जब केंद्रीय सीमा प्रमेय और बड़ी संख्या के कानून असहमत हैं

19

यह अनिवार्य रूप से एक प्रश्न का एक प्रतिकृति है , जो मुझे math.se पर मिला था, जिसके उत्तर मुझे नहीं मिले , जिसकी मुझे आशा थी।

Let स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का एक क्रम हो, जिसमें और । $\{ X_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ $\mathbb{E}[X_i] = 1$ $\mathbb{V}[X_i] = 1$

के मूल्यांकन पर विचार करें

\underset{n \to \infty}{लिम} पी (\frac{1}{\sqrt{n}} Σ_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं} \leq \sqrt{n})

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)$

इस अभिव्यक्ति को तब से जोड़-तोड़ करना पड़ता है, जैसा कि असमानता की घटना के दोनों पक्ष अनंतता में होते हैं।

ए) ट्राइ सबट्रक्शन

सीमित कथन पर विचार करने से पहले, दोनों ओर से घटाएँ $\sqrt{n}$ :

\underset{n \to \infty}{लिम} पी (\frac{1}{\sqrt{n}} Σ_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं} - \sqrt{n} \leq \sqrt{n} - \sqrt{n}) = \underset{n \to \infty}{लिम} पी (\frac{1}{\sqrt{n}} Σ_{मैं = 1}^{n} ({एक्स}_{मैं} - 1) \leq 0) = Φ (0) = \frac{1}{2}

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i -\sqrt{n} \leq \sqrt{n}-\sqrt{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (X_i - 1) \leq 0\right) \\ = \Phi(0) = \frac{1}{2}$

CLT द्वारा अंतिम समानता, जहां $\Phi()$ मानक सामान्य वितरण फ़ंक्शन है।

बी) ट्राय की बहुक्रिया

दोनों पक्षों को $1/\sqrt{n}$

\underset{n \to \infty}{लिम} पी (\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} Σ_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं} \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n}) = \underset{n \to \infty}{लिम} पी (\frac{1}{n} Σ_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं} \leq 1)

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac {1}{\sqrt{n}}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \frac {1}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \leq 1\right)$

= \underset{n \to \infty}{लिम} पी ({\bar{एक्स}}_{n} \leq 1) = \underset{n \to \infty}{लिम} {एफ}_{{\bar{एक्स}}_{n}} (1) = 1

$= \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\bar X_n \leq 1\right) = \lim_{n \to \infty}F_{\bar X_n}(1) = 1$

जहाँ $F_{\bar X_n}()$ नमूना माध्य का वितरण कार्य है $\bar X_n$ , जो LLN द्वारा प्रायिकता 1 (और इसलिए वितरण में भी) को निरंतर में परिवर्तित करता है $1$ , इसलिए अंतिम समानता है।

इसलिए हमें परस्पर विरोधी परिणाम मिलते हैं। कौन सा सही है? और दूसरा गलत क्यों है?

probability mathematical-statistics asymptotics

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

1

@JuhoKokkala ज़रूर, यहाँ, math.stackexchange.com/q/2830304/87400 ओपी की गलती को नज़रअंदाज़ करें।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

2

मुझे लगता है कि समस्या एलएलएन को लागू करने वाले दूसरे बयान में है

— Glen_b -Reinstate मोनिका

3

मैंने अंतिम समानता तक आपका अनुसरण किया। क्योंकि हम उम्मीद करेंगे यह स्पष्ट रूप से गलत है, अनुमान लगाने के लिए बड़े के लिए और इसलिए अपनी सीमा के बराबर नहीं होना चाहिए यह इरादा औचित्य क्या है? यह बड़ी संख्या के कानून के किसी भी संस्करण का विवरण नहीं है जो मुझे पता है।

P ({\bar{X}}_{n} \leq 1)

$\mathbb{P}(\bar X_n\le 1)$

1 / 2

$1/2$

n

$n$

1.

