द्वितीय क्रम विभेदन के पीछे अंतर्ज्ञान क्या है?

Question

कभी-कभी एक समय सीरी को स्थिर बनाने के लिए अलग करने की आवश्यकता हो सकती है। हालाँकि मुझे समझ में नहीं आता है कि कैसे दूसरे क्रम के विभेदक इसे स्थिर बनाने में मदद कर सकते हैं जब प्रथम-क्रम विभेदक पर्याप्त नहीं है।

क्या आप दूसरे क्रम विभेदक और उन मामलों के लिए एक सहज स्पष्टीकरण दे सकते हैं जहां इसकी आवश्यकता है?

Answer 1

द्वितीय-क्रम विभेदन दूसरी व्युत्पन्न के लिए असतत सादृश्य है। असतत समय-श्रृंखला के लिए, दूसरे क्रम का अंतर एक निश्चित समय में श्रृंखला की वक्रता का प्रतिनिधित्व करता है। यदि दूसरे क्रम का अंतर सकारात्मक है, तो उस समय की श्रंखला ऊपर की ओर घट रही है, और यदि यह ऋणात्मक है, तो समय श्रृंखला नीचे की ओर घट रही है।

असतत समय श्रृंखला का दूसरा-क्रम अंतर समय$\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$$t$ है:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

यह सकारात्मक है अगर $\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$ और नकारात्मक अगर $\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$ (और शून्य यदि $\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$)। यदि पिछली बार की तुलना में इस समय श्रृंखला में अधिक ऊर्ध्वगामी (कम नीचे की ओर) परिवर्तन हुआ है, तो सकारात्मक वक्रता है, और यदि पिछली बार की तुलना में इस समय श्रृंखला में कम ऊर्ध्व (अधिक नीचे की ओर) परिवर्तन हुआ है, नकारात्मक वक्रता है।

Answer 2

दो विचार:

पुनरावृत्ति । प्रथम-अंतर अंतर के बाद, आपके पास क्या है? एक और समय श्रृंखला, जो सही परिस्थितियों में, स्थिर के करीब है। यदि यह पर्याप्त रूप से बंद नहीं है, तो आपके पास अब एक समय श्रृंखला है जो स्थिर नहीं है और आप इसे स्थिर के करीब ले जाना चाहते हैं, इसलिए आप पहले क्रम में अंतर करते हैं। (जो मूल समय श्रृंखला के दूसरे क्रम का अंतर होता है।) यदि विभेदित समय श्रृंखला स्थिर करने के लिए पर्याप्त नहीं है, तो आप ... [पुनः प्राप्त करें] ...

अ णा । कल्पना कीजिए कि आप हर 10 मिनट में अपनी कार का जीपीएस स्थान रिकॉर्ड करते हैं। अगर मैं जीपीएस बिंदुओं को किसी भी दो दिनों से ले सकता हूं और उन्हें आपको दिखा सकता हूं और आप यह पता नहीं लगा सकते हैं कि यह किस दिन हो सकता है - शायद वास्तव में एक दिन दूसरे से भी नहीं कह सकता है - आपका स्थान डेटा होगा स्थावर।

लेकिन कहते हैं कि आप दो सप्ताह के लिए हर दिन पास के एक अलग शहर में चले गए? आप आसानी से दिनों के बीच अंतर बताने में सक्षम होंगे - शायद यह जानते हुए भी कि मैं आपको किस दिन दिखा रहा था। स्थिर नहीं है।

शायद अगर आप हर 10 मिनट में घर से अपनी दूरी दर्ज करते हैं, तो यह आपके डेटा को अधिक स्थिर बना देगा। दूरी में दिशा शामिल नहीं है, इसलिए शायद अब उन दो हफ्तों के लिए आपका डेटा बहुत अधिक समान दिखाई देगा? (औसत स्थान उदाहरण के लिए घर है।)

इसके बजाय, यह कहें कि आपने न्यूयॉर्क से लॉस एंजिल्स के लिए सीधे ड्राइव करना चुना। दूरी की चाल काम नहीं करेगी, क्योंकि आपकी दूरी आपको दिनों के बीच एक बहुत स्पष्ट अंतर देगी।

लेकिन आप इसके बजाय हर 10 मिनट में अपनी गति रिकॉर्ड करना चुन सकते हैं। अंतरराज्यीय प्रणाली पर क्रॉस कंट्री ड्राइविंग, आप दिन बहुत एक जैसे, गति-वार दिखेंगे। यही है, आपकी गति स्थिर होगी।

कहते हैं, समय 0 पर स्थान है $L_0$, और 10 और 20 मिनट बाद है $L_1$ तथा $L_2$, क्रमशः। प्रत्येक 10 मिनट के अंतराल में यात्रा की गई दूरी होगी$D_1 = L_1 - L_0$ तथा $D_2 = L_2 - L_1$, जो, समय अंतराल से विभाजित होने पर वेग उत्पन्न करता है (गति के समान इकाइयाँ लेकिन दिशा के साथ)। दूसरा अंतर,$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$त्वरण है। यदि गति स्थिर है, और वाहन स्थायी रूप से आगे बढ़ रहा है, तो स्थान के अंतर भी स्थिर होंगे।