समारोह और विचरण पैदा करने वाले क्षण का अस्तित्व

क्या परिमित माध्य और अनंत भिन्नता वाले वितरण में एक पल उत्पन्न करने वाला कार्य हो सकता है? परिमित माध्य और परिमित विचरण के साथ वितरण के बारे में क्या है लेकिन अनंत उच्च क्षण?

variance moments mgf

— एमजीएफ
स्रोत

संकेत : यदि mgf शून्य के आसपास अंतराल में मौजूद है, कुछ , तो समाधान की खोज करने के लिए इंटीग्रल के और के टेलर विस्तार पर विचार करें । :)

(- t_{0}, t_{0})

$(-t_0,t_0)$

t_{0} > 0

$t_0 > 0$

e^{x}

$e^x$

— कार्डिनल

अभिसरण के मुद्दों को अनदेखा करना (केवल एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में एमजीएफ के बारे में सोचना), एमजीएफ संभवतः क्या हो सकता है यदि किसी भी क्षण अस्तित्व में विफल रहा है?

— whuber

कार्डिनल क्या आप हमें प्रदान किए गए प्रस्तावों के बारे में कुछ संदर्भ दे सकते हैं?

यह सवाल पल-पल के कार्यों ( mgf ) पर कुछ तथ्यों को एकत्र करने का एक अच्छा अवसर प्रदान करता है ।

नीचे दिए गए उत्तर में, हम निम्नलिखित करते हैं:

दिखाएँ कि यदि एमजीएफ कम से कम एक (सख्ती से) सकारात्मक मूल्य और एक नकारात्मक मूल्य के लिए परिमित है , तो सभी सकारात्मक क्षण $X$ परिमित हैं (नॉनटेन्ग्रल क्षणों सहित)।
साबित होता है कि इसके बाद के संस्करण पहला आइटम में हालत के वितरण के बराबर है $X$ होने तेजी से घिरा पूंछ। दूसरे शब्दों में, की पूंछ $X$ कम से कम उतनी ही तेजी से गिरती है जितनी कि एक घातीय यादृच्छिक चर $Z$ (एक स्थिर तक)।
इसके mgf द्वारा वितरण के लक्षण वर्णन पर एक त्वरित नोट प्रदान करें, बशर्ते यह आइटम 1 में स्थिति को संतुष्ट करता है।
हमारे अंतर्ज्ञान की सहायता के लिए कुछ उदाहरणों और प्रतिकृतियों का अन्वेषण करें, विशेष रूप से, यह दिखाने के लिए कि हमें mgf की सुंदरता के अभाव में अनुचित महत्व नहीं पढ़ना चाहिए।

यह उत्तर काफी लंबा है, जिसके लिए मैं पहले से माफी मांगता हूं। यदि यह बेहतर होगा, जैसे, एक ब्लॉग पोस्ट या कहीं और, कृपया टिप्पणी में इस तरह की प्रतिक्रिया देने के लिए स्वतंत्र महसूस करें।

Mgf क्षणों के बारे में क्या कहता है?

एक यादृच्छिक चर के एमजीएफ के रूप में परिभाषित किया गया है । ध्यान दें कि हमेशा मौजूद रहता है क्योंकि यह एक nonnegative औसत दर्जे का फ़ंक्शन का अभिन्न अंग है। हालांकि, अगर परिमित नहीं हो सकता है । यदि यह है परिमित सभी के लिए (सही स्थानों में), तो (जरूरी नहीं एक पूर्णांक), पूर्ण क्षणों (और, इसलिए, यह भी $X \sim F$ $m(t) = \mathbb E e^{tX}$ $m(t)$ $p > 0$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E X^p$ परिमित है)। यह अगले प्रस्ताव का विषय है।

प्रस्ताव : अगर और ऐसा और , तब के सभी आदेशों के क्षण मौजूद हैं और परिमित हैं। $\newcommand{\tn}{t_{n}}\newcommand{\tp}{t_{p}}\tn < 0$ $\tp > 0$ $m(\tn) < \infty$ $m(\tp) < \infty$ $X$

