Iid गामा वेराइटी की सीमा सीमित करना

स्वतंत्र रूप से और समान रूप से जाने यादृच्छिक चर के साथ यादृच्छिक रूप से वितरित होने का एक क्रम हो; उस $X_1,X_2,\ldots$

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} e^{- x} & if x > 0; \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$

मैंने क्या प्रयास किया

पहली नजर में मुझे लगा कि इसे चेबीशेव की असमानता का उपयोग करना चाहिए क्योंकि यह सवाल पूछ रहा है कि शो कम बाउंड $X_1+X_2+\ldots +X_n$ । हालाँकि, मैंने उस सीमा चिन्ह के बारे में सोचा था जो स्पष्ट रूप से संकेत दे रहा है कि समस्या किसी तरह केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT) से संबंधित हो सकती है।

आज्ञा देना $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

E (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} E (X_{i}) = 3 n (since E (X_{i}) = 3) V (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} V (X_{i}) = 3 n (since V (X_{i}) = 3 and X_{i} are i.i.d)

$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$

अब, CLT का उपयोग बड़े $n$ , $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$
या,

z = \frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \sim N (0, 1) as n \to \infty

$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$

अब,

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3}) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + P (z \geq 0) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + \frac{1}{2} \dots (1)

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$

चूँकि $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ , इस प्रकार $(1)$ ,

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$

क्या मैं सही हूँ?

probability self-study

CLT एक उचित दृष्टिकोण लगता है लेकिन " "कोई मतलब नहीं है ..

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n})

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] =P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n})$

— P.Windridge

मुझे लगता है कि यह

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3})

एक विकल्प के रूप में, विचार करें कि iid और इसलिए । मंझला एक गामा यादृच्छिक चर के बंद फार्म में नहीं जाना जाता है, लेकिन यह है जाना जाता है (cf. विकिपीडिया ) है कि बड़े के लिए , एक की औसत के बीच यादृच्छिक चर झूठ और । के बाद से , यह होना चाहिए कि के अधिकार के लिए संभावना बड़े पैमाने पर झूठ का कम से कम आधा पर ।

X_{i} \sim Γ (3, 1)

$X_i \sim\Gamma(3,1)$

X_{1} + X_{2} + \cdot + X_{n} \sim Γ (3 n, 1)

$X_1+X_2+\cdot+X_n \sim \Gamma(3n,1)$

n

$n$

Γ (3 n, 1)

$\Gamma(3n,1)$

3 n - \frac{1}{3}

$3n-\frac 13$

3 n

$3n$

3 (n - \sqrt{n}) < 3 n - \frac{1}{3}

$3(n-\sqrt{n}) < 3n-\frac 13$

3 (n - \sqrt{n})

$3(n-\sqrt{n})$

— दिलीप सरवटे

जवाबों:

आप सही थे कि चेबीशेव की असमानता काम करेगी। यह कुछ हद तक क्रूड लेकिन प्रभावी बाउंड प्रदान करता है जो इस तरह के कई अनुक्रमों पर लागू होता है, जिससे पता चलता है कि इस क्रम की महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि आंशिक रकमों का विचरण साथ सबसे अधिक रैखिक रूप से बढ़ता है । $n$

पर विचार करें, तो, असहसंबद्ध चर के किसी भी क्रम के अत्यंत सामान्य मामले साधनों के साथ और परिमित प्रसरण बता दें कि उनमें से पहले का योग है, $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2.$ $Y_n$ $n$

Y_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} .

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$

नतीजतन का मतलब है $Y_n$

m_{n} = \sum_{i = 1}^{n} μ_{n}

$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$

और इसका विचरण है

s_{n}^{2} = Var (Y_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) + 2 \sum_{j > i} Cov (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i}^{2} .

$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$

मान लीजिए कि , साथ सबसे अधिक रैखिक रूप से बढ़ता है : $s_n^2$ $n$ अर्थात, वहाँ एक संख्या जैसे कि सभी पर्याप्त रूप से बड़े मान लें कि (अभी तक निर्धारित नहीं किया गया है), उसे देखें $\lambda\gt 0$ $n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$ $k\gt 0$

m - k \sqrt{n} \leq m - \frac{k}{λ} s_{n},

$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$

और प्राप्त करने के लिए को चेबिशेव की असमानता लागू करें $Y_n$

\begin{aligned} Pr (Y_{n} \geq m_{n} - k \sqrt{n}) & \geq Pr (Y_{n} \geq m_{n} - \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq Pr (| Y_{n} - m_{n} | \leq \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq 1 - \frac{λ^{2}}{k^{2}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$

पहले दो असमानताएं बुनियादी हैं: वे अनुसरण करते हैं क्योंकि प्रत्येक क्रमिक घटना पूर्ववर्ती एक का सबसेट है।