$1.$

— whuber

1

@ वाउचर माना जाता है, कि नमूने के लिए सभी संभावना मूल्य केंद्रित है । यदि यह गलत है, तो मेरा मानना है कि गलती के लिए एक उत्तर में विस्तृत होना महत्वपूर्ण है, यही इस प्रश्न का उद्देश्य है।

1

$1$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

2

एलेकोस, मेरी चिंता यह नहीं है कि अंतिम चरण गलत है: इसे बनाने के आपके कारणों की चिंता है। ऐसा नहीं है कि आखिर सवाल क्या है? मैंने अभी भी उन कारणों को देने से कुछ भी नहीं पढ़ा है और मैं यह अनुमान लगाने में भी संकोच करूंगा कि वे क्या हो सकते हैं। यद्यपि आप एक "एलएलएन" का उल्लेख करते हैं, मेरा मानना है कि आपकी समस्या का समाधान सटीक रूप से वर्णन करने में झूठ बोलने की संभावना है जो आप "एलएलएन" को मुखर करने के लिए समझते हैं।

— whuber

15

त्रुटि यहाँ निम्नलिखित वास्तव में संभावना है: वितरण में अभिसरण परोक्ष मानता है कि के लिए converges पर की निरंतरता के बिंदु । जैसा कि सीमा वितरण एक निरंतर यादृच्छिक चर का है, इसमें पर एक कूद असंतोष है , इसलिए यह निष्कर्ष निकालना गलत है कि CDF परिवर्तित होता है । $F_n(x)$ $F(x)$ $F(x)$ $x=1$ $F(x)=1$

— एलेक्स आर।
स्रोत

1

जिस तरह से हम अभिसरण में अभिसरण को परिभाषित करते हैं, वह असंगतता के बिंदुओं पर अभिसरण की संभावना को बाहर नहीं करता है -इसकी आवश्यकता है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

1

लेकिन अगर वितरण में अभिसरण के लिए को परिवर्तित करने की आवश्यकता नहीं है , तो प्रश्न पर आधारित अंतिम समानता क्या है?

F_{n} (1)

$F_n(1)$

F (1)

$F(1)$

— जुहो कोक्कल

1

@ जूहू यह किसी भी चीज पर आधारित नहीं है - यह इस मामले की जड़ है। कोई प्रमेय नहीं है जो प्रश्न में अंतिम समीकरण बनाने की अनुमति देता है।

— whuber

1

@AlecosPapadopoulos: मैंने कभी नहीं कहा कि यह संभावना को बाहर नहीं करता है। मैं स्पष्ट रूप से कह रहा हूं कि आपको वितरण में अभिसरण से आपको जो कुछ दिया गया है, उससे परे अंतिम समानता को उचित ठहराने की जरूरत है। उदाहरण के लिए यदि बर्नौली है, तो यह सच होगा।

X_{n}

$X_n$

— एलेक्स आर।

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लिए यादृच्छिक चर साथ परिभाषित अब, CLT कहता है कि प्रत्येक निश्चित वास्तविक संख्या , । OP, CLT को का मूल्यांकन करने के लिए लागू होता है $X_i$ $E[X_i]= \operatorname{var}(X_i)=1$

\begin{aligned} {जेड}_{n} & = \frac{1}{\sqrt{n}} Σ_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं}, \\ Y_{n} & = \frac{1}{n} Σ_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं} । \end{aligned}

$\begin{align}Z_n &= \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n X_i,\\ Y_n &= \frac{1}{{n}}\sum_{i=1}^n X_i. \end{align}$

z

$z$

lim_{n \to \infty} F_{Z_{n}} (z) = Φ (z - 1)

$\lim_{n\to\infty} F_{Z_n}(z) = \Phi(z-1)$

\underset{n \to \infty}{लिम} पी ({जेड}_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}) = Φ (0) = \frac{1}{2} ।

$\lim_{n\to\infty}P\left(Z_n \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \Phi(0) = \frac 12.$

जैसा कि अन्य उत्तरों के साथ-साथ ओपी के सवाल पर कई टिप्पणियों से पता चला है, यह ओपी का मूल्यांकन है जो कि संदिग्ध है। विशेष मामले पर विचार करें जब iid समान और के बराबर मानों पर यादृच्छिक यादृच्छिक चर असतत । अब, में सभी पूर्णांक मान भी ले सकता है और इसलिए जब विषम हो, मान और पर नहीं ले सकता मान पर नहीं ले सकता $\lim_{n\to\infty} P(Y_n \leq 1)$ $X_i$ $0$ $2$ $\frac 12$ $\sum_{i=1}^n X_i$ $[0,2n]$ $n$ $\sum_{i=1}^n X_i$ $n$ $Y_n = \frac 1n \sum_{i=1}^n X_i$ $1$ । इसके अलावा, चूंकि का वितरण बारे में सममित है , इसलिए हमारे पास का मान जब भी विषम है। इस प्रकार, अनुक्रम संख्या के शामिल परिणाम को जिसमें सभी शब्दों का मान । दूसरी ओर, परिणाम को है converging के लिए । इसलिये, $Y_n$ $1$ $P(Y_n \leq 1) = F_{Y_n}(1)$ $\frac 12$ $n$

पी (Y_{1} \leq 1), पी (Y_{2} \leq 1), ..., पी (Y_{n} \leq 1), ...