एक प्रमाण में गोता लगाने से पहले, यहां दो उपयोगी नींबू हैं।

Lemma 1 : मान लीजिए कि ऐसे और मौजूद हैं। फिर किसी भी लिए , । सबूत । यह की उत्तलता और अभिन्नता की एकरूपता से होता है। ऐसे किसी भी , मौजूद है, जैसे कि । लेकिन, फिर इसलिए, अभिन्न की द्वारा, । $\tn$ $\tp$ $t_0 \in [\tn,\tp]$ $m(t_0) < \infty$
$e^x$ $t_0$ $\theta \in [0,1]$ $t_0 = \theta \tn + (1-\theta) \tp$

e^{t_{0} X} = e^{θ t_{n} X + (1 - θ) t_{p} X} \leq θ e^{t_{n} X} + (1 - θ) e^{t_{p} X} .

$e^{t_0 X} = e^{\theta \tn X + (1-\theta) \tp X} \leq \theta e^{\tn X} + (1-\theta) e^{\tp X} \>.$

E e^{t_{0} X} \leq θ E e^{t_{n} X} + (1 - θ) E e^{t_{p} X} < \infty

$\mathbb E e^{t_0 X} \leq \theta \mathbb E e^{\tn X} + (1-\theta) \mathbb E e^{\tp X} < \infty$

इसलिए, यदि mgf किसी भी दो अलग-अलग बिंदुओं पर परिमित है, तो यह उन बिंदुओं के बीच के अंतराल के सभी मानों के लिए परिमित है।

Lemma 2 ( रिक्त स्थान का घोंसला $L_p$ ): , यदि , तो । प्रमाण : इस उत्तर और संबद्ध टिप्पणियों में दो दृष्टिकोण दिए गए हैं । $0 \leq q \leq p$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E |X|^q < \infty$

यह हमें प्रस्ताव के प्रमाण के साथ जारी रखने के लिए पर्याप्त है।

प्रस्ताव का प्रमाण । यदि और प्रस्ताव में कहा गया है, तो लेते हुए, हम पहले lemma से जानते हैं कि और । लेकिन, और दायीं ओर का हिस्सा nonnegative शब्दों से बना है, इसलिए, विशेष रूप से, किसी भी निश्चित अब, धारणा । अभिन्न पैदावार की । इसलिए, सभी $\tn < 0$ $\tp > 0$ $t_0 = \min(-\tn,\tp) > 0$ $m(-t_0) < \infty$ $m(t_0) < \infty$

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t_{0}^{2 n} X^{2 n}}{(2 n)!},

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{t_0^{2n} X^{2n}}{(2n)!} \>,$

k

$k$

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} \geq 2 t_{0}^{2 k} X^{2 k} / (2 k)! .

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} \geq 2 t_0^{2k} X^{2k}/(2k)! \>.$

E e^{- t_{0} X} + E e^{t_{0} X} < \infty

$\mathbb E e^{-t_0 X} + \mathbb E e^{t_0 X} < \infty$

E X^{2 k} < \infty

$\mathbb E X^{2k} < \infty$ क्षण भी परिमित हैं। लेम्मा 2 हमें तुरंत "अंतराल में भरने" की अनुमति देता है और निष्कर्ष निकालता है कि सभी क्षणों को परिमित होना चाहिए।

X

$X$

परिणाम

हाथ में प्रश्न के बारे में उलाहना यह है कि यदि का कोई भी क्षण अनंत है या मौजूद नहीं है, तो हम तुरंत निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि mgf खुले अंतराल में नहीं है जिसमें मूल शामिल है। (यह सिर्फ प्रस्ताव का गर्भनिरोधक कथन है।) $X$

इस प्रकार, ऊपर दिया गया प्रस्ताव "एमजीएफ" के आधार पर के क्षणों के बारे में कुछ कहने के लिए "सही" स्थिति प्रदान करता है । $X$

तेजी से बंधे पूंछ और एमजीएफ

प्रस्ताव : एमजीएफ एक खुला अंतराल में परिमित है मूल युक्त यदि और केवल यदि की पूंछ रहे हैं तेजी से घिरा , यानी, कुछ और । $m(t)$ $(\tn,\tp)$ $F$ $\mathbb P( |X| > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $C > 0$ $t_0 > 0$

