विश्लेषण इस संभावना से जटिल है कि गेम कम से कम दो अंकों के अंतर से जीतने के लिए "ओवरटाइम" में चला जाता है। (अन्यथा यह https://stats.stackexchange.com/a/327015/919 पर दिखाए गए समाधान जितना आसान होगा ।) मैं दिखाऊंगा कि समस्या की कल्पना कैसे करें और इसका उपयोग करके इसे आसानी से कम्प्यूटेड योगदान में तोड़ दें। उत्तर। परिणाम, हालांकि थोड़ा गड़बड़ है, प्रबंधनीय है। एक अनुकरण इसकी शुद्धता को दर्शाता है।
एक बिंदु जीतने की आपकी संभावना होने दें । p मान लें कि सभी बिंदु स्वतंत्र हैं। मौका है कि आप एक खेल को जीतने के कितने अंक अपने प्रतिद्वंद्वी अंत में है यह सोचते हैं आप अतिरिक्त समय (में मत जाओ के अनुसार (nonoverlapping) की घटनाओं में टूट किया जा सकता है ) या आप अतिरिक्त समय में जाने । बाद के मामले में यह (या बन जाएगा) स्पष्ट है कि किसी समय स्कोर 20-20 था।0,1,…,19
एक अच्छा दृश्य है। खेल के दौरान स्कोर को अंक रूप में प्लॉट किया जाए जहां आपका स्कोर है और आपके प्रतिद्वंद्वी का स्कोर है। जैसे ही गेम सामने आता है, स्कोर शुरू होने वाले पहले क्वाड्रेंट में पूर्णांक जाली के साथ चलता है , जिससे गेम पथ बनता है । यह पहली बार समाप्त होता है जब आप में से किसी ने कम से कम स्कोर किया हो और उसमें कम से कम का मार्जिन हो । इस तरह के जीतने वाले बिंदुओं के दो सेट होते हैं, इस प्रक्रिया की "अवशोषित सीमा", खेल पथ को समाप्त करना चाहिए।x y ( 0 , 0 ) 21 2(x,y)xy(0,0)212
यह आंकड़ा अवशोषित सीमा का हिस्सा दिखाता है (यह असीम रूप से और दाईं ओर फैली हुई है) साथ ही एक गेम का रास्ता भी है जो ओवरटाइम में चला गया (आपके लिए नुकसान के साथ, अफसोस)।
गिनती करते हैं। अपने प्रतिद्वंद्वी के लिए अंकों के साथ खेल के समाप्त होने के तरीकों की संख्या प्रारंभिक स्कोर पर शुरू होने वाले अंकों के पूर्णांक में अलग-अलग रास्तों की संख्या है और अंत में स्कोर स्कोर । इस तरह के रास्ते आपके द्वारा जीते गए खेल में अंकों में से द्वारा निर्धारित किए जाते हैं । इसलिए वे संख्या के आकार के सबसेट के अनुरूप हैं , और उनमें से हैं। ऐसे प्रत्येक रास्ते में जब से तुम जीता अंक (स्वतंत्र संभावनाओं के साथ हर बार, अंतिम बिंदु बढ़ रहा है) और अपने प्रतिद्वंद्वी को जीत लिया( x , y ) ( 0 , 0 ) ( 20 , y ) 20 + y 20 1 , 2 , … , 20 + yy(x,y)(0,0)(20,y)20+y201,2,…,20+y(20+y20)21py अंक (स्वतंत्र संभावनाओं के साथ हर बार), कुल अवसर के लिए खाते से जुड़े पथ1−py
f(y)=(20+y20)p21(1−p)y.
इसी तरह, 20-20 की संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर आने के तरीके हैं । इस स्थिति में आपके पास निश्चित जीत नहीं है। हम एक आम सम्मेलन को अपनाकर आपकी जीत की संभावना की गणना कर सकते हैं: यह भूल जाएं कि अब तक कितने अंक मिले हैं और बिंदु अंतर को ट्रैक करना शुरू करें। खेल अंतर पर है और यह तब समाप्त होगा जब यह पहली बार या तक पहुंचता है , आवश्यक रूप से रास्ते से गुजरता है । मान लें कि जब आप अंतर आपको जीतने का मौका देता है ।(20+2020)(20,20)0+2−2±1g(i)i∈{−1,0,1}
चूंकि किसी भी स्थिति में जीतने का आपका मौका , हमारे पास हैp
g(0)g(1)g(−1)=pg(1)+(1−p)g(−1),=p+(1−p)g(0),=pg(0).
