की सीमांत घनत्व ढूँढना

Question

जैसा कि शीर्षक कहता है, मैं की सीमांत घनत्व की तलाश में हूं

$$f (x,y) = c \sqrt{1 - x^2 - y^2}, x^2 + y^2 \leq 1.$$

अब तक मैंने को । मुझे पता चला कि ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तित करने और पर एकीकृत करने के माध्यम से , यही वजह है कि मैं सीमांत घनत्व वाले हिस्से पर फंस गया हूं। मुझे पता है कि , लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि कैसे इसे हल करने के लिए एक बड़ी गन्दी अभिन्नता प्राप्त किए बिना, और मुझे पता है कि जवाब नहीं है ' टी एक बड़ा गड़बड़ अभिन्न माना जाता है। क्या इसके बजाय ढूंढना संभव है , और फिर खोजने के लिए$c$$\frac{3}{2 \pi}$$f(x,y)$$drd\theta$$f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$$F(x,y)$$\frac{dF}{dx}$$f_x(x)$? यह करने के लिए सहज तरीके की तरह लगता है, लेकिन मैं अपनी पाठ्यपुस्तक में कुछ भी नहीं ढूंढ सकता हूं जो उन रिश्तों को बताता है, इसलिए मैं गलत धारणाएं नहीं बनाना चाहता था।

Comments

@kwak मुझे यकीन नहीं है कि शीर्षक बदलना क्यों आवश्यक था ... "होमवर्क" टैग पर्याप्त होना चाहिए।

— शेन

@ शने:> ओके वापस मूल में बदल गया।

— 15:60 बजे user603

Answer 1

ज्यामिति यहाँ मदद करती है। का ग्राफ$f$इकाई त्रिज्या का एक गोलाकार गुंबद है। (यह तुरंत इस प्रकार है कि इसकी मात्रा एक इकाई के आधे हिस्से में है,$(4 \pi /3)/2$, जहां $c=3/(2 \pi)$।) सीमांत घनत्व इस क्षेत्र के माध्यम से ऊर्ध्वाधर क्रॉस-सेक्शन के क्षेत्रों द्वारा दिए गए हैं। स्पष्ट रूप से प्रत्येक क्रॉस-सेक्शन एक अर्धवृत्त है: सीमांत घनत्व प्राप्त करने के लिए, इसकी त्रिज्या को शेष चर के एक फ़ंक्शन के रूप में ढूंढें और एक सर्कल के क्षेत्र के लिए सूत्र का उपयोग करें। इकाई क्षेत्र होने के परिणामस्वरूप परिणामी फ़ंक्शन को सामान्य करने से यह घनत्व में बदल जाता है।

Comments

आह, यह मेरे लिए बहुभिन्नरूपी पथरी से वापस आने जैसा है। मुझे याद है कि इस तरह की समस्याएँ हैं। मैं शेष चर के एक समारोह के रूप में त्रिज्या को कैसे खोजूं? यह अभी भी लगता है कि मैं राक्षस अभिन्न के कुछ प्रकार छोड़ दिया जा रहा हूँ।

— जारोद

शेष चर को होने दो $y$। फिर$x^2 \le 1-y^2$उस क्षेत्र का वर्णन करता है जिस पर आपको एकीकृत करना है। जाहिर है कि त्रिज्या बराबर होती है$\sqrt{1 - y^2}$, जहां पार के अनुभागीय क्षेत्र बराबर है $\pi (1 - y^2)/2.$ यह एक बहुत ही सरल सूत्र है :-)। (याद रखें, यहाँ विषय ज्यामिति, नहीं पथरी ... है)

— whuber

अरे हाँ। इसने मेरे दिमाग को पार कर दिया, लेकिन यह बहुत आसान लग रहा था। मुझे लगता है कि मैं इसके लिए जटिल था। धन्यवाद!

— जारोड

मैं पूछना भूल गया: इस में ग कैसे लगता है?

— जारोद

मेरी राय में, व्ह्यूबर का उत्तर दो कारणों से उत्थान के योग्य है। पहला यह पूछे गए प्रश्न का उत्तर देता है, दूसरा यह कि हम भविष्य के हैंडल (स्पष्ट रूप से बताए गए) होमवर्क प्रश्नों में कैसे हो सकते हैं के लिए एक मॉडल के रूप में: इस प्रकार के उत्तर वास्तव में सीखने की प्रक्रिया में योगदान देते हैं और अपनाए गए होमवर्क प्रश्न के संबंध में एक बेहतर नीति हो सकती है। एमओ / एसओ पर।

— user603