सबूत । हम सही पूंछ के साथ अलग से काम करेंगे। बाईं पूंछ पूरी तरह से संभाला है।

$(\Rightarrow)$ मान लीजिए कुछ । फिर, के अधिकार पूंछ है तेजी से घिरा ; दूसरे शब्दों में, और मौजूद जैसे कि यह देखने के लिए, किसी भी , मार्कोव की असमानता के द्वारा, लो और सबूत के इस दिशा पूरा करने के लिए। $m(t_0) < \infty$ $t_0 > 0$ $F$ $C > 0$ $b > 0$

P (X > x) \leq C e^{- b x} .

$\mathbb P(X > x) \leq C e^{-b x} \>.$

t > 0

$t > 0$

P (X > x) = P (e^{t X} > e^{t x}) \leq e^{- t x} E e^{t X} = m (t) e^{- t x} .

$\mathbb P(X > x) = \mathbb P(e^{tX} > e^{tx}) \leq e^{-tx} \mathbb E e^{t X} = m(t) e^{-t x} \>.$

C = m (t_{0})

$C = m(t_0)$

b = t_{0}

$b = t_0$

$(\Leftarrow)$ मान लीजिए कि और मौजूद जैसे कि । फिर, , जहां पहली समानता एक से निम्नानुसार है nonnegative यादृच्छिक चर की उम्मीद के बारे में मानक तथ्य । कोई भी ऐसा चुनें जो ; फिर, दाईं ओर का अभिन्न परिमित है। $C >0$ $t_0 > 0$ $\mathbb P(X > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $t > 0$

E e^{t X} = \int_{0}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} C y^{- t_{0} / t} d y,

$\mathbb E e^{t X} = \int_0^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty C y^{-t_0/t} \, \mathrm dy \>,$

t

$t$

0 < t < t_{0}

$0 < t < t_0$

इससे प्रमाण पूरा हो जाता है।

एक वितरण की विशिष्टता पर एक नोट ने अपना एमजीएफ दिया

यदि एमजीएफ शून्य वाले एक खुले अंतराल में परिमित है, तो संबंधित वितरण को इसके क्षणों की विशेषता है , अर्थात, यह क्षणों के साथ एकमात्र वितरण । एक मानक प्रमाण एक बार कम होता है जब किसी को विशेषता कार्यों के बारे में कुछ (अपेक्षाकृत सीधे) तथ्यों को सौंप दिया जाता है । विवरण अधिकांश आधुनिक संभाव्यता ग्रंथों (जैसे, बिलिंग्सले या ड्यूरेट) में पाया जा सकता है। इस उत्तर में कुछ संबंधित मामलों पर चर्चा की जाती है । $\mu_n = \mathbb E X^n$

उदाहरण और प्रतिकण

( ए ) लोगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन : है अगर कुछ सामान्य रैंडम वैरिएबल लिए । तो संभावना के साथ । क्योंकि सभी के लिए , इस हमें तुरंत कि बताता के लिए सभी । तो, एमजीएफ नॉन -गेटिव हाफ-लाइन पर परिमित है ( एनबी हमने केवल इस तथ्य को स्थापित करने के लिए की nonnegativity का उपयोग किया है, इसलिए यह सभी nonnegative यादृच्छिक चर से सच है ।) $X$ $X = e^Y$ $Y$ $X \geq 0$ $e^{-x} \leq 1$ $x \geq 0$ $m(t) = \mathbb E e^{t X} \leq 1$ $t < 0$ $(-\infty,0]$ $X$

हालाँकि, सभी लिए । हम मानक लॉगनॉनिक को विहित मामले के रूप में लेंगे। यदि , तो । चरों के परिवर्तन से, हमारे पास के लिए और बड़ा पर्याप्त , हम ऊपर दिए गए सीमा से। लेकिन, किसी भी , और इसलिए mgf सभी लिए अनंत है । $m(t) = \infty$ $t > 0$ $x > 0$ $e^{x} \geq 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3$

E e^{t X} = (2 π)^{- 1 / 2} \int_{- \infty}^{\infty} e^{t e^{u} - u^{2} / 2} d u .