वेक्टर के लिए रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली का अनूठा समाधान का तात्पर्य है(g(−1),g(0),g(1))
g(0)=p21−2p+2p2.
इसलिए, यह एक बार जीतने का मौका है (जो कि ) के साथ होता है।(20,20)(20+2020)p20(1−p)20
नतीजतन आपके जीतने की संभावना इन सभी असम्पीडित संभावनाओं का योग है, बराबर
==∑y=019f(y)+g(0)p20(1−p)20(20+2020)∑y=019(20+y20)p21(1−p)y+p21−2p+2p2p20(1−p)20(20+2020)p211−2p+2p2(∑y=019(20+y20)(1−2p+2p2)(1−p)y+(20+2020)p(1−p)20).
दाईं ओर कोष्ठक के अंदर का सामान में एक बहुपद है । (ऐसा लगता है कि इसकी डिग्री , लेकिन प्रमुख शब्द सभी रद्द करते हैं: इसकी डिग्री ।)21 20p2120
जब , एक जीत की संभावना करीब है0.855913992p=0.580.855913992.
आपको इस विश्लेषण को उन खेलों के लिए सामान्य बनाने में कोई परेशानी नहीं होनी चाहिए जो किसी भी संख्या के अंकों के साथ समाप्त होते हैं। जब आवश्यक मार्जिन से अधिक होता है , तो परिणाम अधिक जटिल हो जाता है लेकिन उतना ही सीधा होता है।2
संयोग से , जीतने के इन अवसरों के साथ, आपके पास पहले गेम जीतने का एक मौका था । आप जो रिपोर्ट करते हैं, वह असंगत नहीं है, जो हमें प्रोत्साहित कर सकता है कि हम प्रत्येक बिंदु के परिणामों को जारी रखने के लिए स्वतंत्र रहें। हम इस तरह से प्रोजेक्ट करेंगे कि आपके पास एक मौका हो15(0.8559…)15≈9.7%15
(0.8559…)35≈0.432%
शेष सभी खेलों को जीतना , यह मानते हुए कि वे इन सभी मान्यताओं के अनुसार आगे बढ़ते हैं। जब तक अदायगी बड़ी न हो, यह एक अच्छी शर्त की तरह नहीं लगता है!35
मैं इस तरह के काम की जाँच करना चाहता हूं जैसे एक त्वरित सिमुलेशन। यहाँ Rएक सेकंड में दसियों हजार गेम बनाने के लिए कोड है। यह मानता है कि गेम 126 अंकों के भीतर खत्म हो जाएगा (बहुत कम गेम को लंबे समय तक जारी रखने की आवश्यकता है, इसलिए इस धारणा का परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है)।
n <- 21 # Points your opponent needs to win
m <- 21 # Points you need to win
margin <- 2 # Minimum winning margin
p <- .58 # Your chance of winning a point
n.sim <- 1e4 # Iterations in the simulation
sim <- replicate(n.sim, {
x <- sample(1:0, 3*(m+n), prob=c(p, 1-p), replace=TRUE)
points.1 <- cumsum(x)
points.0 <- cumsum(1-x)
win.1 <- points.1 >= m & points.0 <= points.1-margin
win.0 <- points.0 >= n & points.1 <= points.0-margin
which.max(c(win.1, TRUE)) < which.max(c(win.0, TRUE))
})
mean(sim)
जब मैंने इसे चलाया, तो आपने 10,000 पुनरावृत्तियों में से 8,570 मामलों में जीत हासिल की। एक जेड-स्कोर (लगभग एक सामान्य वितरण के साथ) ऐसे परिणामों का परीक्षण करने के लिए गणना की जा सकती है:
Z <- (mean(sim) - 0.85591399165186659) / (sd(sim)/sqrt(n.sim))
message(round(Z, 3)) # Should be between -3 and 3, roughly.
