क्या दो सममित आर.वी. के बीच अंतर भी एक सममित वितरण है?

अगर मेरे पास और साथ दो अलग सममितियां हैं (तो माध्य के संबंध में) , तो क्या अंतर भी सममित (माध्यिका के संबंध में) वितरण है? $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median

— Alessio93
स्रोत

के वितरण , यह संतुलित-वितरित यादृच्छिक चर के बीच अंतर का वितरण एक "दो वितरण के बीच अंतर" नहीं है; में अंतर वितरण होगा ; जो वितरण नहीं है; इसी तरह pdfs का एक अंतर pdf नहीं होगा ... कृपया अपना शीर्षक विवरण संशोधित करें

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@ गलेन_ बी: मैंने ऐसा कहने के लिए ओपी के शीर्षक को संपादित किया, लेकिन भविष्य में कृपया आगे बढ़ें और इसे स्वयं संपादित करें। बोलचाल की भाषा में मुझे लगता है कि हर कोई समझता था कि ओपी का मतलब क्या है।

— smci

@smci वास्तव में, मैंने ओपी को एक कारण के लिए खुद करने के बजाय इसे करने के लिए चुना (यदि आप मेरी प्रोफ़ाइल की जांच करते हैं तो आप देखेंगे कि मेरे पास 3100 से अधिक पोस्ट संपादित हैं - मैं संपादन के बारे में सामान्य नियम समझता हूं)। यद्यपि मदद करने के लिए धन्यवाद, हालांकि। मुझे लगता है कि साइट पर नौसिखिया सवालों के एक बड़े हिस्से को हल करने का मतलब व्यक्त करने के साथ थोड़ी और देखभाल करना होगा; और मुझे लगता है कि एक शीर्षक में स्पष्टता विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

जवाबों:

चलो और हो पीडीएफ़ माध्यिकाओं के बारे में सममित और क्रमशः। जब तक और स्वतंत्र होते हैं, तब तक अंतर की संभावना वितरण , और , अर्थात $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

जहां बस से अधिक पीडीएफ है मंझला के साथ $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

सहज रूप से, हम अपेक्षा करेंगे कि परिणाम बारे में सममित हो ताकि हम ऐसा प्रयास करें। $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

दूसरी पंक्ति में मैंने अभिन्न में प्रतिस्थापन का उपयोग किया। तीसरी लाइन में, मैं दोनों समरूपता इस्तेमाल किया के बारे में और की के बारे मेंयह साबित करता है कि बारे में सममित है अगर बारे में सममित और बारे में सममित है $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

यदि और स्वतंत्र नहीं थे, और और केवल सीमांत वितरण थे, तो हमें संयुक्त वितरण, को जानना होगाफिर, इंटीग्रल में, हमें को से बदलना होगाहालांकि, सिर्फ इसलिए कि सीमांत वितरण सममित हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि संयुक्त वितरण इसके प्रत्येक तर्क के बारे में सममित है। तो आप इसी तरह के तर्क को लागू नहीं कर सकते थे। $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$

— Bridgeburners
स्रोत

यह और बीच संबंधों पर निर्भर करता है , यहाँ एक काउंटर उदाहरण है जहाँ और सममित हैं, लेकिन नहीं है: $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

तो यहाँ का माध्यिका समान नहीं है जैसा कि मंझले और का अंतर सममित नहीं है। $x-y$ $x-y$

संपादित करें

यह @ व्ह्यूबर संकेतन में स्पष्ट हो सकता है:

असतत समान वितरण पर विचार करें जहां और इस तरह से संबंधित हैं कि आप केवल निम्नलिखित जोड़े में से एक का चयन कर सकते हैं: $x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

यदि आप पूर्ण संयुक्त वितरण में सोचने पर जोर देते हैं तो उस स्थिति पर विचार करें जहां किसी भी मान ले सकता है और मान ले सकता है और संयोजन 25 में से किसी भी जोड़े को ले सकता है। लेकिन ऊपर दी गई जोड़ियों की संभावना 16% है और अन्य सभी संभावित जोड़ियों में 1% की संभावना है। का सीमांत वितरण एक समान होगा जो प्रत्येक मान में 20% संभावना है और इसलिए 0 के माध्यिका के बारे में सममित है, वही लिए सही है । संयुक्त वितरण से एक बड़ा नमूना लें और सिर्फ या सिर्फ $x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ और आपको एक समान सीमांत वितरण (सममित) दिखाई देगा, लेकिन अंतर और परिणाम सममित नहीं होगा। $x-y$

— ग्रेग हिमपात
स्रोत

मैं इस उदाहरण को बिल्कुल नहीं समझता। यदि 4 के बराबर हो सकता है और उदाहरण 1 के बराबर हो सकता है, तो 3 होने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन आप इस संभावना को सूचीबद्ध नहीं करते हैं। हो सकता है कि मैं आपके उदाहरण को गलत समझूं; ये तीन वैक्टर क्या हैं?

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

— अमीबा

x

$x$ और उसके उदाहरण में स्वतंत्र नहीं हैं। के बारे में सोचो , , और कुछ यादृच्छिक चर के कार्य होने के रूप में प्रत्येक वेक्टर में अनुक्रमित है। फिर अगर , , , और

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

— Moormanly

यदि आप और को स्वतंत्र नहीं होने का विचार कर रहे हैं , तो आप वास्तव में को द्विभाजित यादृच्छिक चर के रूप में देख रहे हैं । जैसे कि आप क्या प्रदर्शित करते हैं कि सममितीय मार्जिन का अर्थ यह नहीं है कि संयुक्त वितरण सममित है। यह एक अच्छा अवलोकन है, लेकिन इस जवाब में संकेतन भ्रमित है। यह द्विभाजित संकेतन में डेटा का वर्णन करने के लिए स्पष्ट हो सकता है ।

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

— whuber

@amoeba, यह और बीच के संबंध पर निर्भर करता है , यदि वे स्वतंत्र या कमजोर रूप से निर्भर हैं, तो हाँ ऐसा मामला हो सकता है, जैसा आप कहते हैं, लेकिन मेरा उदाहरण 2 चर के बीच मजबूत निर्भरता है। यदि X इंच में ऊँचाई थी और y सेंटीमीटर में ऊँचाई थी तो एक संभावित मान है, और एक संभावित मान है, लेकिन उसी वस्तु के लिए एक ही समय में नहीं।

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

— ग्रेग स्नो

टिप्पणियों और संपादन ने स्पष्ट किया है कि आपका क्या मतलब है। धन्यवाद।

— अमीबा

आपको सामान्य रूप से धारण करने के लिए X और Y के बीच स्वतंत्रता का अनुमान लगाना होगा। परिणाम प्रत्यक्ष रूप से निम्नानुसार है क्योंकि का वितरण सममित कार्यों का एक दृढ़ संकल्प है, जो सममित भी है। $X-Y$

— Moormanly
स्रोत