$\mathbb E e^{t X} = (2\pi)^{-1/2} \int_{-\infty}^\infty e^{t e^u - u^2/2} \,\mathrm d u \>.$

t > 0

$t > 0$

u

$u$

t e^{u} - u^{2} / 2 \geq t + t u

$t e^u - u^2/2 \geq t+tu$

\int_{K}^{\infty} e^{t + t u} d u = \infty

$\int_{K}^\infty e^{t + tu} \,\mathrm du = \infty$

K

$K$

t > 0

$t > 0$

दूसरी ओर, तार्किक वितरण के सभी क्षण परिमित हैं। तो, उपरोक्त प्रस्ताव के निष्कर्ष के लिए शून्य के बारे में अंतराल में mgf का अस्तित्व आवश्यक नहीं है ।

( बी ) सिमेट्रिज़्ड लोगनॉर्मल : हम लोगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन को "सिमिट्रीज़िंग" करके और भी अधिक चरम केस प्राप्त कर सकते हैं। घनत्व पर विचार करें के लिए ऐसी है कि पिछले उदाहरण के प्रकाश में यह देखना मुश्किल नहीं है कि mgf केवल लिए परिमित है । फिर भी, यहां तक कि क्षण भी बिल्कुल वैसा ही है, जैसे कि विषम और विषम क्षण सभी शून्य होते हैं! तो, एमजीएफ कहीं नहीं मौजूद है (मूल पर छोड़कर जहां यह हमेशा मौजूद है) और फिर भी हम सभी आदेशों के परिमित क्षणों की गारंटी दे सकते हैं। $f(x)$ $x \in \mathbb R$

f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{2 π} | x |} e^{- \frac{1}{2} (\log | x |)^{2}} .

$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}|x|} e^{-\frac{1}{2} (\log |x|)^2} \>.$

t = 0

$t = 0$

( c ) कैची वितरण : इस वितरण में एक mgf भी होता है जो सभी लिए अनंत है , लेकिन कोई पूर्ण क्षण लिए परिमित है । का परिणाम से लिए और so लिए प्रमाण अनुरूप है। (शायद कुछ हद तक कम अच्छी तरह से ज्ञात है कि के लिए थोड़ी दूर है कर कॉची लिए मौजूद हैं। इस उत्तर देखें $t \neq 0$ $\mathbb E|X|^p$ $p \geq 1$ $t > 0$ $e^x \geq x^3 / 6$ $x > 0$

E e^{t X} \geq \int_{1}^{\infty} \frac{t^{3} x^{3}}{6 π (1 + x^{2})} d x \geq \frac{t^{3}}{12 π} \int_{1}^{\infty} x d x = \infty .

$\mathbb E e^{tX} \geq \int_1^\infty \frac{t^3 x^3}{6\pi(1+x^2)} \,\mathrm dx \geq \frac{t^3}{12\pi} \int_1^\infty x \,\mathrm dx = \infty \>.$

t < 0

$t < 0$

0 < p < 1

$0 < p < 1$ ।)

( d ) अर्ध-कैची वितरण : यदि (मानक) कॉची है, तोएक अर्ध-कैची यादृच्छिक चर। फिर, पिछले उदाहरण से यह देखना आसान है कि for all ; अभी तक, लिए परिमित है । $X$ $Y = |X|$ $\mathbb E Y^p = \infty$ $p \geq 1$ $\mathbb E e^{tY}$ $t \in (-\infty,0]$

— कार्डिनल
स्रोत

इसे पोस्ट करने के लिए धन्यवाद - यह आश्चर्यजनक रूप से समझना आसान है, यह देखते हुए कि यह कितना तकनीकी है - अच्छी तरह से किया गया।

— मैक्रों

क्या आप हिल्बर्ट अंतरिक्ष में mgf के बारे में कोई परिणाम जानते हैं?

— बदमाश