उस क्षण के प्रमाण उत्पन्न करने वाले कार्य विशिष्ट रूप से संभाव्यता वितरण निर्धारित करते हैं

Wackerly et al का पाठ इस प्रमेय को बताता है "Let और क्रमशः रैंडम वैरिएबल X और Y के कार्य-उत्पादक कार्यों को सूचित करते हैं। यदि दोनों पल-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन मौजूद हैं और टी के सभी मूल्यों के लिए, फिर एक्स और वाई के समान संभावना वितरण है। " बिना किसी प्रमाण के पाठ के दायरे से परे यह कहना। शेफ़र यंग के पास भी बिना प्रमाण के एक ही प्रमेय है । मेरे पास कासेला की एक प्रति नहीं है, लेकिन Google पुस्तक खोज ने इसमें प्रमेय नहीं पाया। $m_x(t)$ $m_y(t)$ $m_x(t) = m_y(t)$

गुट के पाठ में एक सबूत की रूपरेखा प्रतीत होती है , लेकिन "प्रसिद्ध परिणामों" का संदर्भ नहीं देता है और इसके लिए एक और परिणाम जानने की आवश्यकता होती है जिसका प्रमाण भी प्रदान नहीं किया गया है।

क्या किसी को पता है कि मूल रूप से यह साबित हुआ है और अगर सबूत कहीं भी ऑनलाइन उपलब्ध है? अन्यथा कोई इस प्रमाण के विवरण को कैसे भरेगा?

मामले में मैंने पूछा कि यह कोई होमवर्क सवाल नहीं है, लेकिन मैं यह कल्पना कर सकता हूं कि यह किसी का होमवर्क है। मैंने वेकरली पाठ पर आधारित एक पाठ्यक्रम अनुक्रम लिया और मुझे इस प्रमाण के बारे में कुछ समय के लिए आश्चर्यचकित रह गया। इसलिए मुझे लगा कि यह पूछने का समय है।

— क्रिस सिमोकत
स्रोत

संबंधित : (i) एमजीएफएस का उलटा और (ii) पल उत्पन्न करने का कार्य और भिन्नता

— कार्डिनल

यदि आपके पास बिलिंग्सले की प्रायिकता और माप पाठ तक पहुंच है , तो यह एक अनुभाग में चर्चा की जाती है, जिसे मैं मानता हूं, "क्षणों की विधि"। (अस्पष्टता के लिए क्षमा याचना, जैसा कि वर्तमान में मेरे पास नहीं है।) यदि मुझे सही ढंग से याद है, तो वह जिस प्रमाण का उपयोग करता है वह विशेषता कार्यों के लिए संबंधित परिणामों पर निर्भर करता है, हालांकि, जो पूरी तरह से संतोषजनक नहीं हो सकता है। यह निश्चित रूप से (अच्छी तरह से) वेकरली के पाठ की अपेक्षित पृष्ठभूमि के दायरे से बाहर है।

— कार्डिनल

वाह @cardinal उन सवालों के लिए आपके उत्तर बेहतर और बहुत उपयोगी थे धन्यवाद और पाठ सिफारिश के लिए धन्यवाद मुझे कॉपी की एक पकड़ मिलनी चाहिए।

— क्रिस सिमोकैट

@ कार्डिनल मैंने आपके नोट को देखने से पहले बिलग्ली को एक्सेस किया और मेरे पिछले उत्तर के प्रमाण का विवरण जोड़ा।

— माइकल आर। चेरिक

इतिहास के बारे में ("जो मूल रूप से यह साबित कर दिया है?"), ऐसा प्रतीत होता है कि लाप्लास 1785 में इस तरह के काम के लिए विशेषता फ़ंक्शन का उपयोग कर रहा था और 1810 तक सामान्य उलटा सूत्र (जो कि सबूत की कुंजी है) विकसित किया था। अंडमान हल्द देखें , गणितीय सांख्यिकी 1750 से 1930 तक का इतिहास , अध्याय 17

— whuber

जवाबों:

