Wishart मैट्रिक्स के लॉग-निर्धारक का अपेक्षित मूल्य

चलो , यानी एक के हिसाब से वितरित आयामी विशार्ट मतलब के साथ वितरण और स्वतंत्रता की डिग्री । मैं के लिए एक अभिव्यक्ति चाहते हैं जहां निर्धारक है। $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

मैंने इस के उत्तर के लिए थोड़ा सा गूगल किया है और कुछ परस्पर विरोधी जानकारी प्राप्त की है। इस पत्र को स्पष्ट रूप से कहा गया है कि जहांडिगामा फ़ंक्शन को निरूपित करता है

इ (लॉग | Λ |) = डी लॉग 2 + लॉग | Ψ | + Σ_{मैं = 1}^{डी} ψ (\frac{ν - मैं + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

; कागज इस तथ्य के लिए एक स्रोत नहीं देता है जहां तक मैं बता सकता हूं। यह भी पर इस्तेमाल किया सूत्र है

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$ Wishart के लिए विकिपीडिया पृष्ठ , जो बिशप के पैटर्न मान्यता पाठ को साइट करता है।

दूसरी ओर, Google ने इस चर्चा को एक लिंक किए गए पेपर के साथ बदल दिया जिसमें कहा गया है कि वे यह बताते हुए कि समाप्त

ν^{डी} \frac{| Λ |}{| Ψ |} ~ χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - डी + 1}^{2} । (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

जो कि

। मैं इस गणना से शुरू की जाँच

और यह ठीक लग रहा है, लेकिन हम एक अतिरिक्त है

।

इ (लॉग | Λ |) = डी लॉग 2 - डी लॉग ν + लॉग | Ψ | + Σ_{मैं = 1}^{डी} ψ (\frac{ν - मैं + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— पुरुष
स्रोत

जैसा कि मैं यह पोस्ट करने के लिए तैयार हो रहा था, मैं अपने प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम था। सामान्य StackExchange etiquette के अनुसार मैंने इसे वैसे भी आशाओं में पोस्ट करने का निर्णय लिया है, जो इस समस्या में चलने वाले किसी और व्यक्ति को भविष्य में मिल सकते हैं, संभवत: मेरे द्वारा किए गए स्रोतों के साथ उन्हीं मुद्दों पर चलने के बाद। मैंने तुरंत इसका जवाब देने का फैसला किया है ताकि कोई भी इस पर समय बर्बाद न करे क्योंकि समाधान दिलचस्प नहीं है।

$(\dagger)$

\frac{| Λ |}{| Ψ |} ~ χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - डी + 1}^{2} । († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$ इस सुधार के बाद, दो सूत्र एक ही जवाब देने के लिए ले जाते हैं।

$(\dagger\dagger)$ एक दिलचस्प रिश्ता है।

संपादित करें:

संभाव्य सलाह के बाद हम लिख सकते हैं $\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ जहां कम त्रिकोणीय $L$ है $N(0, 1)$ विकर्ण से तत्व और $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ विकर्ण पर तत्व। दोनों पक्षों का दृढ़ संकल्प लेना $(\dagger\dagger)$ हाथोंहाथ।

— पुरुष
स्रोत

मुझे चोल्स्की संस्करण बेहतर पसंद है - आपके पास तिरछे पर ची-वर्ग की जड़ है और निचले त्रिकोण पर सामान्य मानक है।

— प्रोबेबिलिसलॉजिक

@probabilityislogic टिप के लिए धन्यवाद! इसे इस तरह याद रखना आसान और अधिक उपयोगी लगता है।

— लड़का

अरे मैं लॉग विशरट (बिशप की पुस्तक में कहा गया है) की अपेक्षा को प्राप्त करने की कोशिश कर रहा हूं, जो जटिल लगता है, क्या आपको परिणाम प्राप्त करने के लिए कोई स्रोत मिला?

— एवोकैडो