यहां क्या हो रहा है, जब मैं लॉजिस्टिक रिग्रेशन सेटिंग में स्क्वार्ड लॉस का उपयोग करता हूं?

मैं एक खिलौना डेटा सेट पर बाइनरी वर्गीकरण करने के लिए चुकता नुकसान का उपयोग करने की कोशिश कर रहा हूं।

मैं mtcarsट्रांसमिशन सेट की भविष्यवाणी करने के लिए डेटा सेट, गैलन प्रति मील और वजन का उपयोग कर रहा हूं । नीचे दिए गए कथानक अलग-अलग रंगों में दो प्रकार के ट्रांसमिशन प्रकार के डेटा को दिखाते हैं, और अलग-अलग हानि फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न निर्णय सीमा। वर्ग नुकसान हुआ है $\sum_i (y_i-p_i)^2$ जहां $y_i$ जमीनी सच्चाई लेबल (0 या 1) और है $p_i$ भविष्यवाणी की संभावना है $p_i=\text{Logit}^{-1}(\beta^Tx_i)$ । दूसरे शब्दों में, मैं वर्गीकरण सेटिंग में चुकता नुकसान के साथ लॉजिस्टिक नुकसान की जगह ले रहा हूं, अन्य भाग समान हैं।

mtcarsडेटा के साथ एक खिलौना उदाहरण के लिए , कई मामलों में, मुझे लॉजिस्टिक रिग्रेशन के लिए एक मॉडल "समान" मिला (निम्न आंकड़ा देखें, यादृच्छिक संख्या 0 के साथ)।

लेकिन सोमेथिंग्स में (यदि हम करते हैं set.seed(1) ), चुकता नुकसान अच्छी तरह से काम नहीं कर रहा है। यहां क्या हो रहा है? अनुकूलन नहीं करता है? स्क्वैयर लॉस की तुलना में लॉजिस्टिक लॉस को ऑप्टिमाइज़ करना आसान है? किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।

कोड

d=mtcars[,c("am","mpg","wt")]
plot(d$mpg,d$wt,col=factor(d$am))
lg_fit=glm(am~.,d, family = binomial())
abline(-lg_fit$coefficients[1]/lg_fit$coefficients[3],
       -lg_fit$coefficients[2]/lg_fit$coefficients[3])
grid()

# sq loss
lossSqOnBinary<-function(x,y,w){
  p=plogis(x %*% w)
  return(sum((y-p)^2))
}

# ----------------------------------------------------------------
# note, this random seed is important for squared loss work
# ----------------------------------------------------------------
set.seed(0)

x0=runif(3)
x=as.matrix(cbind(1,d[,2:3]))
y=d$am
opt=optim(x0, lossSqOnBinary, method="BFGS", x=x,y=y)

abline(-opt$par[1]/opt$par[3],
       -opt$par[2]/opt$par[3], lty=2)
legend(25,5,c("logisitc loss","squared loss"), lty=c(1,2))

— हतौ दू
स्रोत

शायद यादृच्छिक शुरुआती मूल्य एक गरीब है। एक बेहतर चयन क्यों नहीं?

— whuber

@whuber लॉजिस्टिक लॉस उत्तल है, इसलिए शुरू करने से कोई फर्क नहीं पड़ता। पी और वाई पर चुकता नुकसान के बारे में क्या? क्या यह उत्तल है?

— हायतौ डू

आप जो वर्णन करते हैं, मैं उसे पुन: प्रस्तुत करने में असमर्थ हूं। optimआपको बताता है कि यह समाप्त नहीं हुआ है, बस इतना ही है: यह अभिसरण है। आप अतिरिक्त तर्क के साथ अपने कोड को फिर से व्यवस्थित करके control=list(maxit=10000), इसके फिट की साजिश रचने और इसके गुणांक की मूल लोगों से तुलना करके बहुत कुछ सीख सकते हैं।

— whuber

@amoeba आपकी टिप्पणियों के लिए धन्यवाद, मैंने प्रश्न को संशोधित किया। उम्मीद है कि यह बेहतर है।

— डू

@amoeba मैं किंवदंती को संशोधित करूंगा, लेकिन यह कथन ठीक नहीं होगा (3)? "मैं ट्रांसमिशन सेट का अनुमान लगाने के लिए mtcars डेटा सेट का उपयोग कर रहा हूं, मील प्रति गैलन और वजन का उपयोग करता हूं। नीचे दिए गए प्लॉट विभिन्न रंगों में दो प्रकार के ट्रांसमिशन प्रकार के डेटा और निर्णय सीमा को अलग-अलग हानि फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न दिखाता है।"

