क्या स्नातक विद्यालय में न्यूनतम भिन्नता के सिद्धांत का निष्पक्ष मूल्यांकन किया गया है?

हाल ही में जब मैं एक समान वितरण के मापदंडों के लिए न्यूनतम विचरण निष्पक्ष अनुमानों के बारे में कफ जवाब देने से पूरी तरह से गलत था, तो मैं बहुत शर्मिंदा था। सौभाग्य से मुझे तुरंत कार्डिनल और हेनरी द्वारा ठीक किया गया था, जिसमें हेनरी ने ओपी के लिए सही उत्तर दिए थे ।

यह मुझे हालांकि सोच रहा था। मैंने लगभग 37 साल पहले स्टैनफोर्ड में अपनी स्नातक गणित की स्टेट क्लास में सर्वश्रेष्ठ निष्पक्ष अनुमानकर्ताओं के सिद्धांत को सीखा। मेरे पास राव-ब्लैकवेल प्रमेय, क्रैमर - राव लोअर बाउंड और लेहमैन-शेफ़े प्रमेय की यादें हैं। लेकिन एक लागू सांख्यिकीविद् के रूप में मैं अपने दैनिक जीवन में UMVUE के बारे में बहुत अधिक नहीं सोचता, जबकि अधिकतम संभावना का अनुमान बहुत अधिक है।

ऐसा क्यों है? क्या हम स्नातक विद्यालय में UMVUE सिद्धांत को बहुत अधिक महत्व देते हैं? मुझे ऐसा लगता है। सबसे पहले निष्पक्षता एक महत्वपूर्ण संपत्ति नहीं है। कई पूरी तरह से अच्छे MLE पक्षपाती हैं। स्टीन संकोचन अनुमानक पक्षपाती होते हैं लेकिन माध्य वर्ग त्रुटि हानि के मामले में निष्पक्ष MLE पर हावी होते हैं। यह एक बहुत ही सुंदर सिद्धांत (UMVUE आकलन) है, लेकिन बहुत अधूरा है और मुझे लगता है कि बहुत उपयोगी नहीं है। दूसरे क्या सोचते हैं?

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— माइकल चेरिक
स्रोत

(+1) मैं सहमत हूं कि यह मुख्य साइट के लिए एक अच्छा सवाल बना देगा और इसे उकेर देगा। यह कुछ हद तक व्यक्तिपरक है, इसलिए यह एक सीडब्ल्यू प्रश्न के रूप में सबसे अच्छा हो सकता है। (इसके अलावा, शर्मिंदा होने का कोई कारण नहीं है ।)

— कार्डिनल

मुझे नहीं लगता है कि, सामान्य तौर पर, इस तरह का अनुमान बहुत अधिक है। मुझे याद है कि मेरे प्रोफेसर उन उदाहरणों पर अधिक ध्यान केंद्रित करते थे जहां UMVUE "मूर्खतापूर्ण" हैं। लोग सुरक्षा के लिए लोकप्रिय सिद्धांतों से संबंधित बिंदु अनुमानकों का उपयोग करते हैं, लेकिन समीकरणों का आकलन करने का एक पूरा सिद्धांत है। कुछ प्रोफेसर UMVUE पर ध्यान केंद्रित करते हैं क्योंकि वे होमवर्क के लिए कठिन समस्याओं का एक अच्छा स्रोत हैं। मुझे लगता है कि आजकल यूएमवीयूई (जो हमेशा मौजूद नहीं है) को खोजने की तुलना में पूर्वाग्रह में कमी एक अधिक लोकप्रिय और उपयोगी सिद्धांत है।

हम UMVUE पर यहाँ बहुत सारे प्रश्न देखते हैं क्योंकि मुझे लगता है कि वे अच्छे होमवर्क की समस्याएँ हैं। शायद यह पीएचडी कार्यक्रमों की तुलना में स्नातक और परास्नातक स्तर के सांख्यिकी कार्यक्रमों के साथ एक समस्या है।

— माइकल आर। चेर्निक

खैर, UMVU का अनुमान एक क्लासिक विचार है, इसलिए शायद उस कारण से पढ़ाया जाना चाहिए? और निष्पक्षता जैसे मानदंडों पर चर्चा / आलोचना करने के लिए यह एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु है! सिर्फ इसलिए कि वे व्यवहार में इतना अधिक उपयोग नहीं किए जाते हैं, अपने आप में उन्हें नहीं सिखाने का कोई कारण नहीं है।

