क्या सामान्य वितरण एक समान वितरण में परिवर्तित होता है जब मानक विचलन अनंत तक बढ़ता है?

Question

यदि मानक विचलन सीमा के बिना बढ़ता है तो क्या सामान्य वितरण एक निश्चित वितरण में परिवर्तित हो जाता है? यह मुझे प्रतीत होता है कि पीडीएफ़ द्वारा दिए गए सीमा के साथ एक समान वितरण की तरह लग रहा है $[-2 \sigma, 2 \sigma]$। क्या ये सच है?

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नहीं, लेकिन आपके प्रश्न का ठीक से उत्तर देने के लिए, हमें यह जानना होगा कि आपके अभिसरण की परिभाषा क्या है। यह ध्यान रखें कि औपचारिक चर्चा केवल तभी संभव है जब दाहिने हाथ की ओर बदलाव नहीं हो रहा है। [तो, आप Unifrom के अभिसरण स्थापित नहीं कर सकते $-\sigma,\sigma$ क्योंकि आपके] $\sigma$ बदल रहा है। देखने के लिए मैं क्या मतलब CLT के निर्माण को फिर से देखें

— Aksakal

आप लपेट या कुछ और करने के लिए इसे काट-छांट केवल तभी $o(\sigma)$ ।

— उत्साह

Answer 1

अन्य उत्तर यहां पहले से ही यह समझाने का एक बड़ा काम करते हैं कि गॉसियन आरवी कुछ भी क्यों नहीं जुटाते हैं, क्योंकि विचरण बिना बाध्यता के बढ़ जाता है, लेकिन मैं एक उचित-समान संपत्ति इंगित करना चाहता हूं कि गॉसियंस का ऐसा संग्रह संतुष्ट करता है कि वह सोच सकता है। किसी के लिए यह अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त है कि वे समान हो रहे हैं, लेकिन यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं है। $\newcommand{\len}{\text{len}}$

यादृच्छिक चर का एक संग्रह पर विचार करें $\{X_1,X_2,\dots\}$ जहां $X_n \sim \mathcal N(0, n^2)$ । चलो $A = [a_1,a_2]$ परिमित लंबाई की एक निश्चित अंतराल हो, और कुछ के लिए $c \in \mathbb R$ परिभाषित $B = A +c$ , यानी $B$ है $A$ लेकिन सिर्फ द्वारा पर स्थानांतरित कर दिया $c$ । एक अंतराल के लिए $I = [i_1,i_2]$ को परिभाषित$\len (I) = i_2-i_1$ की लंबाई होने के लिए$I$ , और ध्यान दें कि$\len(A) = \len(B)$ ।

अब मैं निम्नलिखित परिणाम साबित करूँगा:

परिणाम : $\vert P(X_n \in A) - P(x_n\in B)\vert \to 0$ as $n \to \infty$ ।

मैं इस तरह की वर्दी को बुलाता हूं क्योंकि यह कहता है कि के वितरण में समान लंबाई के दो निश्चित अंतराल होते हैं, समान संभावना, चाहे वे कितने भी अलग क्यों न हों। यह निश्चित रूप से एक बहुत ही समान विशेषता है, लेकिन जैसा कि हम देखेंगे कि यह एक समान एक के लिए एक्स एन के वास्तविक वितरण के बारे में कुछ नहीं कहता है ।$X_n$$X_n$

पीएफ: ध्यान दें कि जहां एक्स 1 ~ एन ( 0 , 1 ) तो पी ( एक्स एन ∈ ए ) = पी ( एक 1 ≤ n एक्स 1 ≤ एक 2 ) = पी ( एक $X_n = n X_1$$X_1 \sim \mathcal N(0, 1)$=

$$P(X_n \in A) = P(a_1 \leq n X_1 \leq a_2) = P\left(\frac{a_1}{n} \leq X_1 \leq \frac{a_2}n\right)$$ मैं उपयोग कर सकते हैं (बहुत किसी न किसी तरह) के लिए बाध्य है कि ई - एक्स 2 / 2 ≤ 1 पाने के लिए $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx.$$ $e^{-x^2/2} \leq 1$= लेन ( ए $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} 1\,\text dx$$ $$= \frac{\text{len}(A)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

मैं के लिए एक ही बात कर सकते हैं प्राप्त करने के लिए पी ( एक्स एन ∈ बी ) ≤ लेन ( बी $B$

$$P(X_n \in B) \leq \frac{\text{len}(B)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

मुझे एक साथ लाना रूप मेंn→∞(मैं यहां त्रिकोण असमानता का उपयोग कर रहा हूं)।

$$\left\vert P(X_n \in A) - P(X_n \in B)\right\vert \leq \frac{\sqrt 2 \text{len}(A) }{n\sqrt{\pi}} \to 0$$ $n\to\infty$

$\square$

यह एक समान वितरण पर से कैसे अलग है ? मैंने सिर्फ यह साबित किया है कि समान परिमित लंबाई के किन्हीं दो निश्चित अंतरालों को दी गई संभावनाएँ और करीब-करीब मिलती हैं, और सहज रूप से यह समझ में आता है कि जैसे घनत्व A और B से "समतल" हो रहा है।$X_n$$A$$B$ के दृष्टिकोण है।