$P(Y_1 \leq 1), P(Y_2 \leq 1), \ldots, P(Y_n \leq 1), \ldots$

पी (Y_{1} \leq 1), पी (Y_{3} \leq 1), ..., पी (Y_{2 क - 1} \leq 1), ...

$P(Y_1 \leq 1), P(Y_3 \leq 1), \ldots, P(Y_{2k-1} \leq 1), \ldots$

\frac{1}{2}

$\frac 12$

पी (Y_{2} \leq 1), पी (Y_{4} \leq 1), ..., पी (Y_{2 क} \leq 1), ...

$P(Y_2 \leq 1), P(Y_ 4\leq 1), \ldots, P(Y_{2k} \leq 1), \ldots$

1

$1$

lim_{n \to \infty} P (Y_{n} \leq 1)

$\lim_{n\to\infty} P(Y_n \leq 1)$ मौजूद नहीं है और के 1 के अभिसरण के दावों को बहुत से देखा जाना चाहिए।

P (Y_{n} \leq 1)

$P(Y_n\leq 1)$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

8

आपका पहला परिणाम सही है। आपकी गलती दूसरे गलत कथन में होती है:

lim_{n \to \infty} F_{{\bar{X}}_{n}} (1) = 1.

$\lim_{n \rightarrow \infty} F_{\bar{X}_n}(1) = 1.$

यह कथन गलत है (दाहिने हाथ की ओर ) होना चाहिए और यह बड़ी संख्या के कानून का पालन नहीं करता है । बड़ी संख्या का कमजोर कानून (जिसे आप कहते हैं) कहते हैं कि: $\tfrac{1}{2}$

lim_{n \to \infty} P (| {\bar{X}}_{n} - 1 | ⩽ ε) = 1 for all ε > 0.

$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Big( |\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon \Big) = 1 \quad \quad \text{for all } \varepsilon > 0.$

सभी के लिए स्थिति कुछ मानों को फैलाता है जहाँ और कुछ मान जहाँ । इसलिए, यह LLN कि lim_ से अनुसरण नहीं करता है । $\varepsilon > 0$ $|\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon$ $\bar{X}_n \leqslant 1$ $\bar{X}_n > 1$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} ( \bar{X}_n \leqslant 1 ) = 1$

— मोनिका को बहाल करो
स्रोत

1

(त्रुटिपूर्ण वास्तव में) परिणाम निहितार्थ से आता है "संभाव्यता में अभिसरण का अर्थ है वितरण में अभिसरण।" सवाल यह नहीं बताता है कि दावा सीधे एलएलएन से आता है ।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@AlecosPapadopoulos: संभाव्यता में अभिसरण वितरण में अभिसरण करता है। फिर, निरंतरता के बिंदुओं पर वितरण में अभिसरण की आवश्यकता होती है। लेकिन, हो सकता है कि आप का मतलब है कि संभाव्यता में अभिसरण का अर्थ है वितरण के बिंदुवार अभिसरण।

— एलेक्स आर।

@AlexR। मुझे यकीन नहीं है कि आपकी आपत्ति कहां है। मेरा मानना है कि यह मुद्दा मेरे अपने जवाब में शामिल है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

3

संभाव्यता में रूपांतरण का अर्थ है वितरण में अभिसरण। लेकिन ... क्या वितरण? यदि सीमित वितरण में एक जंप डिसकंटीनिटी है तो सीमा अस्पष्ट हो जाती है (क्योंकि डिसकाउंट में कई मान संभव हैं)।

जहां नमूना माध्य का वितरण समारोह है , जो संभावना में LLN converges (और इसलिए भी वितरण में) स्थिर करने के लिए से , $F_{\bar X_n}()$ $\bar X_n$ $1$