— kjetil b halvorsen

जोर समय और विभागों में भिन्न होने की संभावना है। मेरा विभाग प्रथम वर्ष के गणित स्टैट कोर्स में सामग्री प्रस्तुत करता है, लेकिन उसके बाद यह चला गया है, इसलिए मैं यथोचित रूप से यह नहीं कह सकता कि यह अधिक बेरोजगार है (यहां तक कि पीएचडी इंजेक्शन कोर्स में, यह आमतौर पर नहीं पढ़ाया जाता है, अधिक के पक्ष में बायेसियन और मिनिमेक्स अनुमानकों, स्वीकार्यता और बहुभिन्नरूपी आकलन) के साथ समय, भले ही मैं चाहता हूं कि इस बात पर अधिक जोर दिया गया कि पूर्वाग्रह एक उपयोगी चीज क्यों है और इसलिए निष्पक्ष अनुमान एक अनावश्यक चरम प्रतिमान है।

— आदमी

जवाबों:

हम जानते हैं कि

यदि से नमूने के तौर पर हो तो किसी के लिए UE है $X_1,X_2, \dots X_n$ $Poisson(\lambda)$ $\alpha \in (0,1),~T_\alpha =\alpha \bar X+(1-\alpha)S^2$ $\lambda$

इसलिए वहाँ के कई यूई मौजूद हैं । अब एक सवाल यह है कि हमें इनमें से किसे चुनना चाहिए? इसलिए हम UMVUE कहते हैं। निष्पक्षता एक अच्छी संपत्ति नहीं है, लेकिन UMVUE एक अच्छी संपत्ति है। लेकिन यह बहुत अच्छा नहीं है। $\lambda$

$X_1,X_2, \dots X_n$ $N(\mu, \sigma^2)$ $T_\alpha =\alpha S^2$ $(n-1)S^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$ $\sigma^2$ $\frac{n-1}{n+1}S^2=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$

ध्यान दें कि राव-ब्लैकवेल प्रमेय का कहना है कि UMVUE को खोजने के लिए हम केवल उन यूई पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं जो पर्याप्त आंकड़े के कार्य हैं जो कि UMVUE का अनुमान है जो सभी यूई के बीच न्यूनतम भिन्नता है जो पर्याप्त रूप से यथार्थवादी का कार्य करते हैं। इसलिए UMVUE आवश्यक रूप से पर्याप्त आंकड़े का कार्य है।

MLE और UMVUE दोनों एक दृष्टिकोण से अच्छे हैं। लेकिन हम यह कभी नहीं कह सकते कि उनमें से एक दूसरे से बेहतर है। आंकड़ों में हम अनिश्चित और यादृच्छिक डेटा से निपटते हैं। इसलिए हमेशा सुधार की गुंजाइश है। हमें MLE और UMVUE से बेहतर अनुमानक मिल सकता है।

मुझे लगता है कि हम स्नातक विद्यालय में बहुत अधिक UMVUE सिद्धांत को अधिक महत्व नहीं देते हैं। यह विशुद्ध रूप से मेरा व्यक्तिगत विचार है। मुझे लगता है कि स्नातक स्तर की पढ़ाई एक मंच है। तो, एक स्नातक छात्र को UMVUE और अन्य अनुमानकों के बारे में एक अच्छा आधार रखने की आवश्यकता होगी,

— अरघा
स्रोत

मुझे लगता है कि अनुमान का कोई भी मान्य सिद्धांत जानना अच्छा है। जबकि निष्पक्षता एक अच्छी संपत्ति हो सकती है, पूर्वाग्रह जरूरी नहीं कि बुरा हो। जब UMVUE पर जोर दिया जाता है तो इसमें "इष्टतमता" को विशेषता देने की प्रवृत्ति हो सकती है। लेकिन निष्पक्ष अनुमान लगाने वालों की श्रेणी में कोई बहुत अच्छा अनुमानक नहीं हो सकता है। सटीकता महत्वपूर्ण है और इसमें पूर्वाग्रह और विचरण दोनों शामिल हैं। एमएलई के बारे में जो बेहतर है वह यह है कि ऐसी स्थितियां हैं जिनके तहत इसे विषम रूप से कुशल दिखाया जा सकता है।

— माइकल आर। चेरिक

ध्यान दें कि राव-ब्लैकवेल प्रमेय का उपयोग किसी भी पक्षपाती अनुमानक को सुधारने के लिए भी किया जा सकता है, उसी पूर्वाग्रह के साथ एक बेहतर अनुमानक का उत्पादन कर सकता है।

— kjetil b halvorsen

शायद ब्रैड एफ्रॉन द्वारा पेपर "अधिकतम संभावना और निर्णय सिद्धांत" यह स्पष्ट करने में मदद कर सकता है। ब्रैड ने उल्लेख किया कि UMVUE के साथ एक मुख्य कठिनाई यह है कि यह गणना करने के लिए सामान्य रूप से कठिन है, और कई मामलों में मौजूद नहीं है।

— जाइंटाओ जिओ
स्रोत