आसानी से एकाधिक पासा के लिए परिणाम वितरण कैसे निर्धारित करें?

Question

मैं पासा के संयोजन के लिए संभाव्यता वितरण की गणना करना चाहता हूं।

मुझे याद है कि संयोजन की संख्या कुल संख्याओं के मुकाबले कुल संख्याओं की संख्या है (यह मानते हुए कि पासा एक समान वितरण है)।

के लिए सूत्र क्या हैं

• कुल संयोजनों की संख्या
• संयोजनों की संख्या जो एक निश्चित संख्या को कुल करती है

Comments

मुझे लगता है कि आपको अलग-अलग घटनाओं के रूप में और व्यवहार करना चाहिए । $(X_1=1 , X_2=2)$$(X_1=2 , X_2=1)$

— दीप उत्तर

Answer 1

सटीक समाधान

थ्रो में संयोजनों की संख्या निश्चित रूप से ।$n$$6^n$

ये गणना एक मरने के लिए प्रायिकता उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन का उपयोग करके सबसे आसानी से की जाती है,

$$p(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 = x \frac{1-x^6}{1-x}.$$

(वास्तव में यह pgf से गुना है - मैं अंत में के कारक का ध्यान रखूँगा ।)$6$$6$

रोल के लिए pgf । हम इसे सीधे गणना कर सकते हैं - यह एक बंद रूप नहीं है, लेकिन यह एक उपयोगी है - द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:$n$$p(x)^n$

$$p(x)^n = x^n (1 - x^6)^n (1 - x)^{-n}$$

$$= x^n \left( \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^k x^{6k} \right) \left( \sum_{j=0}^{\infty} {-n \choose j} (-1)^j x^j\right).$$

पासे पर बराबर राशि प्राप्त करने के तरीकों की संख्या इस उत्पाद में का गुणांक है , जिसे हम अलग कर सकते हैं$m$$x^m$

$$\sum_{6k + j = m - n} {n \choose k}{-n \choose j}(-1)^{k+j}.$$

योग सभी nonnegative और के ऊपर है जिसके लिए ; इसलिए यह परिमित है और इसमें केवल पद हैं। उदाहरण के लिए, फेंकता में कुल के तरीकों की संख्या केवल दो शब्दों का योग है, क्योंकि को केवल और रूप में लिखा जा सकता है :$k$$j$$6k + j = m - n$$(m-n)/6$$m = 14$$n = 3$$11 = 14-3$$6 \cdot 0 + 11$$6 \cdot 1 + 5$

$$-{3 \choose 0} {-3 \choose 11} + {3 \choose 1}{-3 \choose 5}$$

$$= 1 \frac{(-3)(-4)\cdots(-13)}{11!} + 3 \frac{(-3)(-4)\cdots(-7)}{5!}$$

$$= \frac{1}{2} 12 \cdot 13 - \frac{3}{2} 6 \cdot 7 = 15.$$

(आप चतुर भी हो सकते हैं और ध्यान दें कि उत्तर समरूपता 1 <-> 6, 2 <-> 5, और 3 <-> 4 द्वारा लिए समान होगा और इसका विस्तार करने का केवल एक ही तरीका है रूप में ; अर्थात्, और , दे रहा है$m = 7$$7 - 3$$6 k + j$$k = 0$$j = 4$

$${3 \choose 0}{-3 \choose 4} = 15 \text{.}$$

इसलिए संभावना = , लगभग 14% के बराबर है ।$15/6^3$$5/36$

समय इस दर्दनाक हो जाता रखकर केन्द्रीय सीमा प्रमेय कम से कम केंद्रीय मामले जहां के लिए (अच्छा अनुमान प्रदान करता है के बीच है और : एक रिश्तेदार आधार पर, यह अनुमान लगाता है कि पूंछ के मूल्यों के लिए यह खराब हो जाता है और बड़ा हो जाता है)।$m$$\frac{7 n}{2} - 3 \sqrt{n}$$\frac{7 n}{2} + 3 \sqrt{n}$$n$

मैं देखता हूं कि यह सूत्र विकिपीडिया लेख श्रीकांत संदर्भों में दिया गया है लेकिन कोई औचित्य नहीं दिया गया है और न ही उदाहरण दिए गए हैं। यदि यह दृष्टिकोण बहुत सारगर्भित लगता है, तो अपने पसंदीदा कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली को फायर करें और इसे शक्ति का विस्तार करने के लिए कहें : आप पूरा पढ़ सकते हैं सही मानों का सेट। जैसे , एक गणितज्ञ वन-लाइनर है$n^{\text{th}}$$x + x^2 + \cdots + x^6$

With[{n=3}, CoefficientList[Expand[(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^n], x]]

Comments

क्या वो मैथमेटिका कोड वोल्फ्राम अल्फा के साथ काम करेगा?

