हम हार्मोनिक माध्य के बजाय भारित अंकगणित माध्य का उपयोग क्यों नहीं करते हैं?

Question

मुझे आश्चर्य है कि सटीक और याद के संयोजन में भारित अंकगणितीय माध्य के विपरीत हार्मोनिक माध्य (उदाहरण के लिए एफ-उपायों की गणना करने के लिए) का उपयोग करने का एक आंतरिक मूल्य क्या है? मैं सोच रहा हूं कि भारित अंकगणित औसत हार्मोनिक माध्य की भूमिका निभा सकता है, या मैं कुछ याद कर रहा हूं?

Comments

हरात्मक माध्य है एक भारित समांतर माध्य: प्रत्येक $x_i$ एक वजन के अनुपात में होती है $1/x_i^2$ ।

— whuber

क्या आप इस बारे में अधिक कह सकते हैं कि इस फैशन में कैसे परिशुद्धता और याद संयुक्त हैं?

— 20

यदि आपकी टिप्पणी गंभीर है या जीभ-इन-गाल तो निश्चित नहीं। भार को आमतौर पर नमूना सूचकांक का कार्य माना जाता है , नमूना मूल्य का नहीं । अन्यथा कोई भी मतलब एक भारित अंकगणित माध्य है

— लुइस मेंडो

@ उपसर्ग सत्य के बीच है। नमूना सूचकांक अक्सर अर्थहीन होता है। भार वस्तुओं के कार्य हैं, लेकिन वे कार्य आम तौर पर औसत होने वाले मूल्यों पर निर्भर नहीं होते हैं। उदाहरण समय (EWMA) से जुड़े वजन हैं, स्थान के साथ (स्थानिक सहसंबंध के उपायों के रूप में), रैंक (शापिरो-विल्क परीक्षण के रूप में), और नमूना संभावनाएं। लेकिन सभी साधनों को एएम भारित नहीं किया जाता है: उदाहरण के लिए, जीएम नहीं है। चूँकि फ़िलिपा "सहज भाव" के बारे में पूछती है, इसलिए जर्मे को हार्मोनिक माध्य और भारित साधनों के बीच गणितीय संबंध को इंगित करना प्रतीत होता था।

— whuber

Answer 1

सामान्य तौर पर, हार्मोनिक साधनों को पसंद किया जाता है, जब कोई पूरी संख्या के बजाय औसत दरों की कोशिश कर रहा हो। एफ 1-माप के मामले में, एक हार्मोनिक मतलब बहुत छोटे उदाहरणों को याद करेगा या याद नहीं करेगा, जबकि अनवीटेड अंकगणितीय माध्य नहीं होगा। औसतन 100% और 0% की कल्पना करें: अंकगणित का मतलब 50% और हार्मोनिक का मतलब 0% है। हार्मोनिक साधन की आवश्यकता है कि दोनों सटीक और याद उच्च हो।

इसके अलावा, जब सटीक और याद एक साथ करीब होते हैं, तो हार्मोनिक अर्थ अंकगणित माध्य के करीब होगा। उदाहरण: ९ ५.५% के समरूप माध्य की तुलना में ९ ५% और ९ ०% का हार्मोनिक माध्य है।

क्या यह एक वांछनीय संपत्ति है, शायद आपके उपयोग के मामले पर निर्भर है, लेकिन आमतौर पर इसे अच्छा माना जाता है।

अंत में, ध्यान दें कि, जैसा कि @whuber ने टिप्पणियों में कहा है, हार्मोनिक माध्य वास्तव में एक भारित अंकगणितीय माध्य है।

Comments

"हार्मोनिक साधनों को पसंद किया जाता है जब कोई औसत दरों की कोशिश कर रहा है" शायद अगर आप 120 किमी / घंटा पर किमी की यात्रा करते हैं और 10 किमी वापस 60 किमी / घंटा की औसत गति प्राप्त करने के लिए 80 किमी / घंटा की औसत गति प्राप्त करते हैं , हालांकि यदि आप नहीं यात्रा 10 में मिनट 120 किमी / घंटा और 10 में मिनट 60 किमी / घंटा की औसत समग्र गति प्राप्त करने के लिए 90 किमी / घंटा। लेकिन मैं यह नहीं देखता कि यह भिन्नों पर क्यों लागू होता है$10$$120$$10$$60$$80$$10$$120$$10$$60$$90$

