दो आरवी के अंतर की वर्दी पीडीएफ

क्या आयत की तरह दो आईआईडी आरवी के अंतर के पीडीएफ का होना संभव है (इसके बजाय, कहते हैं, त्रिकोण हमें मिलता है अगर आरवी समान वितरण से लिया जाता है)।

अर्थात क्या यह संभव है कि पीडीएफ f के लिए jk (दो आईआईडी आरवी के लिए कुछ वितरण से लिया गया है) के लिए एफ (एक्स) = 0.5 सभी -1 <x <1 है?

वितरण में कोई प्रतिबंध नहीं है कि हम जम्मू और कश्मीर को छोड़कर, इसके अलावा न्यूनतम -1 और अधिकतम 1 है।

कुछ प्रयोग के बाद, मैं सोच रहा हूं कि यह असंभव हो सकता है।

random-variable pdf iid

— नाथन
स्रोत

दो समान वितरणों का अंतर एक त्रिकोणीय वितरण है, इसलिए यदि आप पूछते हैं कि क्या आईआईडी वर्दी के अंतर का एक समान होना संभव है, तो इसका जवाब नहीं है।

— टिम

वही Q ने यहाँ पूछा: math.stackexchange.com/questions/2048939/… अब तक बिना उत्तर दिए!

— kjetil b halvorsen

वास्तव में बाहर की वास्तविकताओं से बचना मुश्किल होगा

[- 1, 1]

$[-1,1]$ कब दोनों

j

$j$ तथा

k

$k$ इन समापन बिंदुओं के पास प्रायिकता द्रव्यमान है।

— क्रिस्टोफ़ हैनक

यह संभव नहीं है। मेरे स्मरण के लिए यह (थोड़ा अलग रूप में) पहले से ही साइट पर कहीं उत्तर है। मैं देखूंगा कि क्या मैं इसका पता लगा सकता हूं

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b आप आँकड़े याद कर रहे होंगे ।stackexchange.com/questions/125360/… । यह काफी डुप्लिकेट नहीं है , हालांकि, क्योंकि एक अंतर है

X - Y

$X-Y$ iid वेरिएबल्स के रूप में, हालांकि एक योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

X + (- Y),

$X+(-Y),$ गैर-समान वितरण वाले चर का योग हो सकता है। मेरा मानना है कि मेरे समाधान का एक तुच्छ संशोधन इस अंतर को संबोधित करेगा; सिल्वरफ़िश का घोल ऐसा लगता है कि यह लगभग बिना किसी संशोधन के सीधे लागू होता है, लेकिन इसे देखने के लिए पहले बहुत सारी बाहरी सामग्री को हटाना होगा।

— whuber

जवाबों:

प्रमेय: कोई वितरण नहीं है $\text{Dist}$ जिसके लिए $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ कब $A, B \sim \text{IID Dist}$ ।

प्रमाण: दो यादृच्छिक चर पर विचार करें $A, B \sim \text{IID Dist}$ आम विशेषता समारोह के साथ $\varphi$ । इनके अंतर को नकारते हुए $D=A-B$ । अंतर की विशेषता कार्य है:

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = E (\exp (i t (A - B))) \\ = E (\exp (i t A)) E (\exp (- i t B)) \\ = φ (t) φ (- t) \\ = φ (t) \bar{φ (t)} \\ = | φ (t) |^{2} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

(इस कार्य की चौथी पंक्ति इस तथ्य से अनुसरण करती है कि विशेषता फ़ंक्शन हर्मिटियन है ।) अब, ले रहा है $D \sim \text{U}(-1,1)$ के लिए एक विशिष्ट रूप देता है $\varphi_D$ , जो है:

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = \int_{R} \exp (i t r) f_{D} (r) d r \\ = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \exp (i t r) d r \\ = \frac{1}{2} [\frac{\exp (i t r)}{i t}]_{r = - 1}^{r = 1} \\ = \frac{1}{2} \frac{\exp (i t) - \exp (- i t)}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (- t) + i \sin (- t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (t) - i \sin (t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{2 i \sin (t)}{i t} \\ = \frac{\sin (t)}{t} = sinc (t) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

जहां बाद वाला (अप्राकृतिक) सिनस फ़ंक्शन है । इसलिए, आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए $\text{Dist}$ , हम एक विशेषता समारोह की आवश्यकता है $\varphi$ द्वारा दिए गए वर्ग-मान के साथ:

| φ (t) |^{2} = φ_{D} (t) = sinc (t) .