यह काम करता है। मैंने आपके पहले संस्करण की कोशिश की, लेकिन आउटपुट का कोई मतलब नहीं बना सका।

@ श्रीकांत: [Sum [x ^ i, {i, 1,6}] ^ 3] का विस्तार भी WolframAlpha में काम करता है

@ ए। विल्सन का मानना ​​है कि उनमें से कई संदर्भ सामान्यीकरण का एक स्पष्ट मार्ग प्रदान करते हैं, जो इस उदाहरण में है । यदि आप इन चीजों की गणना करने के लिए कोड चाहते हैं, तो पूरी तरह से कार्यान्वित प्रणाली के लिए आँकड़ें देखें ।stackexchange.com/ a/ 116913 । एक अन्य उदाहरण के रूप में, गणितज्ञ कोड है$(x+x^2+\cdots+x^6)(x+x^2+x^3+x^4)^3$RClear[x, d]; d[n_, x_] := Sum[x^i, {i, 1, n}]; d[6, x] d[4, x]^3 // Expand

— व्हिबर

ध्यान दें कि @ व्हिबर का स्पष्टीकरण 1d6 + 3D4 के लिए है, और आपको वहां पहुंचना चाहिए। एक मनमाना wdn + vdm के लिए, (x + x ^ 2 + ... + x ^ w) ^ n (x + x ^ 2 + ... + x ^ v) ^ m। अतिरिक्त शर्तें बहुपद का निर्माण किया जाता है और उसी तरह उत्पाद के साथ गुणा किया जाता है।

— ए। विल्सन

Answer 2

फिर भी एक पासा रोल की संभावना वितरण को जल्दी से गणना करने का एक और तरीका उस उद्देश्य के लिए डिज़ाइन किए गए एक विशेष कैलकुलेटर का उपयोग करना होगा।

टॉर्बेन Mogensen , पर एक सीएस प्रोफेसर दिकू एक उत्कृष्ट पासा रोलर कहा जाता है ट्रोल ।

ट्रोल पासा रोलर और प्रायिकता कैलकुलेटर संभावित वितरण (विभिन्न प्रकार के पासा रोल मेकेनिज्म के लिए प्रायोजन वितरण (pmf, histogram, और वैकल्पिक रूप से cdf या ccdf), मतलब फैलता है, और विचलन प्रिंट करता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं जो ट्रोल के पासा रोल भाषा को दिखाते हैं:

रोल 3 6-पक्षीय पासा और उन्हें योग sum 3d6:।

रोल 4-पक्षीय पासा, उच्चतम 3 रखें और उन्हें योग करें sum largest 3 4d6:।

एक "विस्फोट" 6-पक्षीय रोल को रोल करें (यानी, किसी भी समय "6" ऊपर आता है, अपने कुल में 6 जोड़ें और फिर से रोल करें:) sum (accumulate y:=d6 while y=6)।

ट्रोल का एसएमएल स्रोत कोड उपलब्ध है, यदि आप यह देखना चाहते हैं कि इसका कार्यान्वयन कैसे हुआ।

प्रोफेसर मॉर्गेंसन का 29 पन्नों का एक पेपर भी है, " डाइस रोलिंग मेकेनिज्म इन आरपीजी ", जिसमें वह ट्रोल द्वारा लागू किए गए कई पासा रोलिंग तंत्रों और उनके पीछे के गणित के बारे में चर्चा करते हैं।

फ्री, ओपन-सोर्स सॉफ्टवेयर का एक समान टुकड़ा डिक्लेब है , जो लिनक्स और विंडोज दोनों पर काम करता है।