यह सही नहीं है, और यह दिखाना भी आसान है कि यह सही नहीं हो सकता (सीएलटी और एलएलबी के बीच मतभेद से अलग)। सीमित वितरण (जिसे सामान्य वितरित चर के अनुक्रम की सीमा के रूप में देखा जा सकता है) होना चाहिए:

F_{{\bar{X}}_{\infty}} (x) = {\begin{cases} 0 & for x < 1 \\ 0.5 & for x = 1 \\ 1 & for x > 1 \end{cases}

$F_{\bar{X}_\infty}(x) = \begin{cases} 0 & \text{for } x<1 \\ 0.5& \text{for } x=1\\ 1 & \text{for } x>1 \end{cases}$

इस फ़ंक्शन के लिए आपके पास, किसी भी और हर , अंतर है पर्याप्त रूप से बड़े लिए । यह बजाय बजाय विफल हो जाएगा $\epsilon>0$ $x$ $|F_{\bar{X}_n}(x)-F_{\bar{X}_\infty}(x)|<\epsilon$ $n$ $F_{\bar{X}_\infty}(1)=1$ $F_{\bar{X}_\infty}(1)=0.5$

एक सामान्य वितरण की सीमा

बड़ी संख्या के कानून को लागू करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली राशि को स्पष्ट रूप से लिखना उपयोगी हो सकता है।

{\bar{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (1, \frac{1}{n})

$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \sim N(1,\frac{1}{n})$

^{लिए की सीमा सीमा वास्तव में डिराक डेल्टा फ़ंक्शन के बराबर है जब इसे शून्य में जाने वाले विचरण के साथ सामान्य वितरण की सीमा के रूप में दर्शाया जाता है। $n\to \infty$ $\hat{X}_n$}

उस अभिव्यक्ति का उपयोग करके यह देखना अधिक आसान है कि सीएलटी एलएलएन के तैयार किए गए कानूनों का उपयोग करने के बजाय हुड के नीचे क्या चल रहा है, जो कानूनों के पीछे तर्क को अस्पष्ट करता है।

संभाव्यता में परिवर्तन

बड़ी संख्या का कानून आपको 'संभावना में अभिसरण' देता है

lim_{n \to \infty} P (| {\bar{X}}_{n} - 1 | > ϵ) = 0

$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n-1|>\epsilon) =0$

साथ $\epsilon > 0$

^{केंद्रीय सीमा प्रमेय के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय के लिए साथ एक समान कथन बनाया जा सकता है।
$\lim_{n \to \infty} P(|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum \left( X_i-1 \right)|>\frac{\epsilon}{n}) =0$}

यह गलत है कि इसका मतलब है कि

lim_{n \to \infty} P (| {\bar{X}}_{n} - 1 | > 0) = 0

$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n-1|>0) =0$

^{यह कम अच्छा है कि यह प्रश्न इतनी जल्दी क्रॉस-पोस्ट किया गया है (भ्रामक है, फिर भी विभिन्न चर्चाओं को देखने के लिए दिलचस्प है / गणित बनाम आँकड़े तक पहुंचता है, इसलिए यह बहुत बुरा नहीं है)। गणित स्टैकएक्सचेंज पर माइकल हार्डी का जवाब बड़ी संख्या के मजबूत कानून (क्रॉस पोस्ट किए गए सवाल और दिलीप के यहां ड्रब से स्वीकृत उत्तर के समान सिद्धांत) के संदर्भ में बहुत प्रभावी ढंग से पेश आता है। हम लगभग निश्चित हैं कि एक अनुक्रम 1 में परिवर्तित होता है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि $\bar{X}_1, \bar{X}_2, \bar{X}_3, ... \bar{X}_n$ $\lim_{n \to \infty} P(\bar{X}_n = 1)$ 1 के बराबर होगा (या यह दिलीप शो के रूप में भी मौजूद नहीं हो सकता है)। टॉमस द्वारा टिप्पणियों में पासा उदाहरण एक अलग कोण से बहुत अच्छी तरह से दिखाता है (सीमा के बजाय मौजूदा नहीं, सीमा शून्य हो जाती है)। पासा रोल के अनुक्रम का मतलब पासा के साधन में परिवर्तित हो जाएगा लेकिन इसके बराबर होने की संभावना शून्य हो जाती है।}

हीविसाइड स्टेप फंक्शन और डिराक डेल्टा फंक्शन

का CDF निम्नलिखित है: $\bar{X}_n$

F_{{\bar{X}}_{n}} (x) = \frac{1}{2} (1 + erf \frac{x - 1}{\sqrt{2 / n}})

