2 डी मार्जिन द्वारा 3 डी संयुक्त वितरण का पुनर्निर्माण किया जा सकता है?

मान लें कि हम p (x, y), p (x, z) और p (y, z) जानते हैं, तो क्या यह सही है कि संयुक्त वितरण p (x, y, z) पहचाने जाने योग्य है? यानी, केवल एक ही संभव p (x, y, z) है जो कि मार्जिन से ऊपर है?

distributions mathematical-statistics

— user1466742
स्रोत

संबंधित: क्या गॉसियन यादृच्छिक चर की एक जोड़ी होना संभव है, जिसके लिए संयुक्त वितरण गॉसियन नहीं है? (2 डी संयुक्त बनाम -1 डी marginals को यही कारण है कि संबंधित है, लेकिन इस सवाल का जवाब और अंतर्ज्ञान अंततः एक ही है, के साथ साथ @ कार्डिनल के जवाब में चित्रों सुंदर हैं।)

— को पुनः स्थापित मोनिका - गुंग

@ गुंग का रिश्ता कुछ दूर का है। इस प्रश्न के पीछे सूक्ष्मता यह विचार है कि एक कोप्युला हमें दिखाता है कि दिए गए मार्जिन के साथ द्विभाजित वितरण कैसे विकसित किया जाए। लेकिन अगर हम एक त्रिभुज वितरण के लिए तीन द्विभाजित मार्जिन निर्दिष्ट करते हैं, तो उस त्रिविकृत वितरण पर काफी गंभीर अतिरिक्त बाधाएं होनी चाहिए: अविभाज्य मार्जिन संगत होना चाहिए। फिर सवाल यह है कि क्या ये अड़चनें ट्रिवेरीट वितरण को कम करने के लिए पर्याप्त हैं। यह इसे स्वाभाविक रूप से दो आयामी प्रश्न बनाता है।

— whuber

@ जब मैं समझता हूं, तो आप कह रहे हैं कि 1 डी मार्जिन की तुलना में 2 डी मार्जिन अधिक विवश है, जो उचित है। मेरा कहना यह है कि दोनों उत्तर में यह है कि मार्जिन संयुक्त वितरण को पर्याप्त रूप से बाधित नहीं कर सकते हैं, और कार्डिनल का जवाब इस मुद्दे को देखना बहुत आसान बनाता है। यदि आपको लगता है कि यह बहुत अधिक विचलित करने वाला है, तो मैं इन टिप्पणियों को हटा सकता हूं।

— गूँग - मोनिका

@ गुंग मैं कुछ अलग कहने की कोशिश कर रहा हूं और यह देखना आसान नहीं है (जब तक कि आप 3 डी विज़ुअलाइजेशन में बहुत अच्छे न हों)। क्या आपको हॉफ़स्टैटर के गोडेल, एस्चर, बाख की कवर छवि याद है ? (यह आसानी से Googling द्वारा पाया जाता है; शायद मैं इसे शामिल करने के लिए अपने जवाब का विस्तार करूँगा।) समन्वय अक्ष पर अनुमानों के समान सेटों के साथ उन दो अलग-अलग ठोस पदार्थों का अस्तित्व काफी अद्भुत है। यह इस विचार को दर्शाता है कि एक 3 डी ऑब्जेक्ट के ऑर्थोगोनल 2 डी "विचारों" का एक पूरा सेट आवश्यक रूप से ऑब्जेक्ट को निर्धारित नहीं करता है। यही इस मामले की जड़ है।

— whuber

@ गुंग ने मुझे एक बार और प्रयास करने की अनुमति दी। हां, यह विचार कि मार्जिन पूरी तरह से वितरण का निर्धारण नहीं करता है, दोनों मामलों में सामान्य है। इस एक में जटिलता - एक जो मुझे विश्वास है कि यह दूसरे से बहुत अलग बनाता है - क्या यह है कि वर्तमान स्थिति में मार्जिन किसी भी तरह से स्वतंत्र नहीं हैं: प्रत्येक 2 डी सीमांत दो 1 डी मार्जिन और साथ ही उन लोगों के बीच एक मजबूत संबंध निर्धारित करता है। marginals। वैचारिक रूप से, फिर, इस प्रश्न को फिर से समझा जा सकता है कि " पूर्ण 3 डी वितरण का निर्धारण करने के अर्थ में 2D मार्जिनल 'ट्रांसएक्टिव' या 'संचयी' में निर्भरता क्यों नहीं है ?"