Answer 3

$\newcommand{red}{\color{red}}$ $\newcommand{blue}{\color{blue}}$

पहले को लाल और दूसरे को काला होने दें। फिर 36 संभावित परिणाम हैं:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} &1&2&3&4&5&6\\\hline \red{1}&\red{1},1&\red{1},2&\red{1},3&\red{1},4&\red{1},5&\red{1},6\\ &\blue{^2}&\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}\\\hline \red{2}&\red{2},1&\red{2},2&\red{2},3&\red{2},4&\red{2},5&\red{2},6\\ &\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}\\\hline \red{3}&\red{3},1&\red{3},2&\red{3},3&\red{3},4&\red{3},5&\red{3},6\\ &\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}\\\hline \red{4}&\red{4},1&\red{4},2&\red{4},3&\red{4},4&\red{4},5&\red{4},6\\ &\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}\\\hline \red{5}&\red{5},1&\red{5},2&\red{5},3&\red{5},4&\red{5},5&\red{5},6\\ &\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}\\\hline \red{6}&\red{6},1&\red{6},2&\red{6},3&\red{6},4&\red{6},5&\red{6},6\\ &\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}&\blue{^{12}}\\\hline \end{array}$$

इनमें से प्रत्येक 36 ( ) परिणाम समान रूप से होने की संभावना है।$\red{\text{red}},\text{black}$

जब आप चेहरों पर संख्याओं को जोड़ते हैं (कुल मिलाकर ), तो (लाल, काले) परिणामों में से कई एक ही कुल के साथ समाप्त होते हैं - आप इसे अपने प्रश्न में तालिका के साथ देख सकते हैं।$\blue{\text{blue}}$

इसलिए उदाहरण के लिए कुल प्राप्त करने का केवल एक ही तरीका है (अर्थात केवल घटना ( )), लेकिन प्राप्त करने के दो तरीके हैं (अर्थात प्राथमिक घटनाएँ ( ) और ( ))। तो की कुल दो बार के रूप के रूप में आने की संभावना है । इसी प्रकार प्राप्त करने के तीन तरीके हैं , प्राप्त करने के चार तरीके और इसी तरह।$2$$\red{1},1$$3$$\red{2},1$$\red{1},2$$3$$2$$4$$5$

अब चूंकि आपके पास 36 संभावित (लाल, काले) परिणाम हैं, इसलिए सभी अलग-अलग योगों को प्राप्त करने के तरीकों की कुल संख्या भी 36 है, इसलिए आपको अंत में 36 से विभाजित करना चाहिए। आपकी कुल संभावना 1 होगी, जैसा कि यह होना चाहिए।

Comments

वाह, मेज सुंदर है!

— दीप उत्तर

बहुत सुंदर वास्तव में

— भेड़ियों

Answer 4

स्प्रेडशीट (जैसे एक्सेल) में संयोजनों या संभावनाओं की गणना करने का एक बहुत ही साफ-सुथरा तरीका है, जो सीधे तौर पर दीक्षांत की गणना करता है।

मैं इसे संभावनाओं के संदर्भ में करूंगा और इसे छह पक्षीय पासा के लिए समझाऊंगा, लेकिन आप इसे पासा के लिए किसी भी पक्ष के साथ (अलग-अलग जोड़ने सहित) कर सकते हैं।

(btw यह भी आर या matlab की तरह कुछ में आसान है जो संकल्प करेंगे)

एक साफ चादर के साथ शुरू करें, कुछ कॉलम में, और ऊपर से पंक्तियों का एक गुच्छा नीचे ले जाएं (6 से अधिक)।

1. एक सेल में मान 1 डालें। यह 0 पासा से जुड़ी संभावनाएं हैं। इसके बाईं ओर 0 लगाओ; यह मान स्तंभ है - जहाँ तक आपकी आवश्यकता है, 1,2,3 नीचे के साथ वहाँ से नीचे जारी रखें।

2. एक कॉलम को दाईं ओर ले जाएं और '1' से एक पंक्ति नीचे करें। सूत्र "= sum (" फिर लेफ्ट-एरो अप-एरो दर्ज करें (इसमें सेल को 1 के साथ हाइलाइट करने के लिए), हिट ":" ("एक सीमा में प्रवेश करने के लिए) और फिर 5 बार एरो-एरो, उसके बाद") / 6 "और Enter दबाएं - तो आप एक सूत्र के साथ समाप्त होते हैं जैसे =sum(c4:c9)/6 (जहां यहां C9सेल 1 में है)।

   

   फिर सूत्र को कॉपी करें और इसे नीचे की 5 कोशिकाओं पर चिपकाएं। उनमें से प्रत्येक में 0.16667 (ईश) होना चाहिए।

   

   इन फ़ार्मुलों को संदर्भित करने वाले रिक्त कक्षों में कुछ भी टाइप न करें!

