द्विघात रूप की विषमता सामान्यता

Let से लिया गया एक यादृच्छिक वेक्टर है । एक नमूना पर विचार करें । परिभाषित , और । Let और । $\mathbf{x}$ $P$ $\{ \mathbf{x}_i \}_{i=1}^n \stackrel{i.i.d.}{\sim} P$ $\bar{\mathbf{x}}_n := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i$ $\hat{C} := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (\mathbf{x}_i - \bar{\mathbf{x}}_n) (\mathbf{x}_i - \bar{\mathbf{x}}_n)^\top$ $\boldsymbol{\mu} := \mathbb{E}_{\mathbf{x}\sim P}[\mathbf{x}]$ $C:=\mathrm{cov}_{\mathbf{x} \sim P}[\mathbf{x}, \mathbf{x}]$

केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा, मान लें कि

\sqrt{n} ({\bar{x}}_{n} - μ) \overset{d}{\to} N (0, C),

$\sqrt{n} \big( \bar{\mathbf{x}}_n - \boldsymbol{\mu} \big) \stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, C),$

जहां $C$ एक पूर्ण रैंक सहसंयोजक मैट्रिक्स है।

प्रश्न : मैं कैसे (या असत्य) साबित होता हूं

\sqrt{n} ({\bar{x}}_{n}^{⊤} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} {\bar{x}}_{n} - μ^{⊤} C^{- 1} μ) \overset{d}{\to} N (0, v^{2}),

$\sqrt{n} \big( \bar{\mathbf{x}}_n^\top (\hat{C} + \gamma_n I)^{-1} \bar{\mathbf{x}}_n - \boldsymbol{\mu}^\top C^{-1} \boldsymbol{\mu} \big) \stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(0, v^2),$

कुछ $v>0$ , और कुछ $\gamma_n \ge 0$ ऐसा $\lim_{n\to \infty} \gamma_n =0$ ? यह सरल दिखता है। लेकिन मैं यह पता नहीं लगा सका कि यह कैसे दिखाया जाए। यह होमवर्क का सवाल नहीं है।

मेरी समझ यह है कि डेल्टा विधि हमें आसानी से निष्कर्ष निकालने की अनुमति देगी

\sqrt{n} ({\bar{x}}_{n}^{⊤} C^{- 1} {\bar{x}}_{n} - μ^{⊤} C^{- 1} μ) \overset{d}{\to} N (0, v^{2}),

$\sqrt{n} \big( \bar{\mathbf{x}}_n^\top C^{-1} \bar{\mathbf{x}}_n - \boldsymbol{\mu}^\top C^{-1} \boldsymbol{\mu} \big) \stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(0, v^2),$

या

\sqrt{n} ({\bar{x}}_{n}^{⊤} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} {\bar{x}}_{n} - μ^{⊤} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} μ) \overset{d}{\to} N (0, v^{2}) .

$\sqrt{n} \big( \bar{\mathbf{x}}_n^\top (\hat{C} + \gamma_n I)^{-1} \bar{\mathbf{x}}_n - \boldsymbol{\mu}^\top (\hat{C} + \gamma_n I)^{-1} \boldsymbol{\mu} \big) \stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(0, v^2).$

ये जो चाहते हैं उससे थोड़ा अलग हैं। दो शब्दों में कोवरियस मैट्रिस को नोटिस करें। मुझे लगता है कि मुझे यहां बहुत तुच्छ याद आती है। वैकल्पिक रूप से, अगर यह चीजों को सरल बनाता है, तो हम को भी नजरअंदाज कर सकते हैं , अर्थात् सेट करें और मान लें कि उलटा है। धन्यवाद। $\gamma_n$ $\gamma_n =0$ $\hat{C}$

— Wij
स्रोत

हमें इस बारे में कुछ जानने की जरूरत है कि कैसे जाता है? क्या यह स्थिरांक का अनुक्रम है? मुझे लगता है कि आपको सबसे पहले जो मुझे लगता है कि स्लटस्की का परिणाम है। तब मैं को रूप में लिखूंगा । का एक सीमित वितरण है जिसे विधि से पाया जा सकता है । अंत में आप उस को दिखाने की कोशिश कर सकते हैं जो प्रायिकता में 0 पर जाता है। हालांकि मुझे यकीन नहीं है कि अगर वह रखती है ...

