर द्वारा एक और उत्कृष्ट उत्तर से पता चलता है कि किसी भी दिए गए कदमों के बाद प्रक्रिया के लिए संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन को कैसे प्राप्त किया जाए, और इस पद्धति का उपयोग अपेक्षित मूल्य के लिए एक विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। यदि आप इस समस्या के बारे में कुछ और जानकारी देखना चाहते हैं, तो आपको सर्कुलर रैंडम वॉक पर कुछ पेपर पढ़ने चाहिए (उदाहरण के लिए, स्टीफेन 1947 )

समस्या का एक वैकल्पिक दृश्य देने के लिए, मैं आपको यह दिखाने जा रहा हूं कि आप सांख्यिकीय कंप्यूटिंग का उपयोग करके मार्कोव श्रृंखला की गणना करने के लिए केवल बल विधि का उपयोग करके समान परिणाम कैसे प्राप्त कर सकते हैं। यह विधि कई मायनों में विश्लेषणात्मक परीक्षा से नीच है, लेकिन इसका यह फायदा है कि यह आपको किसी बड़ी गणितीय अंतर्दृष्टि की आवश्यकता के बिना समस्या से निपटने की सुविधा देता है।

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जानवर बल कम्प्यूटेशनल विधि: राज्यों को क्रम में लेना$A,B,C,D,E$, अपने मार्कोव श्रृंखला संक्रमण परिवर्तन मैट्रिक्स के अनुसार:

$$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 \\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 \\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \\[6pt] \tfrac{1}{2} & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 \\[6pt] \end{bmatrix}$$

पहला राज्य अवशोषित राज्य है $A$जहां कीड़ा सेब में होता है। चलो$T_C$ जब तक कीड़ा राज्य से सेब के लिए नहीं जाता तब तक चाल की संख्या हो $C$। फिर सभी के लिए$n \in \mathbb{N}$ इस कदम की संख्या के बाद कीड़ा सेब में होने की संभावना है $\mathbb{P}(T_C \leqslant n) = \{ \mathbf{P}^n \}_{C,A}$ और इसलिए इस राज्य से सेब को प्राप्त होने वाली चालों की अपेक्षित संख्या है:

$$\mathbb{E}(T_C) = \sum_{n=0}^\infty \mathbb{P}(T_C > n) = \sum_{n=0}^\infty (1-\{ \mathbf{P}^n \}_{C,A}).$$

योग में शर्तें बड़ी के लिए तेजी से घटती हैं $n$इसलिए हम सम्‍पर्क के किसी भी वांछित स्‍तर पर सटीकता के किसी भी वांछित स्‍तर पर अपेक्षित मान की गणना कर सकते हैं। (शब्दों का घातीय क्षरण यह सुनिश्चित करता है कि हम हटाए गए शब्दों के आकार को एक वांछित स्तर से कम कर सकते हैं।) व्यवहार में, जब तक कि शेष शब्दों का आकार बहुत छोटा न हो, तब तक बड़ी संख्या में शब्द लेना आसान होता है।

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R में यह प्रोग्रामिंग: आप इसे Rनीचे दिए गए कोड का उपयोग करके एक फ़ंक्शन के रूप में प्रोग्राम कर सकते हैं। इस कोड को चालों के सीमित अनुक्रम के लिए संक्रमण मैट्रिक्स की शक्तियों की एक सरणी उत्पन्न करने के लिए वेक्टर किया गया है। हम इस संभावना की एक साजिश भी उत्पन्न करते हैं कि सेब तक नहीं पहुंचा गया है, यह दिखाते हुए कि यह तेजी से घटता है।

#Create function to give n-step transition matrix for n = 1,...,N
#N is the last value of n
PROB <- function(N) { P <- matrix(c(1, 0, 0, 0, 0, 
                                    1/2, 0, 1/2, 0, 0, 
                                    0, 1/2, 0, 1/2, 0,
                                    0, 0, 1/2, 0, 1/2,
                                    1/2, 0, 0, 1/2, 0),
                                  nrow = 5, ncol = 5, 
                                  byrow = TRUE);
                      PPP <- array(0, dim = c(5,5,N));
                      PPP[,,1] <- P;
                      for (n in 2:N) { PPP[,,n] <- PPP[,,n-1] %*% P; } 
                      PPP }

