मापदंडों की अनुमानितता पर एक समस्या

बता दें कि और चार यादृच्छिक चर हैं, जैसे , जहां अज्ञात पैरामीटर हैं। यह भी मान लें कि ,फिर कौन सा सच है? $Y_1,Y_2,Y_3$ $Y_4$ $E(Y_1)=\theta_1-\theta_3;\space\space E(Y_2)=\theta_1+\theta_2-\theta_3;\space\space E(Y_3)=\theta_1-\theta_3;\space\space E(Y_4)=\theta_1-\theta_2-\theta_3$ $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ $Var(Y_i)=\sigma^2$ $i=1,2,3,4.$

A. हैं। $\theta_1,\theta_2,\theta_3$

B. अनुमान योग्य है। $\theta_1+\theta_3$

C. अनुमान योग्य है और का सबसे अच्छा रैखिक निष्पक्ष अनुमान है । $\theta_1-\theta_3$ $\dfrac{1}{2}(Y_1+Y_3)$ $\theta_1-\theta_3$

डी। का अनुमान है। $\theta_2$

जवाब दिया गया है C जो मुझे अजीब लगता है (क्योंकि मुझे D मिला)।

मुझे डी क्यों मिला? चूंकि, । $E(Y_2-Y_4)=2\theta_2$

मुझे समझ में क्यों नहीं आता कि सी एक जवाब हो सकता है? ठीक है, मैं देख सकता हूँ, का एक निष्पक्ष आकलनकर्ता है , और इसका 'विचरण । $\dfrac{Y_1+Y_2+Y_3+Y_4}{4}$ $\theta_1-\theta_3$ $\dfrac{Y_1+Y_3}{2}$

कृपया बताएं कि मैं कहां गलत कर रहा हूं।

यहाँ भी पोस्ट किया गया: /math/2568894/a-problem-on-estimability-of-parameters

self-study estimation inference

— Stat_prob_001
स्रोत

में डाल self-studyटैग या किसी के साथ आते हैं और अपने प्रश्न बंद हो जाएगा।

— कार्ल

@ कार्ल यह हो गया है लेकिन क्यों?

— Stat_prob_001 12

उन्हें है नियम साइट के लिए, नहीं मेरे नियमों, साइट नियम।

— कार्ल

क्या ?

Y_{1} \neq Y_{3}

$Y_1\neq Y_3$

— कार्ल

@ इस तरह से आप सोच सकते हैं: जहां मतलब और विचरण साथ एक आरवी है । और, जहाँ मतलब और विचरण

Y_{1} = θ_{1} - θ_{3} + ϵ_{1}

$Y_1=\theta_1-\theta_3+\epsilon_1$

ϵ_{1}

$\epsilon_1$

0

$0$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{3} = θ_{1} - θ_{3} + ϵ_{3}

$Y_3=\theta_1-\theta_3+\epsilon_3$

ϵ_{3}

$\epsilon_3$

0

$0$

σ^{2}

$\sigma^2$

— rigma

जवाबों:

यह उत्तर अनुमानितता के सत्यापन पर जोर देता है। न्यूनतम विचरण संपत्ति मेरे द्वितीयक विचार की है।

आरंभ करने के लिए, एक रेखीय मॉडल के मैट्रिक्स रूप के संदर्भ में जानकारी को निम्नानुसार संक्षेपित करें: जहां (अनुमान पर चर्चा करने के लिए, गोलाकार धारणा आवश्यक नहीं है। लेकिन गॉस-मार्कोव संपत्ति पर चर्चा करने के लिए। हमें _ को मानने की आवश्यकता है )।

\begin{aligned} (1) & Y := [\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ Y_{3} \\ Y_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} θ_{1} \\ θ_{2} \\ θ_{3} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ε_{1} \\ ε_{2} \\ ε_{3} \\ ε_{4} \end{matrix}] := X β + ε, \end{aligned}

$\begin{align} Y := \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ Y_3 \\ Y_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \\ \theta_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \end{bmatrix}:= X\beta + \varepsilon, \tag{1} \end{align}$