$F_{\bar{X}_n}(x) = \frac{1}{2} \left(1 + \text{erf} \frac{x-1}{\sqrt{2/n}} \right)$

यदि आपको पसंद है, तो ( हीविसाइड स्टेप फंक्शन से संबंधित , डीरेका डेल्टा फंक्शन का अभिन्न अंग जब सीमा के रूप में देखा जाता है सामान्य वितरण)। $\lim_{n \to \infty} F_{\bar{X}_n}(1) = 0.5$

मेरा मानना है कि यह दृश्य सहज रूप से 'शो गलत है' के संबंध में आपके प्रश्न को हल करता है या कम से कम यह दर्शाता है कि सीएलटी और एलएलएन की इस असहमति के कारण को समझने के बारे में सवाल डायट डेल्टा फ़ंक्शन के अभिन्न को समझने के सवाल के बराबर है या विचरण के साथ सामान्य वितरण का एक क्रम घटकर शून्य हो जाता है।

— सेक्सटस एम्पिरिकस
स्रोत

2

आपका सीमित वितरण वास्तव में वितरण नहीं है। एक सीडीएफ सही निरंतर होना चाहिए, जबकि यह स्पष्ट रूप से पर नहीं है ।

x = 1 / 2

$x=1/2$

— एलेक्स आर।

सही निरंतरता आवश्यक प्रतीत होती है जैसे कि प्रत्येक के हमारे पास घटनाओं के रूप में पास नेस्टेड हैं, हमारे पास लेकिन क्या यह हमारे मामले के लिए सच है और पकड़ कहां है? क्या यह सही निरंतरता संभाव्यता स्वयंसिद्धों के आधार पर आवश्यक है या यह केवल एक सम्मेलन है जैसे कि सीडीएफ सबसे आम मामलों के लिए काम करता है?

a

$a$

lim_{n \to \infty} F_{X} (a + \frac{1}{n}) = F_{X} (a)

$\lim_{n \to \infty} F_{X}(a+\frac{1}{n}) = F_{X}(a)$

X \leq a + \frac{1}{n}

$X \leq a+\frac{1}{n}$

lim_{n \to \infty} F_{X} (a + \frac{1}{n}) = lim_{n \to \infty} P (X \leq a + \frac{1}{n}) = P (lim_{n \to \infty} X \leq a + \frac{1}{n}) = P (X \leq a) = F_{X} (a)

$\lim_{n \to \infty} F_{X}(a+\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} P(X \leq a+\frac{1}{n}) = P(\lim_{n \to \infty} X \leq a+\frac{1}{n}) = P(X \leq a) = F_{X}(a)$

— सेक्सटस एम्पिरिकस

@ मर्टिन वेटरिंग्स: यह ठीक है जहां से यह आता है। किसी भी वैध उपाय को इन एकरसता परिणामों को संतुष्ट करना चाहिए। वे गिनने योग्य व्यसनशीलता के साथ-साथ की सीमा का परिणाम हैं । अधिक सामान्यतः, एक फ़ंक्शन एक CDF है (यानी माध्यम से कुछ वितरण से मेल खाता है यदि iff मोनोटोनिक होने के साथ-साथ दाईं-ओर है, , और बाईं सीमा 0, दाईं सीमा 1.

P

$P$

P

$P$

F (x)

$F(x)$

P

$P$

F (b) - F (a) = P (a < X \leq b)

$F(b)-F(a)=P(a<X\leq b)$

F

$F$

— एलेक्स आर।

2

मेरा मानना है कि अब तक यह स्पष्ट होना चाहिए कि "सीएलटी दृष्टिकोण" सही उत्तर देता है।

चलो ठीक उसी तरह इंगित करते हैं जहां "एलएलएन दृष्टिकोण" गलत हो जाता है।

परिमित कथनों से शुरू करते हुए, यह स्पष्ट है कि तब हम दोनों पक्षों से या तो को घटा सकते हैं , या दोनों पक्षों को गुणा कर सकते हैं । हमें मिला $\sqrt{n}$ $1/\sqrt{n}$

P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \sqrt{n}) = P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - 1) \leq 0) = P (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq 1)

$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)=\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n(X_i-1) \leq 0\right) = \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^nX_i \leq 1\right)$