3. मूल्यों और पेस्ट के उस कॉलम के शीर्ष से 1 और दाईं ओर 1 नीचे जाएँ ...

   

   ... अन्य 11 मूल्यों का कुल। ये दो पासा के लिए संभावनाएं होंगी।

   

   इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यदि आप बहुत अधिक पेस्ट करते हैं, तो आपको सिर्फ जीरो मिलेगा।

4. तीन पासा के लिए अगले कॉलम के लिए चरण 3 को दोहराएं, और फिर से चार, पांच, आदि पासा के लिए।

   

   हम यहां देखते हैं कि 4d6 पर को रोल करने की संभावना 0.096451 है (यदि आप गुणा करते हैं तो आप इसे एक सटीक अंश के रूप में लिख पाएंगे)।$12$$4^6$

यदि आप एक्सेल के साथ निपुण हैं - एक सेल से एक फार्मूला कॉपी करने और एक कॉलम में कई कोशिकाओं में चिपकाने जैसी चीजें, तो आप 10d6 कहने के लिए लगभग एक मिनट में या तो (यदि आप इसे कर चुके हैं तो तेज हो सकते हैं) कुछ बार)।

---

यदि आप संभावनाओं के बजाय संयोजन को गिनना चाहते हैं, तो 6 से विभाजित न करें।

यदि आप अलग-अलग संख्या में चेहरे के साथ पासा चाहते हैं, तो आप (6 के बजाय) कोशिकाओं को योग कर सकते हैं और फिर द्वारा विभाजित कर सकते हैं । आप स्तंभों में पासा मिला सकते हैं (जैसे d6 के लिए एक स्तंभ और d8 के लिए एक d6 + d8 के लिए प्रायिकता फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए):$k$$k$

Answer 5

अनुमानित समाधान

मैंने पहले सटीक समाधान समझाया (नीचे देखें)। अब मैं एक अनुमानित समाधान प्रदान करूंगा जो आपकी आवश्यकताओं के अनुरूप हो सकता है।

करते हैं:

$X_i$ एक सामना करने वाले पासा के रोल का परिणाम हो सकता है जहां ।$s$$i=1, ... n$

$S$ सभी पासा के कुल हो ।$n$

$\bar{X}$ नमूना औसत हो।

परिभाषा के अनुसार, हमारे पास:

$\bar{X} = \frac{\sum_iX_i}{n}$

दूसरे शब्दों में,

$\bar{X} = \frac{S}{n}$

विचार अब अवलोकन की प्रक्रिया कल्पना करने के लिए है ही पासा फेंकने के परिणाम के रूप में बार के बजाय फेंकने के परिणाम के रूप में पासा। इस प्रकार, हम केंद्रीय सीमा प्रमेय को लागू कर सकते हैं (असतत वितरण से निरंतर की ओर जाने से जुड़ी तकनीकी को अनदेखा करते हुए), हमारे पास :${X_i}$$n$$n$$n \rightarrow \infty$

$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$

कहाँ पे,

$\mu = (s+1)/2$ एकल पासा के रोल का मतलब है और

$\sigma^2 = (s^2-1)/12$ संबंधित विचरण है।

उपरोक्त स्पष्ट रूप से एक सन्निकटन है क्योंकि अंतर्निहित वितरण में असतत समर्थन है।$X_i$

परंतु,

$S = n \bar{X}$ ।

इस प्रकार, हमारे पास:

$S \sim N(n \mu, n \sigma^2)$ ।

सटीक समाधान

विकिपीडिया में एक संक्षिप्त विवरण है कि आवश्यक संभावनाओं की गणना कैसे करें। मैं इस बारे में थोड़ा और विस्तार करूंगा कि वहां की व्याख्या समझ में क्यों आती है। संभव है कि मैंने विकिपीडिया लेख के समान संकेतन का उपयोग किया हो।

मान लीजिए कि आपके पास के साथ एक पासा चेहरे और आप संभावना की गणना करने के है कि सभी की एक ही रोल चाहते पासा कुल करने के लिए कहते हैं । दृष्टिकोण इस प्रकार है:$n$$s$$n$$k$

निर्धारित करें:

$F_{s,n}(k)$ : संभावना है कि आपको चेहरे के साथ dices के एकल रोल पर कुल प्राप्त होता है ।$k$$n$$s$