— हेतो दू

जवाबों:

ऐसा लगता है कि आपने अपने विशेष उदाहरण में मुद्दा तय कर लिया है, लेकिन मुझे लगता है कि यह अभी भी कम से कम वर्गों और अधिकतम संभावना लॉजिस्टिक प्रतिगमन के बीच के अंतर का अधिक सावधानीपूर्वक अध्ययन करने के लायक है।

चलो कुछ संकेतन मिलता है। Let $L_S(y_i, \hat y_i) = \frac 12(y_i - \hat y_i)^2$ और $L_L(y_i, \hat y_i) = y_i \log \hat y_i + (1 - y_i) \log(1 - \hat y_i)$ । हम अधिक से अधिक संभावना (या के रूप में मैं यहाँ कर रहा हूँ कम से कम नकारात्मक लॉग संभावना) कर रहे हैं, हमारे पास

{\hat{β}}_{L} := {argmin}_{b \in R^{p}} - \sum_{i = 1}^{n} y_{i} \log g^{- 1} (x_{i}^{T} b) + (1 - y_{i}) \log (1 - g^{- 1} (x_{i}^{T} b))

$\hat \beta_L := \text{argmin}_{b \in \mathbb R^p} -\sum_{i=1}^n y_i \log g^{-1}(x_i^T b) + (1-y_i)\log(1 - g^{-1}(x_i^T b))$ के साथ

g

$g$ हमारे लिंक समारोह किया जा रहा है।

वैकल्पिक रूप से हमारे पास

{\hat{β}}_{S} := {argmin}_{b \in R^{p}} \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - g^{- 1} (x_{i}^{T} b))^{2}

$\hat \beta_S := \text{argmin}_{b \in \mathbb R^p} \frac 12 \sum_{i=1}^n (y_i - g^{-1}(x_i^T b))^2$ कम से कम वर्गों समाधान के रूप में। इस प्रकार

को कम करता है

और इसी के लिए

{\hat{β}}_{S}

$\hat \beta_S$

L_{S}

$L_S$

L_{L}

$L_L$ ।

चलो $f_S$ और $f_L$ को न्यूनतम करने के लिए इसी उद्देश्य कार्यों हो $L_S$ और $L_L$ क्रमशः के रूप में के लिए किया जाता है $\hat \beta_S$ और । अंत में, चलो तो । ध्यान दें कि यदि हम विहित लिंक का उपयोग कर रहे हैं तो हमें $\hat \beta_L$ $h = g^{-1}$ $\hat y_i = h(x_i^T b)$

h (z) = \frac{1}{1 + e^{- z}} ⟹ h^{'} (z) = h (z) (1 - h (z)) .

$h(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \implies h'(z) = h(z) (1 - h(z)).$

\frac{\partial f_{L}}{\partial b_{j}} = - \sum_{i = 1}^{n} h^{'} (x_{i}^{T} b) x_{i j} (\frac{y_{i}}{h (x_{i}^{T} b)} - \frac{1 - y_{i}}{1 - h (x_{i}^{T} b)}) .

$\frac{\partial f_L}{\partial b_j} = -\sum_{i=1}^n h'(x_i^T b)x_{ij} \left( \frac{y_i}{h(x_i^T b)} - \frac{1-y_i}{1 - h(x_i^T b)}\right).$

h^{'} = h \cdot (1 - h)

$h' = h \cdot (1 - h)$

\frac{\partial f_{L}}{\partial b_{j}} = - \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} (y_{i} (1 - {\hat{y}}_{i}) - (1 - y_{i}) {\hat{y}}_{i}) = - \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} (y_{i} - {\hat{y}}_{i})

$\frac{\partial f_L}{\partial b_j} = -\sum_{i=1}^n x_{ij} \left( y_i(1 - \hat y_i) - (1-y_i)\hat y_i\right) = -\sum_{i=1}^n x_{ij}(y_i - \hat y_i)$

\nabla f_{L} (b) = - X^{T} (Y - \hat{Y}) .

$\nabla f_L(b) = -X^T (Y - \hat Y).$

आगे दूसरा डेरिवेटिव करते हैं। हेसियन

H_{L} := \frac{\partial^{2} f_{L}}{\partial b_{j} \partial b_{k}} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} x_{i k} {\hat{y}}_{i} (1 - {\hat{y}}_{i}) .