#Calculate probabilities of reaching apple for n = 1,...,100
N  <- 100;
DF <- data.frame(Probability = PROB(N)[3,1,], Moves = 1:N);

#Plot probability of not having reached apple
library(ggplot2);
FIGURE <- ggplot(DF, aes(x = Moves, y = 1-Probability)) +
          geom_point() +
          scale_y_log10(breaks = scales::trans_breaks("log10", function(x) 10^x),
                        labels = scales::trans_format("log10", 
                                 scales::math_format(10^.x))) +
          ggtitle('Probability that worm has not reached apple') +
          xlab('Number of Moves') + ylab('Probability');
FIGURE;

#Calculate expected number of moves to get to apple
#Calculation truncates the infinite sum at N = 100
#We add one to represent the term for n = 0
EXP <- 1 + sum(1-DF$Probability);
EXP;

[1] 6

जैसा कि आप इस गणना से देख सकते हैं, सेब को प्राप्त करने के लिए चाल की अपेक्षित संख्या छह है। मार्कोव श्रृंखला के लिए उपरोक्त वेक्टर कोड का उपयोग करके यह गणना बहुत तेजी से हुई थी।

Answer 2

बस सभी मार्कोव श्रृंखला दिनचर्या से गुजरने के बिना भाग (ए) को देखने का एक सरल तरीका बताना चाहते हैं। चिंता करने के लिए राज्यों के दो वर्ग हैं: एक कदम दूर होना और दो कदम दूर होना (C और D अपेक्षित कदम के समान हैं, और B और E एक समान हैं)। चलो "$S_B$"शीर्ष से शीर्ष पर ले जाने वाले चरणों की संख्या का प्रतिनिधित्व करें $B$ और इसी तरह।

$E(S_C) = 1+\frac12[E(S_B)+E(S_D)] = 1+ \frac12[E(S_B)+E(S_C)]$

इसी तरह उम्मीद के लिए एक समीकरण लिखें $E(S_B)$।

दूसरे को पहले (और सुविधा के लिए) लिखें $c$ के लिये $E(S_C)$) और आप के लिए एक समाधान मिलता है $c$ कुछ पंक्तियों में।

Comments

+1। मुझे यह भी पसंद है कि संभावना उत्पन्न करने वाले कार्यों द्वारा अपेक्षाओं को प्रतिस्थापित करने से आपको एक समान समीकरण मिलता है, जैसा कि आसानी से हल हो जाता है, यह दर्शाता है कि शुरुआती राज्य के लिए pgf बराबर है$t^2/(4-2t-t^2),$और वह संभावनाओं के किसी भी सरल सूत्र की ओर जाता है। बेहतर: चलो$X_y$ चरणों की संख्या शुरू हो $y\in\{A,B\}.$ परिभाषित करें $f_n=2^n\Pr(X_A=n)$ तथा $g_n=2^n\Pr(X_B=n).$ संबंध हैं $f_n=f_{n-1}+g_{n-1}$ तथा $g_{n-1}=f_{n-2}.$ पूर्व पैदावार में उत्तरार्द्ध का प्रतिस्थापन $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$ के लिये $n\ge 3.$ इस प्रकार, $f_n$ है $n-2^\text{nd}$फाइबोनैचि संख्या।

— whuber

@ शुभकर्ता: आपको अपनी टिप्पणी को पूर्ण उत्तर में बदलना चाहिए - यह वास्तव में अच्छा है।

— बेन -

मैं सहमत हूँ, यह उत्तर के रूप में पोस्ट करने लायक है, इस संक्षिप्त रूप में भी।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 3