— whuber

जवाबों:

नहीं। शायद सबसे सरल counterexample चिंताओं तीन स्वतंत्र के वितरण चर , जिसके लिए से सभी आठ संभावित परिणामों के माध्यम से समान रूप से होने की संभावना है। यह पर सभी चार सीमांत वितरण को समान बनाता है $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ । $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

यादृच्छिक चर पर विचार करें जो समान रूप से सेट पर वितरित कर रहे हैं । ये समान अंतर हैं $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ । $(X_1,X_2,X_3)$

डगलस हॉफस्टैटर के गोडेल, एस्चर, बाख का कवर संभावनाओं पर संकेत देता है।

समन्वय विमानों पर इनमें से प्रत्येक ठोस के तीन ऑर्थोगोनल अनुमान (छाया) समान हैं, लेकिन ठोस स्पष्ट रूप से भिन्न हैं। हालांकि छाया मामूली वितरण के समान नहीं हैं, वे प्रतिबंधित करने के लिए समान तरीके से कार्य करते हैं, लेकिन पूरी तरह से निर्धारित नहीं करते हैं , 3 डी ऑब्जेक्ट उन्हें कास्ट करता है।

— व्हीबर
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निश्चित रूप से +1, लेकिन अगर मुझे सही याद है, तो

बर्नस्टीन वापस चला जाता है और शायद पहले भी। मैंने अतीत में एक्सक्लूसिव-या लॉजिक गेट पर चर्चा करने के लिए इसका बड़े पैमाने पर उपयोग किया है, जहां पर जो इवेंट्स 1 हैं और आउटपुट 1 है, वे पेयर वाइज इंडिपेंडेंट इवेंट्स हैं (इनपुट्स के लिए समान रूप से 0 या 1 होने की संभावना है) लेकिन वे परस्पर स्वतंत्र नहीं हैं घटनाएँ

Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

— दिलीप सरवटे

व्हीलर के जवाब के रूप में उसी भावना में,

संयुक्त रूप से निरंतर यादृच्छिक परिवर्तनीय पर विचार संयुक्त घनत्व समारोह के साथ $U, V, W$ जहांमानक सामान्य घनत्व समारोह को दर्शाता है।

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

यह स्पष्ट है कि , और हैं निर्भर यादृच्छिक परिवर्तनीय। यह भी स्पष्ट है कि वे कर रहे हैं नहीं संयुक्त रूप से सामान्य यादृच्छिक चर। हालांकि, सभी तीन जोड़े कर रहे हैं जोड़ो में स्वतंत्र यादृच्छिक चर: वास्तव में, स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर (और इस प्रकार जोड़ो में संयुक्त रूप से सामान्य यादृच्छिक चर)। संक्षेप में, $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ जोड़ीदार स्वतंत्र का एक उदाहरण है, लेकिन पारस्परिक रूप से स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर नहीं हैं। देखें मेरा यह जवाब अधिक जानकारी के लिए।

$X,Y,Z$

\begin{matrix} (2) & f_{X, Y, Z} (u, v, w) = ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w), u, v, w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$ which is not the same as the joint density in

(1)

$(1)$ . So, NO, we cannot deduce the trivariate joint pdf from the bivariate pdfs even in the case when the marginal univariate distributions are standard normal and the random variables are pairwise independent.

— Dilip Sarwate
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You're basically asking if CAT reconstruction is possible using only images along the 3 main axes.

It is not... otherwise that's what they would do. :-) See the Radon transform for more literature.

— user541686
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I like the analogy. Two aspects are troubling, though. One is the logic: just because the Radon transform (or some other technique) uses more data than the three marginals does not logically imply it really needs all those data. Another problem is that CT scans are inherently two-dimensional: they reconstruct a solid body slice by slice. (It's true that the Radon transform is defined in three and higher dimensions.) Thus they don't really get to the heart of the matter: we already know the univariate marginals aren't enough to reconstruct a 2D distribution.

— whuber

@whuber: I think you misunderstood what I was saying... and the 2D vs 3D is a red herring. I was trying to say that the inverse of the Radon transform requires the full integral for its inversion (i.e. if you literally just look at the inversion formula, you see the inversion requires an integral over all angles, not a sum over d angles). The CAT scan was just to help the OP see it's the same problem as CT.

— user541686

That's where the logic breaks down: it's not the same problem as the CT. Your argument sounds like an analog of "every vehicle I see on the road uses at least four wheels. Therefore ground transportation with fewer than four wheels is impossible, for if it were possible, then people would be using fewer wheels to save tire costs. If you doubt this, just look at the blueprints for a car." Incidentally, the transform as implemented in a CT scanner does not integrate over all angles--the measure of the set of angles it uses is zero!

— whuber

@whuber: Forget the CT thing for a moment. Do you agree with the rest of the logic?

— user541686