— हेनरी

दरअसल, पहला पैराग्राफ हार्मोनिक माध्य पर एक सामान्य कथन से अधिक है। लेकिन आप सही कह रहे हैं, सटीक और याद रखना भिन्न हैं और दरें नहीं हैं। मेरा मानना ​​है कि एक धारणा है कि एक अंकगणितीय औसत उन मानों के लिए पसंद किया जाता है जिनमें एक व्याख्यात्मक योग होता है (जो इस मामले में लागू नहीं होगा), लेकिन निश्चित रूप से एक अंकगणितीय औसत सटीकता और याद और आउटपुट का एक उपयोगी परिणाम ले सकता है।

— इलमान

अति उत्कृष्ट! मैं हार्मोनिक औसत नियम का उपयोग करने के लिए "औचित्य" की तलाश कर रहा हूं। लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि औचित्य के बारे में कैसे सोचा जाए ..

— ओल्गा

Answer 2

हार्मोनिक मतलब अंकगणित माध्य का एक आसान विकल्प हो सकता है जब उत्तरार्द्ध की कोई अपेक्षा या कोई विचरण नहीं होता है। यह वास्तव में ऐसा हो सकता है कि मौजूद नहीं है या अनंत है, जबकि E [ 1 / X ] मौजूद है। उदाहरण के लिए, घनत्व f ( x ) = α x α 0 के साथ पारेतो वितरण$\mathbb{E}[X]$$\mathbb{E}[1/X]$कोई निश्चित उम्मीद है जबअल्फा≤1, जिसका मतलब है समांतर माध्य है, जबकि एक अनंत उम्मीद है किई[1/एक्स]=∫∞ एक्स 0 अल्फाएक्स अल्फा

$$f(x)=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}\mathbb{I}_{x\ge x_0}$$ $\alpha\le 1$ जिसका तात्पर्य है कि हार्मोनिक माध्य की एक सीमित अपेक्षा है। $$\mathbb{E}[1/X]=\int_{x_0}^\infty \dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+2}}\,\text{d}x=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{(\alpha+1) x_0^{\alpha+1}}=\dfrac{\alpha}{(\alpha+1) x_0}$$

इसके विपरीत, ऐसे वितरण जिसके लिए हरात्मक माध्य कोई उम्मीद नहीं है, उदाहरण के बीटा के लिए के रूप में कर रहे हैं वितरण जब अल्फा ≤ $\mathcal{B}e(\alpha,\beta)$$\alpha\le1$ । और भी बहुत कुछ जिसके लिए इसका कोई विचरण नहीं है।

वहाँ भी अभिन्न को मोंटे कार्लो अनुमानों, और विशेष रूप से सामान्य स्थिरांक के साथ एक लिंक बायेसियन पीछे पहचान के आधार पर, है जहांφ(⋅)किसी भी घनत्व है,π(⋅)पहले, हैएल(⋅|एक्स)संभावना है, औरमीटर(⋅)सीमांत, के रूप में पर विचार-विमर्श कियाहै कि अन्य प्रश्नएक्स पर मान्य है, जहांमैंरेडफोर्ड नील (यू टोरंटो) नेसबसे खराब मोंटे कार्लो अनुमानकका उपयोग करने के खतरों के बारे मेंटिप्पणी की। (मैंनेउस विषय पर अपने ब्लॉग परकई प्रविष्टियांभी लिखीहैं।)

$$\mathbb{E}\left[\dfrac{\varphi(\theta)}{\pi(\theta)L(\theta|x)}\Big| x\right]=\dfrac{1}{m(x)}$$ $\varphi(\cdot)$$\pi(\cdot)$$L(\cdot|x)$$m(\cdot)$

Comments

औसत दर होने पर ये गुण बेहतर क्यों हैं?

— Walrus बिल्ली

मैं इष्टतम परिणामों के बारे में नहीं जानता, लेकिन एक परिमित अपेक्षा के साथ एक अनुमानक होने के बिना एक के लिए बेहतर लगता है!

— शीआन