इसलिए यदि सीमा मौजूद है, तो यह समान होगी। स्थापना वितरण काम करता है, हम, का उपयोग कर दिया है $Z_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n(X_i-1)$

P (\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \leq \sqrt{n}) = F_{Z_{n}} (0) = F_{{\bar{X}}_{n}} (1)

$\mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right)= F_{Z_n}(0) = F_{\bar X_n}(1)$

... और यह सच है कि । $\lim_{n\to \infty}F_{Z_n}(0)= \Phi(0) = 1/2$

"LLN दृष्टिकोण" में सोच इस प्रकार है: "हम LLN से पता है कि एक निरंतर करने के लिए probabililty में converges और हम यह भी कहा कि पता है।" संभावना में अभिसरण वितरण में अभिसरण का तात्पर्य "तो,। converges एक स्थिर करने के लिए वितरण में "। यहाँ तक हम सही हैं। तब हम कहते हैं: "इसलिए, लिए संभावनाओं को सीमित करके स्थिरांक के वितरण समारोह द्वारा यादृच्छिक चर पर दिया जाता है", $\bar X_n$ $\bar X_n$
$\bar X_n$ $1$

{एफ}_{1} (एक्स) = {\begin{cases} 1 एक्स \geq 1 \\ 0 एक्स < 1 \end{cases} ⟹ {एफ}_{1} (1) = 1

$F_1(x) = \cases {1 \;\;\;\;x\geq 1 \\ 0 \;\;\;\;x<1} \implies F_1(1) = 1$

... so ... $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1) = F_1(1) = 1$

... और हमने सिर्फ अपनी गलती की । क्यों? क्योंकि, @AlexR के रूप में । जवाब का उल्लेख किया , कवर "वितरण में अभिसरण" केवल सीमित वितरण समारोह की निरंतरता का अंक। और लिए विच्छेदन का एक बिंदु है । इसका मतलब है कि हो सकता है के बराबर होना लेकिन यह नहीं हो सकता है , LLN के निहितार्थ "एक निरंतर करने के लिए वितरण में अभिसरण" negating के बिना । $1$ $F_1$ $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1)$ $F_1(1)$

और सीएलटी दृष्टिकोण से हम जानते हैं कि सीमा का मूल्य ( ) क्या होना चाहिए । मुझे सीधे तौर पर यह साबित करने का कोई तरीका नहीं है कि सीधे उस । $1/2$ $\lim_{n\to \infty} F_{\bar X_n}(1) = 1/2$

क्या हमने कुछ नया सीखा?

मैंने किया। एलएलएन का दावा है कि

\underset{n \to \infty}{लिम} पी (| {\bar{एक्स}}_{n} - 1 | ⩽ ε) = 1 सबके लिए ε > 0

$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \Big( |\bar{X}_n - 1| \leqslant \varepsilon \Big) = 1 \quad \quad \text{for all } \varepsilon > 0$

⟹ \underset{n \to \infty}{लिम} [पी (1 - ε < {\bar{एक्स}}_{n} \leq 1) + पी (1 < {\bar{एक्स}}_{n} \leq 1 + ε)] = 1

$\implies \lim_{n \rightarrow \infty} \Big[ \mathbb{P} \Big( 1-\varepsilon <\bar{X}_n \leq 1\Big) + \mathbb{P} \Big( 1 <\bar{X}_n \leq 1+\varepsilon\Big)\Big] = 1$

⟹ \underset{n \to \infty}{लिम} [पी ({\bar{एक्स}}_{n} \leq 1) + पी (1 < {\bar{एक्स}}_{n} \leq 1 + ε)] = 1

$\implies \lim_{n \rightarrow \infty} \Big[ \mathbb{P} \Big(\bar{X}_n \leq 1\Big) + \mathbb{P} \Big( 1 <\bar{X}_n \leq 1+\varepsilon\Big)\Big] = 1$

LLN यह नहीं कहता है कि अंतराल में कैसे संभाव्यता आवंटित की गई है । मैंने जो सीखा है, वह यह है कि अभिसरण परिणामों के इस वर्ग में, संभावना समाप्‍त अंतराल के केंद्र बिंदु के दोनों किनारों पर समान रूप से आवंटित सीमा पर है। $(1-\varepsilon, 1+\varepsilon)$

यहाँ सामान्य कथन है, मान लें

{एक्स}_{n} \to_{पी} θ, ज (n) ({एक्स}_{n} - θ) \to_{घ} डी (0, वी)