E (ε) = 0, Var (ε) = σ^{2} I

$E(\varepsilon) = 0, \text{Var}(\varepsilon) = \sigma^2 I$

ε

$\varepsilon$

यदि डिज़ाइन मैट्रिक्स पूर्ण रैंक का है, तो मूल पैरामीटर एक अद्वितीय न्यूनतम-वर्ग अनुमान । नतीजतन, किसी भी पैरामीटर , रैखिक कार्य के रूप में परिभाषित के भावना है कि यह स्पष्ट रूप से कम से कम वर्गों के माध्यम से डेटा से अनुमान लगाया जा सकता में बहुमूल्य है का अनुमान है के रूप में । $X$ $\beta$ $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ $\phi$ $\phi(\beta)$ $\beta$ $\hat{\beta}$ $\hat{\phi} = p'\hat{\beta}$

सूक्ष्मता तब उत्पन्न होती है जब पूर्ण रैंक का नहीं होता है। पूरी तरह से चर्चा करने के लिए, हम पहले कुछ नोटिफिकेशन और शर्तों को ठीक करते हैं (मैं कोऑर्डिनेट-फ्री एप्रोच टू लिनियर मॉडल्स , सेक्शन 4.8 के कन्वेंशन का पालन करता हूं । कुछ शर्तें अनावश्यक रूप से तकनीकी लगती हैं)। इसके अलावा, चर्चा सामान्य रेखीय मॉडल पर साथ और । $X$ $Y = X\beta + \varepsilon$ $X \in \mathbb{R}^{n \times k}$ $\beta \in \mathbb{R}^k$

एक प्रतिगमन कई गुना मतलब वैक्टर के संग्रह के रूप है भिन्न होता है से अधिक : $\beta$ $\mathbb{R}^k$ $M = {X β : β \in R^{k}} .$ $M = \{X\beta: \beta \in \mathbb{R}^k\}.$

एक पैरामीट्रिक फंक्शनल एक फंक्शनल कार्यात्मक है , $\phi = \phi(\beta)$ $\beta$ $ϕ (β) = p^{'} β = p_{1} β_{1} + \dots + p_{k} β_{k} .$ $\phi(\beta) = p'\beta = p_1\beta_1 + \cdots + p_k\beta_k.$

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, जब , हर पैरामीट्रिक फंक्शनल अनुमानित नहीं है। लेकिन, रुकिए, तकनीकी रूप से अनुमानित शब्द की परिभाषा क्या है ? थोड़ा रैखिक बीजगणित को परेशान किए बिना एक स्पष्ट परिभाषा देना मुश्किल लगता है। एक परिभाषा, जो मुझे लगता है कि सबसे अधिक सहज है, इस प्रकार है (उसी उपर्युक्त संदर्भ से): $\text{rank}(X) < k$ $\phi(\beta)$

परिभाषा 1. एक पैरामीट्रिक फंक्शनलअनुमान लगाने योग्य है अगर यह विशिष्ट रूप सेद्वारा इस अर्थ मेंनिर्धारित किया जाताहै किजब भीसंतुष्ट। $\phi(\beta)$ $X\beta$ $\phi(\beta_1) = \phi(\beta_2)$ $\beta_1,\beta_2 \in \mathbb{R}^k$ $X\beta_1 = X\beta_2$

व्याख्या। उपरोक्त परिभाषा बताती है कि प्रतिगमन से मैपिंग से के पैरामीटर स्पेस में कई गुना वन-टू-वन होना चाहिए, जिसकी गारंटी तब होती है जब (यानी, जब ही एक है- एक को)। जब , हम जानते हैं कि वहाँ मौजूद है जैसे कि । प्रभाव में उपरोक्त अनुमानित परिभाषा उन संरचनात्मक-कमी वाले पैरामीट्रिक क्रियाओं को नियमबद्ध करती है जो पर समान मूल्य के साथ भी अलग-अलग मूल्यों का परिणाम देते हैं , जो स्वाभाविक रूप से समझ में नहीं आते हैं। दूसरी ओर, एक अनुमानित पैरामीट्रिक कार्यात्मक $M$ $\phi$ $\text{rank}(X) = k$ $X$ $\text{rank}(X) < k$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $M$ $\phi(\cdot)$ अनुमति नहीं है मामले के साथ , जब तक शर्त के रूप में पूरी हो जाती है। $\phi(\beta_1) = \phi(\beta_2)$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 = X\beta_2$