समस्या

इस मार्कोव श्रृंखला में तीन राज्य हैं, जो इस बात से प्रतिष्ठित है कि क्या कीड़ा है $0,$ $1,$ या $2$ रिक्त स्थान से दूर $C.$ चलो $X_i$ बेतरतीब वेरिएबल होना यह बताएं कि कीड़ा पहुंचने के लिए कितने कदम उठाएगा $C$ राज्य से $i\in\{0,1,2\}.$ इनकी संभावना उत्पन्न करने वाले कार्य इन चर की संभावनाओं को कूटबद्ध करने के लिए एक सुविधाजनक बीजगणितीय तरीका है। अभिसरण जैसे विश्लेषणात्मक मुद्दों के बारे में चिंता करना अनावश्यक है: बस उन्हें एक प्रतीक में औपचारिक बिजली श्रृंखला के रूप में देखें$t$ के द्वारा दिया गया

$$f_i(t) = \Pr(X_i=0) + \Pr(X_i=1)t^1 + \Pr(X_i=2)t^2 + \cdots + \Pr(X_i=n)t^n + \cdots$$

जबसे $\Pr(X_0=0)=1,$ यह तुच्छ है $f_0(t)=1.$ हमें खोजने की जरूरत है $f_2.$

विश्लेषण और समाधान

राज्य से $1,$ कृमि के बराबर संभावना है $1/2$ राज्य में वापस जाने की $2$ या पहुंच रहा है $C$। यह एक कदम उठाने के लिए लेखांकन जोड़ता है$1$ की सभी शक्तियों के लिए $t$, tantamount द्वारा pgf गुणा करने के लिए $t$, दे रहा है

$$f_1 = \frac{1}{2}t\left(f_2 + f_0\right).$$

इसी प्रकार, राज्य से $2$ कीड़ा राज्य में रहने की समान संभावना है $2$ या राज्य तक पहुँचने $1,$ जहां से

$$f_2 = \frac{1}{2}t\left(f_2 + f_1\right).$$

का प्रकटन $t/2$ सुझाव है कि चर को शुरू करने से हमारा काम आसान हो जाएगा $x=t/2,$ दे रही है

$$f_1(x) = x(f_2(x) + f_0(x));\quad f_2(x) = x(f_2(x) + f_1(x)).$$

पहले को दूसरे में बदलना और वापस बुलाना $f_0=1$ देता है

$$f_2(x) = x(f_2(x) + x(f_2(x) + 1))\tag{*}$$

जिसका अनूठा समाधान है

$$f_2(x) = \frac{x^2}{1 - x - x^2}.\tag{**}$$

मैंने समीकरण पर प्रकाश डाला $(*)$ इसकी मूल सरलता और समीकरण के लिए इसकी औपचारिक समानता पर जोर देने के लिए हम केवल अपेक्षित मूल्यों का विश्लेषण करके प्राप्त करेंगे $E[X_i]:$वास्तव में, इस एक नंबर को खोजने में जितना काम लगता है, उतने में हमें पूरा वितरण मिलता है ।

निहितार्थ और सरलीकरण

समान रूप से, जब $(*)$ शब्द-दर-अवधि और शक्तियों को लिखा जाता है $t$ इसका मिलान इस प्रकार किया गया है $n\ge 4,$

$$2^n\Pr(X_2=n) = 2^{n-1}\Pr(X_2=n-1) + 2^{n-2}\Pr(X_2=n-2).$$

यह फाइबोनैचि संख्याओं के प्रसिद्ध अनुक्रम के लिए पुनरावृत्ति है

$$(F_n) = (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\ldots)$$

(से अनुक्रमित किया गया $n=0$)। समाधान मिलान$(**)$ क्या यह क्रम दो स्थानों द्वारा स्थानांतरित किया गया है (क्योंकि इसकी कोई संभावना नहीं है $X_2=0$ या $X_2=1$ और यह जाँचना आसान है $2^2\Pr(X_2=2)=1=2^3\Pr(X_2=3)$)।