परिभाषा के अनुसार, हमारे पास:

$F_{s,1}(k) = \frac{1}{s}$

ऊपर कहा गया है कि अगर आप सिर्फ एक पासा के साथ है कुल प्राप्त करने की संभावना का सामना करना पड़ता 1 के बीच और एस परिचित है ।$s$$k$$\frac{1}{s}$

स्थिति पर विचार करें जब आप दो पासा रोल करते हैं: आप निम्न के रूप में योग प्राप्त कर सकते हैं: पहला रोल 1 से बीच है और दूसरे के लिए संबंधित रोल से बीच है । इस प्रकार, हमारे पास:$k$$k-1$$k-1$$1$

$F_{s,2}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-1}{F_{s,1}(i) F_{s,1}(k-i)}$

अब तीन पासा के एक रोल पर विचार करें: यदि आप पहले पासा पर 1 से रोल करते हैं तो आपको योग मिल सकता है और शेष दो पासे का योग से बीच । इस प्रकार,$k$$k-2$$k-1$$2$

$F_{s,3}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-2}{F_{s,1}(i) F_{s,2}(k-i)}$

उपरोक्त तर्क को जारी रखते हुए, हम पुनरावर्तन समीकरण प्राप्त करते हैं:

$F_{s,n}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-n+1}{F_{s,1}(i) F_{s,n-1}(k-i)}$

अधिक विवरण के लिए विकिपीडिया लिंक देखें।

Comments

@ उत्कृष्ट उत्तर, लेकिन क्या यह फ़ंक्शन कुछ अंकगणित (यानी: पुनरावर्ती नहीं) को हल करता है?

— सी। रॉस

@सी। रॉस दुर्भाग्य से मुझे ऐसा नहीं लगता। लेकिन, मुझे संदेह है कि पुनरावृत्ति उतनी कठिन नहीं होनी चाहिए, जब तक कि यथोचित रूप से छोटे एन और छोटे एस के साथ काम कर रहे हों। आप बस एक लुकअप टेबल का निर्माण कर सकते हैं और आवश्यकतानुसार बार-बार उपयोग कर सकते हैं।

आपके द्वारा लिंक किए गए विकिपीडिया पृष्ठ में एक सरल गैर-सूत्री सूत्र है जो एक एकल राशि है। एक व्युत्पत्ति किसके उत्तर में है।

— डगलस ज़रे

विकी लिंक एंकर मर चुका है, क्या आप एक प्रतिस्थापन के बारे में जानते हैं?

— Midnighter

Answer 6

चरित्र संबंधी कार्य संगणना और यादृच्छिक चर के अंतर को वास्तव में आसान बना सकते हैं। Mathematica में सांख्यिकीय वितरण के साथ काम करने के लिए बहुत सारे कार्य हैं, जिसमें एक बिलियन को इसके विशेषता फ़ंक्शन में बदलना शामिल है।

मैं इसे दो ठोस उदाहरणों के साथ चित्रित करना चाहता हूं: (1) मान लीजिए कि आप पक्षों की भिन्न संख्याओं के साथ पासा के संग्रह का परिणाम निर्धारित करना चाहते थे , उदाहरण के लिए, दो छह-पक्षीय पासा और एक आठ-पक्षीय मर (यानी) रोल करें , 2d6 + d8 )? या (2) मान लें कि आप दो पासा रोल (जैसे, d6-d6 ) के अंतर को खोजना चाहते थे ?

$X$ $f$$\varphi_X(t)$$f$$\varphi_X(t) = \mathcal{F}\{f\}(t) = E[e^{i t X}]$

$X$$Y$$f$$g$$h$$X + Y$$h(n) = (f \ast g)(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty f(m) g(n-m)$

हम फूरियर ट्रांसफ़र के कन्वेन्शन प्रॉपर्टी का उपयोग कर सकते हैं ताकि इसे और अधिक आसानी से फ़ीचर कार्यों के संदर्भ में देखा जा सके:

$\varphi_{X+Y}(t)$$X$$Y$$\varphi_{X}(t) \varphi_{Y}(t)$

यह गणितज्ञ समारोह एक तरफा मरने के लिए विशेषता कार्य करेगा:

MakeCf [s_]: = 
 मॉड्यूल [{सीएफ़}, 
  Cf: = CharacteristicFunction [डिसक्रीट यूनीफॉर्मडिस्ट्रिएशन [{1, s}], 
    टी];
  सीएफ़]