इसका सामान्य प्रमाण फेलर (एन इंट्रोडक्शन टू प्रोबेबिलिटी थ्योरी और इसके अनुप्रयोग, खंड 2) में पाया जा सकता है । यह एक उलटा समस्या है जिसमें लैपलैस ट्रांसफॉर्म सिद्धांत शामिल है। क्या आपने देखा कि mgf लैपल्स ट्रांसफॉर्म के लिए एक शानदार समानता रखता है ?. लाप्लास परिवर्तन के उपयोग के लिए आप विल्डरर (कैल्कस वॉल्यूम I) देख सकते हैं ।

एक विशेष मामले का प्रमाण:

मान लीजिए कि X और Y यादृच्छिक वैरिएबल हैं जो दोनों { } में केवल संभावित मान ले रहे हैं । इसके अलावा, मान लीजिए एक्स और वाई सभी टी के लिए एक ही एमजीएफ है: सादगी के लिए, हम करने देगा और हम करेंगे डी फाई ne $0, 1, 2,\dots, n$

Σ_{एक्स = 0}^{n} इ^{टी एक्स} च_{एक्स} (एक्स) = Σ_{y = 0}^{n} इ^{टी y} च_{Y} (y)

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$

s = e^{t}

$s = e^t$

लिए

।

c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$

i = 0, 1, \dots, n

$i = 0, 1,\dots,n$

अब

Σ_{एक्स = 0}^{n} इ^{टी एक्स} च_{एक्स} (एक्स) - Σ_{y = 0}^{n} इ^{टी y} च_{Y} (y) = 0

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$

\Rightarrow Σ_{एक्स = 0}^{n} {रों}^{एक्स} च_{एक्स} (एक्स) - Σ_{y = 0}^{n} {रों}^{y} च_{Y} (y) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$

\Rightarrow Σ_{एक्स = 0}^{n} {रों}^{एक्स} च_{एक्स} (एक्स) - Σ_{एक्स = 0}^{n} {रों}^{एक्स} च_{Y} (एक्स) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$

\Rightarrow Σ_{एक्स = 0}^{n} {रों}^{एक्स} [च_{एक्स} (एक्स) - च_{Y} (एक्स)] = 0

$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$

उपरोक्त कोए

cients

साथ बस एक बहुपद है। एक ही तरीका है यह रों के सभी मानों के लिए शून्य हो सकता है अगर है

तो, हम है कि

के लिए

\Rightarrow Σ_{एक्स = 0}^{n} {रों}^{एक्स} {सी}_{एक्स} = 0 \forall रों > 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$

c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n}

$c_0, c_1,\dots,c_n$

c_{0} = c_{1} = \dots = c_{n} = 0

$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$

0 = c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$

।

i = 0, 1, \dots, n

$i=0, 1,\dots,n$

$f_X(i)=f_Y(i)$ $i=0,1,\dots,n$

$X$ $Y$ $X$ $Y$

— Argha
स्रोत

मुख्य रूप से मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन विशिष्ट रूप से वितरण को निर्धारित करता है।

— 18

जिस प्रमेय की आप चर्चा कर रहे हैं, वह प्रायिकता / मापन सिद्धांत का एक मूल परिणाम है। साक्ष्य संभावना या सांख्यिकीय सिद्धांत पर पुस्तकों में अधिक पाए जाएंगे। मुझे हॉएल पोर्ट और स्टोन पीपी 205-208 में दिए गए विशेषता कार्यों के अनुरूप परिणाम मिला

टकर पीपी 51-53

और चुंग पीपी 151-155 यह तीसरा संस्करण है। मेरे पास दूसरा संस्करण है और 1974 में प्रकाशित दूसरे संस्करण में पृष्ठ संख्याओं की बात कर रहा हूं।

