ARIMA मॉडल के चक्रीय व्यवहार के लिए शर्तें

Question

मैं एक ऐसी सीरीज़ को मॉडल और पूर्वानुमानित करने की कोशिश कर रहा हूं जो मौसमी के बजाय चक्रीय है (यानी मौसमी की तरह के पैटर्न हैं, लेकिन एक निश्चित अवधि के साथ नहीं)। यह ARIMA मॉडल का उपयोग करने के लिए संभव होना चाहिए, जैसा कि पूर्वानुमान की धारा 8.5 में उल्लिखित है : सिद्धांत और अभ्यास :

यदि डेटा चक्र दिखाते हैं तो का मान महत्वपूर्ण है। चक्रीय पूर्वानुमान प्राप्त करने के लिए, मापदंडों पर कुछ अतिरिक्त शर्तों के साथ होना आवश्यक है । एआर (2) मॉडल के लिए, चक्रीय व्यवहार तब होता है यदि ।$p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

सामान्य ARIMA (p, d, q) मामले में पैरामीटर पर ये अतिरिक्त शर्तें क्या हैं ? मैं उन्हें कहीं भी खोजने में सक्षम नहीं हूं।

Comments

क्या आपने बहुपद की जटिल जड़ों पर ध्यान दिया है $\phi(B)$बिल्कुल भी? ऐसा लगता है कि यह उद्धरण क्या हो सकता है।

— जेसन

Answer 1

कुछ चित्रमय अंतर्ज्ञान

में ए आर मॉडल , चक्रीय व्यवहार विशेषता बहुपद के लिए जटिल संयुग्म जड़ों से आते हैं। पहले अंतर्ज्ञान देने के लिए, मैंने दो उदाहरण एआर (2) मॉडल के नीचे आवेग प्रतिक्रिया कार्यों को प्लॉट किया है।

1. जटिल जड़ों के साथ एक सतत प्रक्रिया।
2. वास्तविक जड़ों के साथ एक सतत प्रक्रिया।

के लिये $j=1\,\ldots, p$, विशेषता बहुपद की जड़ें हैं $\frac{1}{\lambda_j}$ कहाँ पे $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$ के eigenvalues ​​हैं $A$मैट्रिक्स मैं नीचे परिभाषित करता हूं। एक जटिल संयुग्म eigenvalues ​​के साथ$\lambda = r e^{i \omega t}$ तथा $\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$, को $r$ भिगोना (जहां) को नियंत्रित करता है $r \in [0, 1)$) तथा $\omega$ कोसाइन तरंग की आवृत्ति को नियंत्रित करता है।

विस्तृत एआर (2) उदाहरण

मान लें कि हमारे पास AR (2) है:

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

आप किसी भी AR (p) को VAR (1) के रूप में लिख सकते हैं । इस मामले में, VAR (1) प्रतिनिधित्व है:

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ आव्यूह $A$ की गतिशीलता को नियंत्रित करता है $X_t$ और इसलिए $y_t$। मैट्रिक्स की विशेषता समीकरण$A$ है: $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ के स्वदेशी $A$ इस प्रकार हैं: $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ The eigenvectors of $A$ are: $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Note that $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$. Forming the eigenvalue decomposition and raising $A$ to the $k$th power.

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

A real eigenvalue $\lambda$ leads to decay as you raise $\lambda^k$. Eigenvalues with non-zero imaginary components leads to cyclic behavior.

Eigenvalues with imaginary component case: $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

In the AR(2) context, we have complex eigenvalues if $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$. Since $A$ is real, they must come in pairs that are complex conjugates of each other.

Following Chapter 2 of Prado and West (2010), let

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

You can show the forecast $\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$ is given by:

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

Speaking loosely, adding the complex conjugates cancels out their imaginary component leaving you with a single damped cosine wave in the space of real numbers. (Note we must have $0 \leq r < 1$ for stationarity.)

If you want to find $r$, $\omega$, $a_t$, $\theta_t$, start by using Euler's formula that $re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$, we can write:

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

Appendix

Note Confusing terminology warning! Relating the characteristic polynomial of A to characteristic polynomial of AR(p)

Another time-series trick is to use the lag operator to write the AR(p) as:

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

Replace lag operator $L$ with some variable $z$ and people often refer to $1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$ as the characteristic polynomial of the AR(p) model. As this answer discusses, this is exactly the characteristic polynomial of $A$ where $z = \frac{1}{\lambda}$. The roots $z$ are the reciprocals of the eigenvalues. (Note: for the model to be stationary you want $|\lambda| < 1$, that is inside the unit cirlce, or equivalently $|z|>1$, that is outside the unit circle.)

References

Prado, Raquel and Mike West, Time Series: Modeling, Computation, and Inference, 2010

Comments

I am surprised I am the only up vote at the moment. Good answer!

— Taylor

@Taylor It's an old, inactive question. :)

— Matthew Gunn