वितरण की पीएमएफ को इसकी विशेषता फ़ंक्शन से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि फूरियर ट्रांसफॉर्म उल्टे हैं। यहाँ यह करने के लिए गणित कोड है:

RecoverPmf [Cf_]: = 
  मॉड्यूल [{एफ}, 
    F [y_]: = SeriesCoeffic [Cf /। t -> -I * लॉग [x], {x, 0, y}];
    एफ]

हमारे उदाहरण को जारी रखते हुए, F को pmf होने दें जो 2d6 + d8 के परिणाम देता है।

F := RecoverPmf[MakeCf[6]^2 MakeCf[8]]

$6^2 \cdot 8 = 288$$S=\{3,\ldots,20\}$$20 = 2 \cdot 6 + 8$

में: = एफ / @ रेंज [3, 20]

आउट = {1/288, 1/96, 1/48, 5/144, 5/96, 7/96, 13/144, 5/48, 1/9, 1/9, \
5/48, 13/144, 7/96, 5/96, 5/144, 1/48, 1/96, 1/284}

यदि आप परिणामों की संख्या जानना चाहते हैं जो कि 10 की राशि है, तो गणना करें

में: = 6 ^ 2 8 एफ [10]

आउट = 30

$X$$Y$$f$$g$$h$$X - Y$$h(n) = (f \star g)(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty f(m) g(n+m)$

हम फूरियर ट्रांसफॉर्म की क्रॉस-सहसंबंधी संपत्ति का उपयोग विशेषता कार्यों के संदर्भ में इसे और अधिक सरल बनाने के लिए कर सकते हैं:

$\varphi_{X-Y}(t)$${X,Y}$$\varphi_{X}(t)$$\varphi_{Y}(-t)$

इसलिए, D6-d6 के pmf G को खोजने के लिए गणितज्ञ का उपयोग कर:

G := RecoverPmf[MakeCf[6] (MakeCf[6] /. t -> -t)]

$6^2 = 36$$S=\{-5,\ldots,5\}$$-5=1-6$$6-1=5$

में: = जी / @ रेंज [-5, 5]

आउट = {1/36, 1/18, 1/12, 1/9, 5/36, 1/6, 5/36, 1/9, 1/12, 1/18, 1/36}।

Comments

बेशक, असतत वितरण के लिए, परिमित समर्थन के वितरण सहित (जैसे कि यहां सवाल), cf सिर्फ x = exp (it) में मूल्यांकन किए गए प्रायिकता जनरेटिंग फंक्शन का मूल्यांकन करता है, जिससे यह समान जानकारी को एन्कोडिंग करने का एक अधिक जटिल तरीका है।

— व्हिबर

@ वाउचर: जैसा कि आप कहते हैं, cf, mgf और pgf कमोबेश एक जैसे हैं और आसानी से एक-दूसरे में रूपांतरित हो जाते हैं, हालांकि Mathematica में cf अंतर्निहित है जो सभी संभाव्यता वितरणों के बारे में जानता है, जबकि यह 'नहीं करता है। t में एक pgf बिलिन है। यह विशेष रूप से निर्माण करने के लिए सुरुचिपूर्ण के साथ cice का उपयोग करके पासा के sums (और मतभेद) के साथ काम करने के लिए मैथेमेटिका कोड बनाता है, भले ही मुझे लगता है कि उम्मीद है कि मैंने ऊपर प्रदर्शन किया है। इसके अलावा, यह जानने के लिए चोट नहीं करता है कि कैसे सीएफएस, एफटी, कॉन्फोल्यूशन और क्रॉस-सहसंबंध इस तरह की समस्याओं को हल करने में मदद कर सकते हैं।

@ अलीशा: अच्छे अंक, उन सभी को। मुझे लगता है कि मैं सबसे अधिक आश्चर्यचकित हूं कि क्या आपके दस या तो गणितज्ञ कोड की लाइनें वास्तव में अधिक "सुरुचिपूर्ण" या मेरे द्वारा प्रस्तावित एकल लाइन की तुलना में कुशल हैं (या यहां तक ​​कि छोटी लाइन श्रीकांत ने वोल्फ्रम अल्फा को खिलाया है)। मुझे संदेह है कि विशेष कार्यों के साथ आंतरिक जोड़तोड़ बहुपदों को गुणा करने के लिए आवश्यक सरल संकल्पों की तुलना में अधिक कठिन हैं। निश्चित रूप से अधिकांश अन्य सॉफ्टवेयर वातावरण में उत्तरार्द्ध को लागू करना आसान है, क्योंकि Glen_b का उत्तर इंगित करता है। आपके दृष्टिकोण का लाभ इसकी अधिक व्यापकता है।