इस सिमुलेशन में का मूल्य पूर्वगामी सैद्धांतिक संगणना के अनुरूप है।0.31
परिशिष्ट 1
प्रश्न के अपडेट के प्रकाश में, जो पहले 18 गेम के परिणामों को सूचीबद्ध करता है, यहां इन डेटा के अनुरूप गेम पथ के पुनर्निर्माण हैं। आप देख सकते हैं कि दो या तीन खेल खतरनाक रूप से घाटे के करीब थे। (हल्के भूरे वर्ग पर समाप्त होने वाला कोई भी रास्ता आपके लिए नुकसान दायक है।)
इस आकृति के संभावित उपयोगों में शामिल हैं:
पथ कुल स्कोर के 380: 380 के अनुपात से दिए गए ढलान के आसपास केंद्रित हैं, लगभग 58.7% के बराबर।
उस ढलान के आस-पास के रास्तों का बिखराव बिंदुओं के स्वतंत्र होने पर अपेक्षित भिन्नता को दर्शाता है।
यदि लकीरों में बिंदु बनाए जाते हैं, तो व्यक्तिगत पथ लंबे ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज खंड होते हैं।
इसी तरह के खेलों के एक लंबे सेट में, उन रास्तों को देखने की उम्मीद करें जो रंगीन सीमा के भीतर रहते हैं, लेकिन इसके अलावा कुछ विस्तार की उम्मीद भी करते हैं।
एक खेल की संभावना या दो जिसका पथ आम तौर पर इस प्रसार से ऊपर होता है, इस संभावना को इंगित करता है कि आपका प्रतिद्वंद्वी अंततः एक गेम जीत जाएगा, शायद बाद के बजाय जल्द ही।
परिशिष्ट 2
आकृति बनाने के लिए कोड का अनुरोध किया गया था। यहाँ यह (थोड़ा अच्छे ग्राफिक बनाने के लिए साफ किया गया है)।
library(data.table)
library(ggplot2)
n <- 21 # Points your opponent needs to win
m <- 21 # Points you need to win
margin <- 2 # Minimum winning margin
p <- 0.58 # Your chance of winning a point
#
# Quick and dirty generation of a game that goes into overtime.
#
done <- FALSE
iter <- 0
iter.max <- 2000
while(!done & iter < iter.max) {
Y <- sample(1:0, 3*(m+n), prob=c(p, 1-p), replace=TRUE)
Y <- data.table(You=c(0,cumsum(Y)), Opponent=c(0,cumsum(1-Y)))
Y[, Complete := (You >= m & You-Opponent >= margin) |
(Opponent >= n & Opponent-You >= margin)]
Y <- Y[1:which.max(Complete)]
done <- nrow(Y[You==m-1 & Opponent==n-1 & !Complete]) > 0
iter <- iter+1
}
if (iter >= iter.max) warning("Unable to find a solution. Using last.")
i.max <- max(n+margin, m+margin, max(c(Y$You, Y$Opponent))) + 1
#
# Represent the relevant part of the lattice.
#
X <- as.data.table(expand.grid(You=0:i.max,
Opponent=0:i.max))
X[, Win := (You == m & You-Opponent >= margin) |
(You > m & You-Opponent == margin)]
X[, Loss := (Opponent == n & You-Opponent <= -margin) |
(Opponent > n & You-Opponent == -margin)]
#
# Represent the absorbing boundary.
#
A <- data.table(x=c(m, m, i.max, 0, n-margin, i.max-margin),
y=c(0, m-margin, i.max-margin, n, n, i.max),
Winner=rep(c("You", "Opponent"), each=3))
#
# Plotting.
#
ggplot(X[Win==TRUE | Loss==TRUE], aes(You, Opponent)) +
geom_path(aes(x, y, color=Winner, group=Winner), inherit.aes=FALSE,
data=A, size=1.5) +
geom_point(data=X, color="#c0c0c0") +
geom_point(aes(fill=Win), size=3, shape=22, show.legend=FALSE) +
geom_path(data=Y, size=1) +
coord_equal(xlim=c(-1/2, i.max-1/2), ylim=c(-1/2, i.max-1/2),
ratio=1, expand=FALSE) +
ggtitle("Example Game Path",
paste0("You need ", m, " points to win; opponent needs ", n,
"; and the margin is ", margin, "."))