लेकिन इसके लिए आपको एक समान वितरण पर अभिसरण करने के लिए, मैं आवश्यकता होगी पी ( एक्स एन ∈ मैं ) आनुपातिक करने के लिए किया जा रहा है की ओर सिर करने के लिए लेन ( मैं ) के लिए किसी भी अंतराल मैं एक बहुत अलग बात है, और वह यह है कि क्योंकि यह की जरूरत है किसी भी I पर लागू करें , न केवल एक पहले से तय (और जैसा कि कहीं और उल्लेख किया गया है, यह अनबिके समर्थन के साथ वितरण के लिए भी संभव नहीं है)।$X_n$$P(X_n \in I)$$\text{len}(I)$$I$$I$

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ठीक है, आप लगभग यह कह सकते हैं कि वे वितरण में परिवर्तित हो गए, सिवाय इसके कि वे जो कुछ भी करते हैं, उसकी सीमा एक अनुचित वितरण है। अभिसरण का एक प्रकार है कि अच्छी तरह से परिभाषित किया जाएगा मुझे लगता है कि अगर आप Wasserstein मीट्रिक शून्य के रूप में संपर्क करेगा दिखा सकता है ? $\sigma \rightarrow \infty$

— क्लिफ एबी

Answer 2

प्रायिकता में एक सामान्य गलती यह सोचना है कि एक वितरण एक समान है क्योंकि यह नेत्रहीन सपाट दिखता है जब इसके सभी मूल्य शून्य के पास हैं। इसका कारण यह है कि हम उस में देखते हैं और अभी तक च ( एक्स ) / च ( y ) = 0.001 / 0.000001 = 1000 , यानी एक छोटे से अंतराल के आसपास एक्स है 1000 बार अधिक होने की संभावना y के चारों ओर एक छोटे अंतराल से ।$f(x)=0.001 \approx 0.000001=f(y)$$f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000$$x$$y$

यह निश्चित रूप से सीमा में पूरी वास्तविक रेखा पर समान नहीं है, क्योंकि पर एक समान वितरण नहीं है । यह भी पर भी लगभग एक समान नहीं है [ - 2 σ , 2 σ ] ।$(-\infty,\infty)$$[-2\sigma,2\sigma]$

आप 68-95-99.7 के बाद के नियम को देख सकते हैं जिससे आप परिचित हैं। तो उस पर लगभग एक समान थे , बाद में किया जा रहा है की संभावना [ 0 , σ ] और [ σ , 2 σ ] के रूप में दो अंतराल में एक ही लंबाई हैं, एक ही होना चाहिए। लेकिन यह स्थिति नहीं है: पी ( [ 0 , σ ] ) ≈ 0.68 / 2 = 0.34 , फिर भी पी ( [ σ $[-2\sigma,2\sigma]$$[0,\sigma]$$[\sigma,2\sigma]$$P([0,\sigma])\approx 0.68/2= 0.34$$P([\sigma,2\sigma])\approx (0.95-0.68)/2 = 0.135$

$\sigma$$F_\sigma(x) = (1/2)(1+\mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)$, and $\lim_{\sigma\rightarrow\infty} F_\sigma(x) = 1/2$ for all $x$, which is not the cdf of any random variable. In fact, it's not a cdf at all.

The reason for this non-convergence boils down to "mass loss" is the limit. The limiting function of the normal distribution has actually "lost" probability (i.e. it has escaped to infinity). This is related to the concept of tightness of measures, which gives necessary conditions for a sequence of random variables to converge to another random variable.

Comments

The incorrect "it's" was "all it's values are near zero". The "It's" in "It's a common mistake" was correct.

— Acccumulation

Answer 3

Your statement the pdf starts looking like a uniform distribution with bounds given by $[−2σ,2σ]$ is not correct if you adjust $\sigma$ to match the wider standard deviation.

Consider this chart of two normal densities centred on zero. The red curve corresponds to a standard deviation of $1$ and the blue curve to a standard deviation of $10$, and it is indeed the case that the blue curve is almost flat on $[-2,2]$

but for the blue curve with $\sigma=10$, we should actually be looking at its shape on $[-20,20]$. Rescaling both the $x$-axis and $y$-axis by factors of $10$ gives this next plot, and you get exactly the same shape for the blue density in this later plot as the red density in the earlier plot

Answer 4

Your question is fundamentally flawed. The standard normal distribution is scaled so that $\sigma = 1$. So for some other Gaussian distribution ($\mu = 0, \sigma = \sigma^*$) then the curve between bounds $[-2\sigma^*, 2\sigma^*]$ has the same shape as the standard normal distribution. The only difference is the scaling factor. So if you rescale the Gaussian by dividing by $\sigma^*$, then you end up with the standard normal distribution.

Now if you have a Gaussian distribution ($\mu = 0, \sigma = \sigma^*$) then yes as $\sigma^* \rightarrow \infty$, the region between $[-2, 2]$ becomes increasing flatter.