— व्हिबर

Answer 7

यहाँ एक और तरीका है कि दो डिसे के योग की संभाव्यता वितरण की गणना के लिए हाथ का उपयोग करके।

उदाहरण को वास्तव में सरल रखने के लिए, हम तीन-तरफा डाई (d3) के योग की संभाव्यता वितरण की गणना करने जा रहे हैं, जिसका यादृच्छिक चर हम X और दो-तरफा डाई (d2) कहेंगे जिसका यादृच्छिक चर हम करेंगे Y को बुलाओ।

आप एक तालिका बनाने जा रहे हैं। शीर्ष पंक्ति के पार, X की संभाव्यता वितरण लिखें (उचित d3 को रोल करने के परिणाम)। बाएं स्तंभ के नीचे, Y की संभाव्यता वितरण लिखें (उचित d2 को रोल करने के परिणाम)।

आप संभावनाओं के शीर्ष स्तंभ के साथ संभावनाओं के शीर्ष पंक्ति के बाहरी उत्पाद का निर्माण करने जा रहे हैं । उदाहरण के लिए, निचला-दाएं सेल Pr [X = 3] = 1/3 गुना Pr [Y = 2] = 1/2 का उत्पाद होगा जैसा कि साथ में दिखाया गया है। हमारे सरल उदाहरण में, सभी कोशिकाएं 1/6 के बराबर होती हैं।

अगला, आप बाहरी उत्पाद मैट्रिक्स की तिरछी रेखाओं के साथ योग करने जा रहे हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। प्रत्येक तिरछी रेखा एक-या-अधिक कोशिकाओं से होकर गुजरती है जिसे मैंने एक ही रंग दिया है: शीर्ष रेखा एक नीली कोशिका से गुजरती है, अगली पंक्ति दो लाल कोशिकाओं से होकर गुजरती है, और इसी तरह।

विडंबनाओं में से प्रत्येक रकम परिणामी वितरण में एक संभावना का प्रतिनिधित्व करती है। उदाहरण के लिए, लाल कोशिकाओं का योग 3 के बराबर दो पासा की संभावना के बराबर है। इन संभावनाओं को साथ आरेख के दाईं ओर नीचे दिखाया गया है।

इस तकनीक को परिमित समर्थन के साथ किसी भी दो असतत वितरण के साथ उपयोग किया जा सकता है। और आप इसे iteratively लागू कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप तीन छह-पक्षीय पासा (3D6) के वितरण को जानना चाहते हैं, तो आप पहले 2d6 = d6 + d6 की गणना कर सकते हैं; फिर 3 डी 6 = डी 6 + 2 डी 6।

J नामक एक निःशुल्क (लेकिन बंद लाइसेंस) प्रोग्रामिंग भाषा है । यह एपीएल में अपनी जड़ों के साथ एक सरणी-आधारित भाषा है। इसमें मेट्रिसेस में तिरछेपन के साथ बाहरी उत्पादों और रकमों का प्रदर्शन करने के लिए बिल्ड ऑपरेटर्स हैं, जिससे मैंने तकनीक को लागू करने के लिए काफी सरल बताया।

निम्नलिखित J कोड में, मैं दो क्रियाओं को परिभाषित करता हूं। पहले क्रिया dएक सरणी का निर्माण करती है जो एस-साइडेड डाई के पीएमएफ का प्रतिनिधित्व करती है। उदाहरण के लिए, d 66-पक्षीय मरने का pmf है। दूसरा, क्रिया convदो सरणियों और बाह्य रेखाओं के साथ बाहरी उत्पाद खोजती है। तो conv~ d 62d6 के pmf को प्रिंट करता है:

d =: $%
रूपा =: + // @ (* /)।
|: (2 + i.11),: दी ~ ~ 6
 २ ०.०२ 27878
 3 0.0555556
 ४ ०.०3३३३३३
 ५ ०.११११११
 6 0.138889
 7 0.166667
 8 0.138889
 ९ ०.१११११
१० ०.०3३३३३३
11 0.0555556
12 0.0277778