$X_n\to_p \theta,\;\;\; h(n)(X_n-\theta) \to_d D(0,V)$

जहां वितरण समारोह के साथ कुछ आर.वी. है । फिर $D$ $F_D$

\underset{n \to \infty}{लिम} पी [{एक्स}_{n} \leq θ] = \underset{n \to \infty}{लिम} पी [ज (n) ({एक्स}_{n} - θ) \leq 0] = {एफ}_{डी} (0)

$\lim_{n\to \infty} \mathbb P[X_n \leq \theta] = \lim_{n\to \infty}\mathbb P[h(n)(X_n-\theta) \leq 0] = F_D(0)$

... जो (स्थिर आरवी का वितरण कार्य बराबर नहीं हो सकता है । $F_{\theta}(0)$

इसके अलावा, यह एक मजबूत उदाहरण है कि, जब सीमित रैंडम वेरिएबल के डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन में डिसकंटीनिटी होती है, तो "एक रैंडम वैरिएबल में डिस्ट्रीब्यूशन" एक ऐसी स्थिति का वर्णन कर सकता है, जहां "लिमिट डिस्ट्रीब्यूशन" लिमिटिंग के "डिस्ट्रीब्यूशन" से असहमत हो सकता है। यादृच्छिक चर "विराम बिंदुओं पर"। सख्ती से बोलना, निरंतरता अंक के लिए सीमित वितरण निरंतर यादृच्छिक चर है। डिसकंटिनिटी पॉइंट्स के लिए हम "अलग" संस्थाओं के रूप में सीमित संभावना की गणना करने में सक्षम हो सकते हैं।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

'सबक सीखा' परिप्रेक्ष्य दिलचस्प है, और यह एक अच्छा है, बहुत मुश्किल नहीं है, उदाहरण के लिए आवेदन। हालांकि मुझे आश्चर्य है कि अनंत के बारे में यह (प्रत्यक्ष) व्यावहारिक अनुप्रयोग किस तरह का है, क्योंकि अंततः प्रैक्टिस में

n \neq \infty

$n \neq \infty$

— Sextus Empiricus

@MartijnWeterings मार्टिज़न, यहाँ प्रेरणा निश्चित रूप से शैक्षिक थी, क) एक "स्थिर" स्थिति में भी एक निरंतरता के अभिसरण के रूप में, और इसलिए भी सामान्य रूप में विसंगतियों के लिए एक चेतावनी के रूप में (वे उदाहरण के लिए समान अभिसरण को नष्ट करते हैं), और बी) जब संभाव्यता द्रव्यमान को कैसे आवंटित किया जाता है, तो यह परिणाम दिलचस्प हो जाता है जब अनुक्रम जो एक निरंतरता में संभाव्यता में परिवर्तित हो जाता है, फिर भी एक गैर-शून्य संस्करण होता है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

हम कह सकते हैं कि सीएलटी चलो एक सामान्य वितरित चर को सीमित करने के लिए अभिसरण के बारे में कुछ कहते हैं (इस तरह रूप में इस तरह की चीजों को व्यक्त करने में सक्षम है ), लेकिन एलएलएन केवल हमें यह कहने की अनुमति देता है कि, नमूना आकार बढ़ाने से, हम करीब हो जाते हैं सही अर्थ के लिए, लेकिन यह नहीं कहता है कि हम प्राप्त करते हैं, उच्च संभावना के साथ, 'नमूना अर्थ के बराबर'। एलएलएन का मतलब है कि नमूना का मतलब एक सीमित मूल्य के करीब और करीब हो जाता है लेकिन इसके बराबर (उच्च संभावना के साथ) नहीं। LLN बारे में कुछ नहीं कहता है

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— Sextus Empiricus

LLN के आस-पास के मूल विचार जहां वास्तव में विपरीत होते हैं (Arbuthnot आँकड़े . stackexchange.com/questions/343268 का तर्क देखें )। "जो कुछ कहा गया है, उससे यह दिखाई देता है कि बहुत बड़ी संख्या में पासा के साथ, A का लॉट बहुत छोटा हो जाएगा ... किसी भी समय पर होने वाले किसी भी समय के लिए, सभी संभावित परिवर्तनों का एक छोटा हिस्सा होगा, पुरुषों और महिलाओं की एक समान संख्या पैदा होनी चाहिए। "

— सेक्सटस एम्पिरिकस