$H_L:= \frac{\partial^2 f_L}{\partial b_j \partial b_k} = \sum_{i=1}^n x_{ij} x_{ik} \hat y_i (1 - \hat y_i).$

H_{L} = X^{T} A X

$H_L = X^T A X$

A = diag (\hat{Y} (1 - \hat{Y}))

$A = \text{diag} \left(\hat Y (1 - \hat Y)\right)$

H_{L}

$H_L$

\hat{Y}

$\hat Y$

Y

$Y$

H_{L}

$H_L$

b

$b$

आइए इसकी तुलना कम से कम वर्गों से करें।

\frac{\partial f_{S}}{\partial b_{j}} = - \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - {\hat{y}}_{i}) h^{'} (x_{i}^{T} b) x_{i j} .

$\frac{\partial f_S}{\partial b_j} = - \sum_{i=1}^n (y_i - \hat y_i) h'(x^T_i b)x_{ij}.$

\nabla f_{S} (b) = - X^{T} A (Y - \hat{Y}) .

$\nabla f_S(b) = -X^T A (Y - \hat Y).$

i

$i$

{\hat{y}}_{i} (1 - {\hat{y}}_{i}) \in (0, 1)

$\hat y_i (1 - \hat y_i) \in (0,1)$

\nabla f_{L}

$\nabla f_L$

हेसियन के लिए हम पहले लिख सकते हैं

\frac{\partial f_{S}}{\partial b_{j}} = - \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} (y_{i} - {\hat{y}}_{i}) {\hat{y}}_{i} (1 - {\hat{y}}_{i}) = - \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} (y_{i} {\hat{y}}_{i} - (1 + y_{i}) {\hat{y}}_{i}^{2} + {\hat{y}}_{i}^{3}) .

$\frac{\partial f_S}{\partial b_j} = - \sum_{i=1}^n x_{ij}(y_i - \hat y_i) \hat y_i (1 - \hat y_i) = - \sum_{i=1}^n x_{ij}\left( y_i \hat y_i - (1+y_i)\hat y_i^2 + \hat y_i^3\right).$

H_{S} := \frac{\partial^{2} f_{S}}{\partial b_{j} \partial b_{k}} = - \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} x_{i k} h^{'} (x_{i}^{T} b) (y_{i} - 2 (1 + y_{i}) {\hat{y}}_{i} + 3 {\hat{y}}_{i}^{2}) .

$H_S:=\frac{\partial^2 f_S}{\partial b_j \partial b_k} = - \sum_{i=1}^n x_{ij} x_{ik} h'(x_i^T b) \left( y_i - 2(1+y_i)\hat y_i + 3 \hat y_i^2 \right).$

Let $B = \text{diag} \left( y_i - 2(1+y_i)\hat y_i + 3 \hat y_i ^2 \right)$ . We now have

H_{S} = - X^{T} A B X .

$H_S = -X^T A B X.$

Unfortunately for us, the weights in $B$ are not guaranteed to be non-negative: if $y_i = 0$ then $y_i - 2(1+y_i)\hat y_i + 3 \hat y_i ^2 = \hat y_i (3 \hat y_i - 2)$ which is positive iff $\hat y_i > \frac 23$ . Similarly, if $y_i = 1$ then $y_i - 2(1+y_i)\hat y_i + 3 \hat y_i ^2 = 1-4 \hat y_i + 3 \hat y_i^2$ which is positive when $\hat y_i < \frac 13$ (it's also positive for $\hat y_i > 1$ but that's not possible). This means that $H_S$ is not necessarily PSD, so not only are we squashing our gradients which will make learning harder, but we've also messed up the convexity of our problem.

All in all, it's no surprise that least squares logistic regression struggles sometimes, and in your example you've got enough fitted values close to $0$ or $1$ so that $\hat y_i (1 - \hat y_i)$ can be pretty small and thus the gradient is quite flattened.

Connecting this to neural networks, even though this is but a humble logistic regression I think with squared loss you're experiencing something like what Goodfellow, Bengio, and Courville are referring to in their Deep Learning book when they write the following:

One recurring theme throughout neural network design is that the gradient of the cost function must be large and predictable enough to serve as a good guide for the learning algorithm. Functions that saturate (become very flat) undermine this objective because they make the gradient become very small. In many cases this happens because the activation functions used to produce the output of the hidden units or the output units saturate. The negative log-likelihood helps to avoid this problem for many models. Many output units involve an exp function that can saturate when its argument is very negative. The log function in the negative log-likelihood cost function undoes the exp of some output units. We will discuss the interaction between the cost function and the choice of output unit in Sec. 6.2.2.

and, in 6.2.2,

Unfortunately, mean squared error and mean absolute error often lead to poor results when used with gradient-based optimization. Some output units that saturate produce very small gradients when combined with these cost functions. This is one reason that the cross-entropy cost function is more popular than mean squared error or mean absolute error, even when it is not necessary to estimate an entire distribution $p(y|x)$ .