जैसा कि आप देख सकते हैं, जे गुप्त है, लेकिन ट्रिक है।

Answer 8

यह वास्तव में एक आश्चर्यजनक जटिल प्रश्न है। आपके लिए सौभाग्य से, एक सटीक समाधान मौजूद है जिसे यहाँ बहुत अच्छी तरह से समझाया गया है:

http://mathworld.wolfram.com/Dice.html

आप जिस संभावना की तलाश कर रहे हैं, वह समीकरण (10) द्वारा दी गई है: "n s- पक्षीय पासा पर p अंक (p का एक रोल) प्राप्त करने की संभावना"।

आपके मामले में: पी = मनाया गया स्कोर (सभी पासा का योग), n = पासा की संख्या, s = 6 (6-पक्षीय पासा)। यह आपको निम्नलिखित संभावना जन कार्य देता है:

$$P(X_n = p) = \frac{1}{s^n} \sum_{k=0}^{\lfloor(p-n)/6\rfloor} (-1)^k {n \choose k} {p-6k-1 \choose n-1}$$

Comments

हमारी साइट पर आपका स्वागत है, फेलिक्स!

— whuber

Answer 9

उपयोगकर्ता नाम से प्यार है! बहुत बढ़िया :)

आपके द्वारा गिना जाने वाले परिणामों में सभी पासा रोल हैं $6\times 6=36$ of them as shown in your table.

For example, $\frac{1}{36}$ of the time the sum is $2$, and $\frac{2}{36}$ of the time the sum is $3$, and $\frac{4}{36}$ of the time the sum is $4$, and so on.

Comments

I'm really confused by this. I answered a very recent newbie question from someone called die_hard, who apparently no longer exists, then found my answer attached to this ancient thread!

— Creosote

Your answer to the question at stats.stackexchange.com/questions/173434/… was merged with the answers to this duplicate.

— whuber

Answer 10

You can solve this with a recursive formula. In that case the probabilities of the rolls with $n$ dice are calculated by the rolls with $n-1$ dice.

$$a_n(l) = \sum_{l-6 \leq k \leq l-1 \\ \text{ and } n-1 \leq k \leq 6(n-1)} a_{n-1}(k)$$

The first limit for k in the summation are the six preceding numbers. E.g if You want to roll 13 with 3 dice then you can do this if your first two dice roll between 7 and 12.

The second limit for k in the summation is the limits of what you can roll with n-1 dice

The outcome:

1 1 1  1  1   1
1 2 3  4  5   6   5  4   3   2   1
1 3 6  10 15  21  25 27  27  25  21  15  10  6    3   1
1 4 10 20 35  56  80 104 125 140 146 140 125 104  80  56  35  20  10   4   1
1 5 15 35 70 126 205 305 420 540 651 735 780 780 735 651 540 420 305 205 126 70 35 15 5 1  

---

edit: The above answer was an answer from another question that was merged into the question by C.Ross

The code below shows how the calculations for that answer (to the question asking for 5 dice) were performed in R. They are similar to the summations performed in Excel in the answer by Glen B.

# recursive formula
nextdice <- function(n,a,l) {
  x = 0
  for (i in 1:6) {
    if ((l-i >= n-1) & (l-i<=6*(n-1))) {
      x = x+a[l-i-(n-2)]
    }
  }
  return(x)  
}  

# generating combinations for rolling with up to 5 dices
a_1 <- rep(1,6)
a_2 <- sapply(2:12,FUN = function(x) {nextdice(2,a_1,x)})
a_3 <- sapply(3:18,FUN = function(x) {nextdice(3,a_2,x)})
a_4 <- sapply(4:24,FUN = function(x) {nextdice(4,a_3,x)})
a_5 <- sapply(5:30,FUN = function(x) {nextdice(5,a_4,x)})

Comments

@user67275 your question got merged into this question. But I wonder what your idea was behind your formula: "I used the formula: no of ways to get 8: 5_H_2 = 6_C_2 = 15" ?

— Sextus Empiricus

Answer 11

One approach is to say that the probability $X_n=k$ is the coefficient of $x^{k}$ in the expansion of the generating function

$$\left(\frac{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x^1}{6}\right)^n=\left(\frac{x(1-x^6)}{6(1-x)}\right)^n$$

So for example with six dice and a target of $k=22$, you will find $P(X_6=22)= \frac{10}{6^6}$. That link (to a math.stackexchange question) gives other approaches too