एक ही संदर्भ में दिए गए पैरामीट्रिक कार्यात्मक की अनुमानितता की जांच करने के लिए अन्य समकक्ष स्थितियां हैं, प्रस्ताव 8.4।

इस तरह के एक क्रिया पृष्ठभूमि परिचय के बाद, चलो अपने सवाल पर वापस आते हैं।

ए ही इस कारण से गैर-अनुमान्य है कि , जो कि साथ को । यद्यपि उपरोक्त परिभाषा स्केलर फ़ंक्शंस के लिए दी गई है, यह वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शंस के लिए आसानी से सामान्यीकृत है। $\beta$ $\text{rank}(X) < 3$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\beta_1 \neq \beta_2$

B. गैर-अनुमानित है। विचार करने के लिए, और , जो लेकिन । $\phi_1(\beta) = \theta_1 + \theta_3 = (1, 0, 1)'\beta$ $\beta_1 = (0, 1, 0)'$ $\beta_2 = (1, 1, 1)'$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\phi_1(\beta_1) = 0 + 0 = 0 \neq \phi_1(\beta_2) = 1 + 1 = 2$

C. अनुमान है। क्योंकि तुच्छता से , अर्थात, । $\phi_2(\beta) = \theta_1 - \theta_3 = (1, 0, -1)'\beta$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\theta_1^{(1)} - \theta_3^{(1)} = \theta_1^{(2)} - \theta_3^{(2)}$ $\phi_2(\beta_1) = \phi_2(\beta_2)$

डी है भी बहुमूल्य । से व्युत्पत्ति को भी तुच्छ है। $\phi_3(\beta) = \theta_2 = (0, 1, 0)'\beta$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\phi_3(\beta_1) = \phi_3(\beta_2)$

अनुमान सत्यापित होने के बाद, एक प्रमेय है (प्रस्ताव 8.16, उसी संदर्भ) में दावा है कि गॉस-मार्कोव की संपत्ति । उस प्रमेय के आधार पर, विकल्प C का दूसरा भाग गलत है। सबसे अच्छा रैखिक निष्पक्ष अनुमान नीचे दिए गए प्रमेय द्वारा । $\phi(\beta)$ $\bar{Y} = (Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4)/4$

प्रमेय। Letएक अनुमानी पैरामीट्रिक क्रियाशील होना चाहिए, फिर इसका सबसे अच्छा रैखिक निष्पक्ष अनुमान (उर्फ, गॉस-मार्कोव अनुमान)किसी भीलिएसामान्य समीकरणों। $\phi(\beta) = p'\beta$ $\phi(\hat{\beta})$ $\hat{\beta}$ $X'X\hat{\beta} = X'Y$

प्रमाण इस प्रकार है:

प्रमाण। सीधी गणना से पता चलता है कि सामान्य समीकरण जो, सरलीकरण के बाद, is अर्थात, ।
$[\begin{matrix} 4 & 0 & - 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 4 & 0 & 4 \end{matrix}] \hat{β} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}] Y,$ $\begin{equation} \begin{bmatrix} 4 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{bmatrix} \hat{\beta} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} Y, \end{equation}$ $[\begin{matrix} ϕ (\hat{β}) \\ {\hat{θ}}_{2} / 2 \\ - ϕ (\hat{β}) \end{matrix}] = [\begin{matrix} \bar{Y} \\ (Y_{2} - Y_{4}) / 4 \\ - \bar{Y} \end{matrix}],$ $\begin{equation} \begin{bmatrix} \phi(\hat{\beta}) \\ \hat{\theta}_2/2 \\ -\phi(\hat{\beta}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{Y} \\ (Y_2 - Y_4)/4 \\ -\bar{Y} \end{bmatrix}, \end{equation}$ $\phi(\hat{\beta}) = \bar{Y}$