इसके फलस्वरूप

$$\Pr(X_2 = n) = 2^{-n-2}F_{n-2}.$$

अधिक विशेष रूप से,

$$\eqalign{ f_2(t) &= 2^{-2}F_0t^2 + 2^{-3}F_1 t^3 + 2^{-4} F_2 t^4 + \cdots \\ &= \frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{8}t^3 + \frac{2}{16}t^4 + \frac{3}{32}t^5 + \frac{5}{64}t^6 + \frac{8}{128}t^7 +\frac{13}{256}t^8 + \cdots. }$$

---

की उम्मीद $X_2$ व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके आसानी से पाया जाता है $f^\prime$ और प्रतिस्थापन $t=1,$ क्योंकि (की शक्तियों में अंतर करना) $t$ टर्म बाय टर्म) यह सूत्र देता है

$$f^\prime(1) = \Pr(X_2=0)(0) + \Pr(X_2=1)(1)1^0 + \cdots + \Pr(X_2=n)(n)1^{n-1} + \cdots$$

जो, संभावनाओं के योग के रूप में मूल्यों का समय है $X_2,$की परिभाषा ठीक है$E[X_2].$ व्युत्पन्न का उपयोग करना $(**)$ अपेक्षा के लिए एक सरल सूत्र तैयार करता है।

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कुछ संक्षिप्त टिप्पणियाँ

विस्तार करके $(**)$ आंशिक अंशों के रूप में, $f_2$को दो ज्यामितीय श्रृंखलाओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है। यह तुरंत संभावनाओं को दिखाता है$\Pr(X_2=n)$तेजी से घटेगा। यह पूंछ की संभावनाओं के लिए एक बंद रूप भी देता है$\Pr(X_2 \gt n).$ इसका उपयोग करके, हम जल्दी से गणना कर सकते हैं $\Pr(X_2 \ge 100)$ से थोड़ा कम है $10^{-9}.$

अंत में, ये सूत्र गोल्डन रेशियो को शामिल करते हैं $\phi = (1 + \sqrt{5})/2.$ यह संख्या एक नियमित पेंटागन (इकाई की ओर) के एक राग की लंबाई है, जो पेंटागन पर एक विशुद्ध रूप से कॉम्बीनेटरियल मार्कोव श्रृंखला के बीच एक हड़ताली कनेक्शन की पैदावार (जो "जानता है" यूक्लिडियन ज्यामिति और एक नियमित पेंटागन की ज्यामिति के बारे में कुछ भी नहीं है। यूक्लिडियन विमान।

Answer 4

रात के खाने तक कुछ दिनों के लिए, पहले दिन उठाए गए कदम पर शर्त। चलो$X$जब तक कीड़ा सेब न मिल जाए, तब तक कई दिन रहें। चलो$F$ पहला कदम हो।

तो हमारे पास हैं

$$E[X]=E[X|F=B] \ [P(F=B)]+E[X|F=D] \ P[F=D]$$

अगर पहला कदम है $B,$ तब या तो कृमि 2 दिन पर सेब को प्रायिकता के साथ एक-आधा कर देता है, या इसे वापस शीर्ष पर ले जाता है $C$संभावना के साथ एक-आधा और यह खत्म हो गया। हम इसे लिख सकते हैं

$$E[X|F=B]=2 \left( \frac{1}{2} \right) + \left(2+E[X] \right) \left( \frac{1}{2} \right)=2+\frac{E[X]}{2}$$

अगर पहला कदम है $D,$ फिर समरूपता द्वारा यह शीर्ष पर होने के समान है $C$ सिवाय कीड़ा ने एक भी कदम उठाया है

$$E[X|F=D]=1+E[X]$$

यह सब एक साथ रखकर, हमें मिलता है

$$E[X] = \left( 2+\frac{E[X]}{2} \right)\left( \frac{1}{2} \right) + \left( 1 + E[X] \right)\left( \frac{1}{2} \right)$$

के लिए हल $E[X]$ पैदावार

$$E[X] = 6$$

Comments

ऐसा लगता है कि @ Glen_b के उत्तर को पुन: प्रस्तुत करना है।

— व्हिबर