γ_{n}

$\gamma_n$

{\bar{x}}_{n}^{T} γ_{n} I {\bar{x}}_{n} \to_{p} 0

$\bar{x}_n^T \gamma_n I \bar{x}_n \rightarrow_p 0$

\hat{C}

$\hat{C}$

C + bias (\hat{C})

$C + \text{bias}(\hat{C})$

{\bar{x}}_{n}^{T} C {\bar{x}}_{n}

$\bar{x}_n^T C \bar{x}_n$

δ

$\delta$

{\bar{x}}_{n}^{T} bias (\hat{C}) {\bar{x}}_{n}

$\bar{x}_n^T \text{bias}(\hat{C}) \bar{x}_n$

— एडम 13

γ_{n}

$\gamma_n$ का एक क्रम है (यादृच्छिक नहीं)। अनुक्रम को कुछ भी सेट किया जा सकता है जो अभिसरण कार्य करता है (यदि ऐसा अनुक्रम मौजूद है)। मुझे लगता है कि सच है। मैंने इस बात का पालन नहीं किया कि हमें पहले इसकी आवश्यकता क्यों है। लेकिन मुझे इसके बारे में और बाकी के बारे में सोचना चाहिए। :)

{\bar{x}}_{n}^{⊤} I {\bar{x}}_{n} \overset{p}{\to} 0

$\bar{x}_n^\top I \bar{x}_n \stackrel{p}{\to} 0$

— wij

मैं उल्लेख करने में विफल रहा: आपकी हिचक सीधे -मेथोड को लागू करने और यह करने के लिए कि यह अच्छी तरह से वारंट है। मुझे लगता है कि आप इसे सावधानीपूर्वक लिख सकते हैं। इस प्रकार के प्रमाणों के लिए उपयोगी प्रमेय स्लटस्की, मान-वाल्ड कंटिन्यूअस मैपिंग प्रमेय, और क्रैमर-वल्ड प्रमेय हैं।

δ

$\delta$

— एडमो

मैं मानता हूं कि आपके द्वारा उल्लिखित परिणाम उपयोगी हो सकते हैं। मैं अभी भी नहीं देखता कि कैसे। वास्तव में मैं यह भी सोचना शुरू करता हूं कि एसिम्प्टोटिक वितरण एक सामान्य वितरण नहीं हो सकता है।

— 13:12 पर wij

ऐसा लगता है कि यह अधिक जटिल है कि ऐसा लगता है। यहां के arXiv पेपर का वर्णन है कि उच्च-आयामों में क्या होता है। मुझे एक निश्चित आयाम एनालॉग नहीं मिल रहा है, लेकिन उनके पास धारा 3 में एक परिमित-आयामी तर्क है

— ग्रीनपार्क

डेल्टा पद्धति का उपयोग करते समय कुछ कठिनाई होती है। इसे हाथ से प्राप्त करना अधिक सुविधाजनक है।

बड़ी संख्या में कानून के अनुसार, । इसलिए । स्लटस्की के प्रमेय को लागू करें, हमारे पास निरंतर मैपिंग प्रमेय के द्वारा, हमारे पास इसलिए स्लटस्की के प्रमेय के अनुसार, हमारे पास उपरोक्त दो समानता पैदावार को मिलाकर $\hat{C}\xrightarrow{P} C$ $\hat{C} +\gamma_n I\xrightarrow{P} C$

\sqrt{n} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1 / 2} (\bar{X} - μ) \overset{d}{\to} N (0, C^{- 1}) .

$\sqrt{n}(\hat{C} +\gamma_n I)^{-1/2}(\bar{X}-\mu)\xrightarrow{d}\mathcal{N} (0,C^{-1}).$

n (\bar{X} - μ)^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ) \overset{d}{\to} \sum_{i = 1}^{p} λ_{i}^{- 1} (C) χ_{1}^{2} .

${n}(\bar{X}-\mu)^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)\xrightarrow{d}\sum_{i=1}^p \lambda_i^{-1}(C)\chi^2_1.$

\sqrt{n} (\bar{X} - μ)^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ) \overset{P}{\to} 0.

$\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)\xrightarrow{P}0.$

\sqrt{n} μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ) \overset{d}{\to} N (0, μ^{T} C^{- 2} μ) .

$\sqrt{n}\mu^T(\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)\xrightarrow{d}\mathcal{N} (0,\mu^T C^{-2}\mu).$

\begin{aligned} \sqrt{n} ({\bar{X}}^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} \bar{X} - μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} μ) \\ = & \sqrt{n} ((\bar{X} - μ)^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ) - 2 μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ)) \\ = & - 2 \sqrt{n} μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} (\bar{X} - μ) + o_{P} (1) \\ \overset{d}{\to} & N (0, 4 μ^{T} C^{- 2} μ) . \end{aligned}

$\begin{align} &\sqrt{n}\big(\bar{X}^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}\bar{X}-\mu^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}\mu\big) \\ = &\sqrt{n}\Big((\bar{X}-\mu)^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)-2\mu^T(\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)\Big) \\ =&-2\sqrt{n}\mu^T(\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}(\bar{X}-\mu)+o_P(1) \\ \xrightarrow{d}&\mathcal{N} (0,4\mu^T C^{-2}\mu). \end{align}$ शेष कार्य दुर्भाग्य से, यह शब्द खुराक परिवर्तित नहीं होता है । व्यवहार जटिल हो जाता है और तीसरे और चौथे क्षणों पर निर्भर करता है।

\sqrt{n} (μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} μ - μ^{T} (C)^{- 1} μ) .