मामले में, जहां स्वतंत्र हैं (और इसलिए असंबंधित हैं) का अर्थ है और variances हमारे पास और $X_i$ $\mu_i=3$ $\sigma_i^2=3,$ $m_n=3n$

s_{n} = \sqrt{3} \sqrt{n},

$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$

जहां हम को रूप में छोटा कर सकते हैं प्रश्न में घटना मेल खाती है जहां $\lambda$ $\sqrt{3}.$ $3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$ $k=3,$

Pr (Y_{n} \geq 3 n - 3 \sqrt{n}) \geq 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} = \frac{2}{3} > \frac{1}{2},

$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$

QED।

— व्हीबर
स्रोत

व्हॉबर के उत्कृष्ट उत्तर के विकल्प के रूप में, मैं प्रश्न में संभावना की सटीक सीमा प्राप्त करने का प्रयास करूंगा। गामा वितरण के गुणों में से एक यह है कि समान दर / स्केल पैरामीटर के साथ स्वतंत्र गामा यादृच्छिक चर के योग भी गामा यादृच्छिक चर हैं जो उन चर के आकार के योग के बराबर हैं। (यह आसानी से वितरण के कार्यों का उपयोग करके साबित किया जा सकता है।) वर्तमान मामले में हमारे पास , इसलिए हम राशि प्राप्त करते हैं: $X_1,...X_n \sim \text{IID Gamma}(3,1)$

S_{n} \equiv X_{1} + \dots + X_{n} \sim Gamma (3 n, 1) .

$S_n \equiv X_1 + \cdots + X_n \sim \text{Gamma}(3n, 1).$

इसलिए हम गामा वितरण की सीडीएफ का उपयोग करके ब्याज की सटीक संभावना लिख सकते हैं। Let आकार पैरामीटर को निरूपित करते हैं और ब्याज के तर्क को दर्शाते हैं, हमारे पास है: $a = 3n$ $x = 3(n-\sqrt{n})$

\begin{aligned} H (n) & \equiv P (S_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})) \\ = \frac{Γ (a, x)}{Γ (a)} \\ = \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} \cdot \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &\equiv \mathbb{P}(S_n \geq 3(n-\sqrt{n})) \\[12pt] &= \frac{\Gamma(a, x)}{\Gamma(a)} \\[6pt] &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

इस प्रायिकता की सीमा को खोजने के लिए, हम पहले ध्यान दें कि हम दूसरे पैरामीटर को में रूप में लिख सकते हैं । Temme (1975) (Eqn 1.4, पी। 1109) में दिखाए गए परिणाम का उपयोग करके हमारे पास असममित समता है: $x = a + \sqrt{2a} \cdot y$ $y = -\sqrt{3/2}$

\begin{aligned} \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} & \sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (- y) + \sqrt{\frac{2}{9 a π}} (1 + y^{2}) \exp (- y^{2}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} &\sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf}(-y) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} (1+y^2) \exp( - y^2). \end{aligned}$

स्टर्लिंग के सन्निकटन, और घातीय संख्या की सीमित परिभाषा का उपयोग करके, यह भी दिखाया जा सकता है कि:

\begin{aligned} \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} & \sim \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (a - 1)^{a - 1 / 2}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (a - 1)^{a - 1 / 2} + x^{a} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (1 - \frac{1}{a})^{a - 1 / 2}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (1 - \frac{1}{a})^{a - 1 / 2} + \sqrt{x} \cdot (\frac{x}{a})^{a - 1 / 2} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot e^{- 1}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot e^{- 1} + \sqrt{x} \cdot e^{x - a} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a}{\sqrt{2 π} \cdot a + \sqrt{x}} \\ \sim \frac{\sqrt{2 π a}}{\sqrt{2 π a} + 1} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} &\sim \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2} + x^a \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2} + \sqrt{x} \cdot (\tfrac{x}{a})^{a-1/2} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1} + \sqrt{x} \cdot e^{x-a} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a}{\sqrt{2 \pi} \cdot a + \sqrt{x}} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1}. \\[6pt] \end{aligned}$

प्रासंगिक मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम इसलिए प्राप्त करते हैं:

\begin{aligned} H (n) & = \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} \cdot \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} \\ \sim \frac{\sqrt{2 π a}}{\sqrt{2 π a} + 1} \cdot [\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (\sqrt{\frac{3}{2}}) + \sqrt{\frac{2}{9 a π}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp (\frac{3}{2})] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1} \cdot \Bigg[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp \Big( \frac{3}{2} \Big) \Bigg]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

यह हमें सीमा देता है:

lim_{n \to \infty} H (n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (\sqrt{\frac{3}{2}}) = 0.9583677.

$\lim_{n \rightarrow \infty} H(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) = 0.9583677.$

यह हमें ब्याज की संभावना की सटीक सीमा देता है, जो एक-आधे से बड़ा है।

— बेन - बहाल मोनिका
स्रोत