इसलिए, विकल्प D एकमात्र सही उत्तर है।

परिशिष्ट: अनुमान और पहचान की क्षमता

जब मैं स्कूल में था, एक प्रोफेसर ने संक्षेप में उल्लेख किया कि पैरामीट्रिक फंक्शनल का अनुमान मॉडल की पहचान से मेल खाता है। मैंने इसके लिए यह दावा किया। हालांकि, समतुल्यता को अधिक स्पष्ट रूप से वर्तनी की आवश्यकता है। $\phi$

एसी डेविसन के मोनोग्राफ सांख्यिकीय मॉडल p.144 के अनुसार,

परिभाषा 2. एक पैरामीट्रिक मॉडल जिसमें प्रत्येक पैरामीटरएक अलग वितरण उत्पन्न करता है जिसे पहचान योग्य कहा जाता है । $\theta$

रैखिक मॉडल , गोलाकार स्थिति ध्यान दिए बिना , इसे रूप में सुधार किया जा सकता है। $(1)$ $\text{Var}(\varepsilon) = \sigma^2 I$

\begin{matrix} (2) & E [Y] = X β, β \in R^{k} . \end{matrix}

$\begin{equation} E[Y] = X\beta, \quad \beta \in \mathbb{R}^k. \tag{2} \end{equation}$

यह इतना सरल मॉडल है कि हमने केवल प्रतिक्रिया वेक्टर के पहले क्षण के रूप को निर्दिष्ट किया है । जब , मॉडल से पहचाने जाने योग्य है, जब से तात्पर्य (मूल वितरण में शब्द "वितरण" से स्वाभाविक रूप से "मतलब" तक कम हो जाता है) "अंडर मॉडल ।)। $Y$ $\text{rank}(X) = k$ $(2)$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 \neq X\beta_2$ $(2)$

अब मान लें कि और एक दिया पैरामीट्रिक फंक्शनल , हम परिभाषा 1 और परिभाषा 2 को कैसे सामंजस्य करते हैं ? $\text{rank}(X) < k$ $\phi(\beta) = p'\beta$

खैर, नोटेशन और शब्दों में हेरफेर करके, हम यह दिखा सकते हैं कि ("सबूत" बल्कि तुच्छ है) की अनुमान्यता उस मॉडल के बराबर है पहचान योग्य है जब यह पैरामीटर के साथ (डिज़ाइन मैट्रिक्स तदनुसार परिवर्तित होने की संभावना है)। साबित करने के लिए, मान लें कि अनुमान योग्य है ताकि तात्पर्य , परिभाषा के अनुसार, यह , इसलिए मॉडल की पहचान की जा सकती है जब साथ अनुक्रमण करता है । इसके विपरीत, मान लीजिए कि मॉडल पहचान योग्य है ताकि $\phi(\beta)$ $(2)$ $\phi = \phi(\beta) = p'\beta$ $X$ $\phi(\beta)$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $p'\beta_1 = p'\beta_2$ $\phi_1 = \phi_2$ $(3)$ $\phi$ $(3)$ $X\beta_1 = X\beta_2$ अर्थ है , जो तुच्छ । $\phi_1 = \phi_2$ $\phi_1(\beta) = \phi_2(\beta)$

सहज रूप से, जब को कम-रैंक किया जाता है, तो वाला मॉडल अतिरेक (बहुत अधिक पैरामीटर) पैरामीटर होता है, इसलिए एक गैर-निरर्थक निचला-आयामी पुनर्संरचना (जिसमें रैखिक कार्यों का संग्रह शामिल हो सकता है) संभव है। ऐसा नया प्रतिनिधित्व कब संभव है? कुंजी अनुमान है। $X$ $\beta$

उपरोक्त कथनों को स्पष्ट करने के लिए, आइए अपने उदाहरण पर पुनर्विचार करें। हमने पैरामीट्रिक फ़ंक्शंस को सत्यापित किया है और हैं। इसलिए, हम reparametrized पैरामीटर के संदर्भ में मॉडल को फिर से लिख सकते हैं रूप में इस प्रकार $\phi_2(\beta) = \theta_1 - \theta_3$ $\phi_3(\beta) = \theta_2$ $(1)$ $(\phi_2, \phi_3)'$

E [Y] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} ϕ_{2} \\ ϕ_{3} \end{matrix}] = \tilde{X} γ .