$\sqrt{n} \Big( \mu^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}\mu-\mu^T (C)^{-1}\mu \Big).$

0

$0$

सरल होने के लिए, नीचे हम मानते हैं कि सामान्य वितरित और । यह एक मानक परिणाम है कि जहां एक सममित यादृच्छिक मैट्रिक्स है जिसमें विकर्ण तत्व होते हैं और विकर्ण तत्व as । इस प्रकार, मैट्रिक्स taylor expantion , हमारे पास है $X_i$ $\gamma_n=o(n^{-1/2})$

\sqrt{n} (\hat{C} - C) \overset{d}{\to} C^{1 / 2} W C^{1 / 2},

$\sqrt{n}(\hat{C}-C)\xrightarrow{d}C^{1/2} W C^{1/2},$

W

$W$

N (0, 2)

$\mathcal{N}(0,2)$

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,1)$

\sqrt{n} (\hat{C} + γ_{n} I - C) \overset{d}{\to} C^{1 / 2} W C^{1 / 2},

$\sqrt{n}(\hat{C}+\gamma_n I-C)\xrightarrow{d}C^{1/2} W C^{1/2},$

(I + A)^{- 1} \sim I - A + A^{2}

$(I+A)^{-1}\sim I-A+A^2$

\begin{aligned} \sqrt{n} ((\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} - C^{- 1}) = \sqrt{n} C^{- 1 / 2} ((C^{- 1 / 2} (\hat{C} + γ_{n} I) C^{- 1 / 2})^{- 1} - I) C^{- 1 / 2} \\ = & \sqrt{n} C^{- 1} (\hat{C} + γ_{n} I - C) C^{- 1} + O_{P} (n^{- 1 / 2}) \overset{d}{\to} C^{- 1 / 2} W C^{- 1 / 2} . \end{aligned}

$\begin{align} &\sqrt{n}\Big((\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}- C^{-1}\Big)= \sqrt{n}C^{-1/2}\Big(\big(C^{-1/2}(\hat{C} +\gamma_n I)C^{-1/2}\big)^{-1}-I\Big)C^{-1/2}\\ =&\sqrt{n}C^{-1}\Big(\hat{C} +\gamma_n I-C\Big)C^{-1}+O_P(n^{-1/2}) \xrightarrow{d}C^{-1/2} W C^{-1/2}. \end{align}$ इस प्रकार,

\sqrt{n} (μ^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} μ - μ^{T} (C)^{- 1} μ) \overset{d}{\to} μ^{T} C^{- 1 / 2} W C^{- 1 / 2} μ \sim N (0, (μ^{T} C^{- 1} μ)^{2}) .

$\sqrt{n} \Big( \mu^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}\mu-\mu^T (C)^{-1}\mu \Big)\xrightarrow{d}\mu^T C^{-1/2} W C^{-1/2}\mu \sim N(0,(\mu^T C^{-1}\mu)^2).$

इस प्रकार,

\begin{aligned} \sqrt{n} ({\bar{X}}^{T} (\hat{C} + γ_{n} I)^{- 1} \bar{X} - μ^{T} C^{- 1} μ) \overset{d}{\to} N (0, 4 μ^{T} C^{- 2} μ + (μ^{T} C^{- 1} μ)^{2}) . \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{n}\big(\bar{X}^T (\hat{C} +\gamma_n I)^{-1}\bar{X}-\mu^T C^{-1}\mu\big) \xrightarrow{d}\mathcal{N} (0,4\mu^T C^{-2}\mu+(\mu^T C^{-1}\mu)^2). \end{align}$

— kfeng123
स्रोत

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। यह वास्तव में ऐसा शब्द है जो 0 में परिवर्तित नहीं होता है जो पूरी बात को कठिन बना देता है। दुर्भाग्य से मैं यह नहीं मान सकता कि आम तौर पर वितरित किया जाता है। लेकिन मैं अभी भी उत्तर की सराहना करता हूं। यदि आप टिप्पणी कर सकते हैं कि यह तीसरे और चौथे क्षणों पर निर्भर करता है (शायद संदर्भों के साथ), तो यह उपयोगी होगा। इसके अलावा, मैं इस समय नहीं समझा सकता हूँ। लेकिन मुझे लगता है कि यह से धीमा करना है । मुझे कारण के बारे में अधिक ध्यान से सोचना होगा।

X_{i}

$X_i$

g a m m a_{n}

$gamma_n$

o (n^{- 1 / 2})

$o(n^{-1/2})$

— wij

मैं यह जोड़ना भूल गया कि मेरे मामले में को एक कॉम्पैक्ट सेट में रहने के लिए माना जा सकता है (यदि आवश्यक हो)। यह पल की स्थिति के साथ मदद कर सकता है।

X_{i}

$X_i$

— 12