(both excerpts are from chapter 6).

— jld
स्रोत

I really like you helped me to derive the derivative and hessian. I will check it more careful tomorrow.

— Haitao Du

@hxd1011 you're very welcome, and thanks for the link to that older question of yours! I've really been meaning to go through this more carefully so this was a great excuse :)

— jld

I carefully read the math and verified with code. I found Hessian for squared loss does not match the numerical approximation. Could you check it? I am more than happy to show you the code if you want.

— Haitao Du

@hxd1011 I just went through the derivation again and I think there's a sign error: for

H_{S}

$H_S$ I think everywhere that I have

y_{i} - 2 (1 - y_{i}) {\hat{y}}_{i} + 3 {\hat{y}}_{i}^{2}

$y_i - 2(1-y_i)\hat y_i + 3 \hat y_i^2$ it should be

y_{i} - 2 (\underset{⏟}{1 + y_{i}}) {\hat{y}}_{i} + 3 {\hat{y}}_{i}^{2}

$y_i - 2(\underbrace{1+y_i})\hat y_i + 3 \hat y_i^2$ . Could you recheck and tell me if that fixes it? Thanks a lot for the correction.

— jld

@hxd1011 glad that fixed it! thanks again for finding that

— jld

I would thank to thank @whuber and @Chaconne for help. Especially @Chaconne, this derivation is what I wished to have for years.

The problem IS in the optimization part. If we set the random seed to 1, the default BFGS will not work. But if we change the algorithm and change the max iteration number it will work again.

As @Chaconne mentioned, the problem is squared loss for classification is non-convex and harder to optimize. To add on @Chaconne's math, I would like to present some visualizations on to logistic loss and squared loss.

We will change the demo data from mtcars, since the original toy example has $3$ coefficients including the intercept. We will use another toy data set generated from mlbench, in this data set, we set $2$ parameters, which is better for visualization.

Here is the demo

The data is shown in the left figure: we have two classes in two colors. x,y are two features for the data. In addition, we use red line to represent the linear classifier from logistic loss, and the blue line represent the linear classifier from squared loss.
The middle figure and right figure shows the contour for logistic loss (red) and squared loss (blue). x, y are two parameters we are fitting. The dot is the optimal point found by BFGS.

From the contour we can easily see how why optimizing squared loss is harder: as Chaconne mentioned, it is non-convex.

Here is one more view from persp3d.

Code

set.seed(0)
d=mlbench::mlbench.2dnormals(50,2,r=1)
x=d$x
y=ifelse(d$classes==1,1,0)

lg_loss <- function(w){
  p=plogis(x %*% w)
  L=-y*log(p)-(1-y)*log(1-p)
  return(sum(L))
}
sq_loss <- function(w){
  p=plogis(x %*% w)
  L=sum((y-p)^2)
  return(L)
}

w_grid_v=seq(-15,15,0.1)
w_grid=expand.grid(w_grid_v,w_grid_v)

opt1=optimx::optimx(c(1,1),fn=lg_loss ,method="BFGS")
z1=matrix(apply(w_grid,1,lg_loss),ncol=length(w_grid_v))

opt2=optimx::optimx(c(1,1),fn=sq_loss ,method="BFGS")
z2=matrix(apply(w_grid,1,sq_loss),ncol=length(w_grid_v))

par(mfrow=c(1,3))
plot(d,xlim=c(-3,3),ylim=c(-3,3))
abline(0,-opt1$p2/opt1$p1,col='darkred',lwd=2)
abline(0,-opt2$p2/opt2$p1,col='blue',lwd=2)
grid()
contour(w_grid_v,w_grid_v,z1,col='darkred',lwd=2, nlevels = 8)
points(opt1$p1,opt1$p2,col='darkred',pch=19)
grid()
contour(w_grid_v,w_grid_v,z2,col='blue',lwd=2, nlevels = 8)
points(opt2$p1,opt2$p2,col='blue',pch=19)
grid()


# library(rgl)
# persp3d(w_grid_v,w_grid_v,z1,col='darkred')

— Haitao Du
स्रोत

I don't see any non-convexity on the third subplot of your first figure...

— amoeba says Reinstate Monica

@amoeba I thought convex contour is more like ellipse, two U shaped curve back to back is non-convex, is that right?

— Haitao Du

No, why? Maybe it's a part of a larger ellipse-like contour? I mean, it might very well be non-convex, I am just saying that I do not see it on this particular figure.

— amoeba says Reinstate Monica