$\begin{equation} E[Y] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_2 \\ \phi_3 \end{bmatrix} = \tilde{X}\gamma. \end{equation}$

स्पष्ट रूप से, चूंकि पूर्ण-रैंक है, इसलिए नए पैरामीटर साथ मॉडल पहचान योग्य है। $\tilde{X}$ $\gamma$

— Zhanxiong
स्रोत

यदि आपको विकल्प सी के दूसरे भाग के लिए एक प्रमाण की आवश्यकता है, तो मैं अपने उत्तर को पूरक करूंगा।

— झांकोसिओंग

धन्यवाद! इस तरह के एक विस्तृत जवाब के लिए। अब, सी के दूसरे भाग के बारे में: मुझे पता है कि "सर्वश्रेष्ठ" न्यूनतम विचरण से संबंधित है। तो, क्यों नहीं नहीं है "सर्वश्रेष्ठ" ?

\frac{1}{4} (Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + Y_{4})

$\dfrac{1}{4}(Y_1+Y_2+Y_3+Y_4)$

— Stat_prob_001

ओह, मुझे नहीं पता कि मैंने सोचा था कि यह सी में अनुमानक है। वास्तव में सबसे अच्छा अनुमानक है। मेरे उत्तर को संपादित करेगा

(Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + Y_{4}) / 4

$(Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4)/4$

— Zhanxiong

परिभाषाएँ लागू करें।

मैं यह प्रदर्शित करने के लिए विवरण प्रदान करूंगा कि आप प्राथमिक तकनीकों का उपयोग कैसे कर सकते हैं: आपको अनुमान के बारे में किसी विशेष प्रमेय को जानने की आवश्यकता नहीं है, न ही के (सीमान्त) वितरण के बारे में कुछ भी मान लेना आवश्यक होगा । हमें उनके संयुक्त वितरण के क्षणों के बारे में एक लापता धारणा की आपूर्ति करने की आवश्यकता होगी । $Y_i$

परिभाषाएं

सभी रेखीय अनुमान के रूप में हैं के लिए स्थिरांक ।

t_{λ} (Y) = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i} Y_{i}

$t_\lambda(Y) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i Y_i$

λ = (λ_{i})

$\lambda = (\lambda_i)$

का एक अनुमानकर्ता निष्पक्ष है यदि और केवल इसकी अपेक्षा । अपेक्षा की रैखिकता द्वारा, $\theta_1-\theta_3$ $\theta_1-\theta_3$

\begin{aligned} θ_{1} - θ_{3} & = E [t_{λ} (Y)] = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i} E [Y_{i}] \\ = λ_{1} (θ_{1} - θ_{3}) + λ_{2} (θ_{1} + θ_{2} - θ_{3}) + λ_{3} (θ_{1} - θ_{3}) + λ_{4} (θ_{1} - θ_{2} - θ_{3}) \\ = (λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4}) (θ_{1} - θ_{3}) + (λ_{2} - λ_{4}) θ_{2} . \end{aligned}

$\eqalign{ \theta_1 - \theta_3 &= E[t_\lambda(Y)] = \sum_{i=1}^4 \lambda_i E[Y_i]\\ & = \lambda_1(\theta_1-\theta_3) + \lambda_2(\theta_1+\theta_2-\theta_3) + \lambda_3(\theta_1-\theta_3) + \lambda_4(\theta_1-\theta_2-\theta_3) \\ &=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)(\theta_1-\theta_3) + (\lambda_2-\lambda_4)\theta_2. }$

अज्ञात मात्राओं के गुणांक की तुलना में पता चलता है कि $\theta_i$

\begin{matrix} (1) & λ_{2} - λ_{4} = 0 and λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4} = 1. \end{matrix}

$\lambda_2-\lambda_4=0\text{ and }\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=1.\tag{1}$

रैखिक निष्पक्ष अनुमान के संदर्भ में, "सबसे अच्छा" हमेशा कम से कम विचरण के साथ होता है। का विचरण है $t_\lambda$

Var (t_{λ}) = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i}^{2} Var (Y_{i}) + \sum_{i \neq j}^{4} λ_{i} λ_{j} Cov (Y_{i}, Y_{j}) .