एमजीएफ के लिए प्रमाण मुझे खोजने में अधिक कठिन लगे लेकिन आप इसे बिलिंग की पुस्तक "प्रोबेबिलिटी एंड मीज" पीपी 342-345 में पा सकते हैं। पृष्ठ 342 पर प्रमेय 30.1 प्रमेय प्रदान करता है जो पल की समस्या का उत्तर देता है। पेज 345 पर बिलिंग्सले ने कहा कि यदि संभाव्यता के माप में 0 के आसपास के अंतराल पर परिभाषित फंक्शन M (s) उत्पन्न होता है तो प्रमेय 30.1 के लिए परिकल्पना संतुष्ट होती है और इसलिए यह माप उसके क्षणों से निर्धारित होता है। लेकिन इन क्षणों का निर्धारण M (s) द्वारा किया जाता है। इसलिए यह माप उसके पल उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित किया जाता है यदि M (s) 0. के पड़ोस में मौजूद है, तो इस तर्क के साथ वह Theorem30.1 के लिए जो प्रमाण देता है, वह परिणाम सिद्ध करता है। बिलिंग्सले ने यह भी टिप्पणी की कि 26 व्यायाम करने का उपाय।

— माइकल आर। चेरिक
स्रोत

चुंग में यह कहाँ है? क्या आप संयोग से पेज 161-165 मतलब है? फिर भी, ओपी द्वारा अनुरोध किए जाने पर, यह विशेष रूप से कार्य करता है , पल-पल के कार्य नहीं करता है ।

— कार्डिनल

@कार्डिनल हाँ मुझे पता है। मैंने विशेषता कार्यों के लिए परिणाम का उल्लेख किया है क्योंकि यही वह है जो मैंने इस प्रकार पाया है। जैसा कि मैंने कहा कि चुंग में पेज नंबर दूसरे संस्करण पर आधारित हैं जो मेरे पास हैं। मुझे नहीं पता कि यह तीसरे संस्करण में कहां दिखाई देता है। मुझे लगता है कि कुछ ऐसे स्रोत होने चाहिए, जिनके लिए mgfs का परिणाम होगा।

— माइकल आर। चेरिक

मैंने उत्थान किया, क्योंकि मैं आपके उत्तर की सराहना करता हूं इसलिए समय निकालने के लिए धन्यवाद।

— क्रिस सिमोकैट

$X$ $M_X(t)=Ee^{tX}$

$\delta>0$ $M_X(t) = M_Y(t) < \infty$ $t \in (-\delta,\delta)$ $F_X(t) = F_Y(t)$ $t \in \mathbb{R}$

यह साबित करने के लिए कि पल उत्पन्न करने वाला कार्य वितरण को निर्धारित करता है, कम से कम दो दृष्टिकोण हैं:

$M_X$ $(-\delta,\delta)$ $X$ $F_X$ $(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$ $M_X$
$M_X$ $(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ $M_X(z)=Ee^{zX}$ $M_X(it)=\varphi_X(t)$ $t\in\mathbb{R}$ $\varphi_X$ $F_X$ । इस दृष्टिकोण के लिए, कर्टिस, जेएच एन देखें। गणित। सांख्यिकी 13: 430-433 और उसमें संदर्भ।

स्नातक स्तर पर, लगभग हर पाठ्यपुस्तक पल उत्पन्न करने वाले कार्य के साथ काम करती है और उपरोक्त प्रमेय को साबित किए बिना बताती है। यह समझ में आता है, क्योंकि प्रमाण के लिए स्नातक स्तर की अनुमति की तुलना में कहीं अधिक उन्नत गणित की आवश्यकता होती है।

इस बिंदु पर जब छात्रों के पास प्रमाण में आवश्यक सभी उपकरण होते हैं, तो उनके पास विशेषता फ़ंक्शन के साथ काम करने की परिपक्वता भी होती है $\varphi_X(t)=Ee^{itX}$ बजाय। लगभग हर स्नातक पाठ्यपुस्तक इस पथ को लेती है, वे साबित करते हैं कि विशेषता फ़ंक्शन वितरण को निर्धारित करता है और मूल रूप से पल उत्पन्न कार्यों को पूरी तरह से अनदेखा करता है।

— user334639
स्रोत

आज, mgfs को नजरअंदाज नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि थ्री बहुत अधिक संख्यात्मक रूप से विशेषता कार्य की तुलना में हैं

— kjetil b halvorsen

वास्तव में! और फिर भी मैंने कभी भी एक पाठ्यपुस्तक नहीं देखी है जो संख्यात्मक विधियों पर जोर देती है लेकिन अद्वितीयता गणित को प्रमाण देने के लिए पर्याप्त गणित है।

— user334639