$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$

इस समीकरण का बायाँ-भाग एक चुकता मानदंड है और इसलिए गैर-ऋणात्मक है, जबकि दाहिना हाथ-पक्ष एक ऐसा कार्य है जो विभिन्न स्थानों में नकारात्मक है। इसलिए, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और इसलिए वितरण के लिए आवश्यकताओं को पूरा करने वाला कोई विशिष्ट कार्य नहीं है। ( गणित विषय पर संबंधित प्रश्न में इसे इंगित करने के लिए फैबियन को हैट-टिप ।) इसलिए, प्रमेय की आवश्यकताओं के साथ कोई वितरण नहीं है। $\blacksquare$

— बेन - बहाल मोनिका
स्रोत

यह एक इलेक्ट्रिकल इंजीनियर का मामला है, जो एक दृष्टिकोण के साथ dsp.SE के बजाय सांख्यिकी के लिए अधिक उपयुक्त है। लेकिन कोई बात नहीं।

मान लो कि $X$ तथा $Y$ कर रहे हैं निरंतर आम पीडीएफ के साथ यादृच्छिक परिवर्तनीय $f(x)$ । तो अगर $Z$ अर्थ है $X-Y$ , हमारे पास वह है

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) f (x + z) d x .

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$ कॉची-श्वार्ज असमानता हमें बताती है कि

f_{Z} (z)

$f_Z(z)$ में अधिकतम है

z = 0

$z=0$ । वास्तव में, जब से

f_{Z}

$f_Z$ वास्तव में "ऑटोक्रॉलेशन" का कार्य है

f

$f$ एक "सिग्नल" के रूप में माना जाता है, इसमें एक अद्वितीय अधिकतम होना चाहिए

z = 0

$z=0$ और इस तरह

Z

$Z$ इच्छानुसार वितरित नहीं किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, यदि

f_{Z}

$f_Z$ वास्तव में एक समान घनत्व थे (याद रखें कि यह एक ऑटोक्रॉलेशन फ़ंक्शन भी है), फिर "पावर स्पेक्ट्रल घनत्व"

f_{Z}

$f_Z$ (एक संकेत के रूप में माना जाता है) एक ईमानदारी से काम किया जाएगा, और इस तरह एक nonnegative फ़ंक्शन नहीं है क्योंकि सभी पावर वर्णक्रमीय घनत्व होना चाहिए। एर्गो, धारणा है कि

f_{Z}

$f_Z$ एक समान घनत्व एक विरोधाभास की ओर जाता है और इसलिए धारणा झूठी होनी चाहिए।

दावा है कि $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ का सामान्य वितरण होने पर स्पष्ट रूप से अमान्य है $X$ तथा $Y$ शामिल परमाणुओं तरह के एक मामले के वितरण में के बाद से $Z$ इसमें परमाणु भी होंगे। मुझे संदेह है कि प्रतिबंध है कि $X$ तथा $Y$ एक पीडीएफ हटाया जा सकता है और एक सामान्य रूप से जब मामले के लिए बनाया गया एक विशुद्ध रूप से माप-सिद्धांत प्रमाण है $X$ तथा $Y$ जरूरी नहीं कि एक पीडीएफ का आनंद लें (लेकिन उनका अंतर होता है)।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

इसका एक हिस्सा मुझे सही नहीं लगता। की विशेषता समारोह

U (- 1, 1)

$\text{U}(-1,1)$ वितरण है

sinc

$\text{sinc}$ फ़ंक्शन, इतना स्पष्ट रूप से कि फूरियर रूपांतरण की अनुमति है। आपका तर्क मुझे लगता है कि बहुत अधिक साबित करने के लिए नेतृत्व करता है - यह न केवल साबित करने के लिए प्रतीत होता है

Z

$Z$ एक समान नहीं हो सकता है, लेकिन समान वितरण बिल्कुल मौजूद नहीं हो सकता है। क्या मुझे गलत समझा गया है?

— बेन -

की विशेषता कार्य करता है या नहीं

U [- 1, 1]

$\mathcal U[-1,1]$ अस्तित्व मुद्दा नहीं है; यह मौजूद है। की पीडीएफ

Z

$Z$ एक ऑटोक्रेलेशन फ़ंक्शन है। खैर, किसी भी ऑटोकरेलेशन फ़ंक्शन के पावर वर्णक्रमीय घनत्व को एक गैर-सक्रिय फ़ंक्शन होना चाहिए। तो, धारणा है कि

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ एक पावर वर्णक्रमीय घनत्व की ओर जाता है जो एक सिनस फ़ंक्शन है (जो कि सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान लेता है)। चूंकि यह एक वैध शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व नहीं है (याद रखें कि

f_{Z}

$f_Z$ एक स्वत :संबंध समारोह भी है), धारणा है कि

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ झूठा होना चाहिए।

— दिलीप सरवटे