$\operatorname{Var}(t_\lambda) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i^2 \operatorname{Var}(Y_i) + \sum_{i\ne j}^4 \lambda_i\lambda_j \operatorname{Cov}(Y_i,Y_j).$

प्रगति करने का एकमात्र तरीका सहवास के बारे में एक धारणा जोड़ना है: सबसे अधिक संभावना है, सवाल यह है कि वे सभी शून्य हैं। (इसका मतलब यह नहीं है कि स्वतंत्र हैं। इसके अलावा, समस्या को उन धारणाओं को हल करके हल किया जा सकता है जो उन सहसंसाधनों को एक सामान्य गुणक स्थिरांक तक निर्धारित करती हैं। समाधान सहसंयोजक संरचना पर निर्भर करता है।) $Y_i$

चूंकि हम प्राप्त करते हैं $\operatorname{Var}(Y_i)=\sigma^2,$

\begin{matrix} (2) & Var (t_{λ}) = σ^{2} (λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2} + λ_{4}^{2}) . \end{matrix}

$\operatorname{Var}(t_\lambda) =\sigma^2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2).\tag{2}$

इसलिए समस्या की कमी अधीन है । $(2)$ $(1)$

समाधान

बाधाओं हमें से सिर्फ दो रैखिक संयोजनों के संदर्भ में सभी व्यक्त करने की अनुमति देते हैं। चलो और (जो रैखिक स्वतंत्र हैं)। इनसे तय होता है और जबकि बाधाओं का निर्धारण और । हमें केवल न्यूनतम , जिसे लिखा जा सकता है $(1)$ $\lambda_i$ $u=\lambda_1-\lambda_3$ $v=\lambda_1+\lambda_3$ $\lambda_1$ $\lambda_3$ $\lambda_2$ $\lambda_4$ $(2)$

σ^{2} (λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2} + λ_{4}^{2}) = \frac{σ^{2}}{4} (2 u^{2} + (2 v - 1)^{2} + 1) .

$\sigma^2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2) = \frac{\sigma^2}{4}\left(2u^2 + (2v-1)^2 + 1\right).$

कोई अड़चन लागू नहीं होती है । मान लें कि (ताकि चर सिर्फ स्थिरांक न हों)। चूंकि और केवल सबसे छोटे हैं, जब , यह अब स्पष्ट है कि अद्वितीय समाधान है $(u,v)$ $\sigma^2 \ne 0$ $u^2$ $(2v-1)^2$ $u=2v-1=0$

λ = (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, λ_{4}) = (1 / 4, 1 / 4, 1 / 4, 1 / 4) .

$\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4) = (1/4,1/4,1/4,1/4).$

विकल्प (C) गलत है क्योंकि यह सर्वश्रेष्ठ निष्पक्ष रैखिक अनुमानक नहीं देता है। विकल्प (डी), हालांकि यह पूरी जानकारी नहीं देता है, फिर भी सही है, क्योंकि

θ_{2} = E [t_{(0, 1 / 2, 0, - 1 / 2)} (Y)]

$\theta_2 = E[t_{(0,1/2,0,-1/2)}(Y)]$

एक रैखिक अनुमानक की उम्मीद है।

यह देखना आसान है कि न तो (ए) और न ही (बी) सही हो सकते हैं, क्योंकि रैखिक अनुमानकर्ताओं की अपेक्षाओं का स्थान और कोई भी नहीं है या उस स्थान में हैं। $\{\theta_2, \theta_1-\theta_3\}$ $\theta_1,\theta_3,$ $\theta_1+\theta_3$

नतीजतन (डी) अद्वितीय सही उत्तर है।

— व्हीबर
स्रोत