तीन सहसंबद्ध समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर उत्पन्न करें

Question

मान लीजिए हमारे पास है

$$X_1 \sim \textrm{unif}(n,0,1),$$ $$X_2 \sim \textrm{unif}(n,0,1),$$

जहाँ आकार n का समान यादृच्छिक नमूना है, और$\textrm{unif}(n,0,1)$

$$Y=X_1,$$

$$Z = 0.4 X_1 + \sqrt{1 - 0.4}X_2.$$

तब के बीच संबंध और है ।$Y$$Z$$0.4$

मैं इसे तीन चर में कैसे विस्तारित कर सकता हूं: , , ?एक्स 2 एक्स $X_1$$X_2$$X_3$

Comments

मैंने आपके प्रश्न को संपादित करना आसान बना दिया है। कृपया, सब कुछ ठीक है की जाँच करें। अपने प्रश्न के संबंध में, आप किस अर्थ में अपनी प्रक्रिया का विस्तार करेंगे? सहसंबंध दो यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए मेरे लिए यह स्पष्ट नहीं है कि आपको क्या मतलब है।

— ओकराम

एक समान नहीं है, इसलिए यदि आप उस परिणाम को सामान्य बनाने की कोशिश कर रहे हैं तो ऐसा नहीं लगता कि आप तीन सह-संबद्ध वर्दी आरवी उत्पन्न करने का प्रयास कर रहे हैं। आप कैसे के बीच संबंध की गणना करने के बारे में सोच रहे हैं एक्स 1 और एक एक्स 1 + ख एक्स 2 + ग एक्स 3 ? $Z$$X_1$$aX_1+bX_2+cX_3$

— MånsT

मान लीजिए कि हमने , X 2 , X 3 u n i f ( n , 0 , 1 ) , और Y = f ( X 2 , X 3 ) , Z = f ( X 1 , X 2 , X 3 ) । फिर Y और Z क्या हैं ? $X_1$$X_2$$X_3$ $~unif(n,0,1)$$Y=f(X_2,X_3)$$Z=f(X_1,X_2,X_3)$$Y$$Z$

— user9292

$$\{\text{Distributions of correlated uniforms}\} \subset \{\text{Copulas}\}$$

— कार्डिनल

N चर्चा में क्यों आता है? अगर X1 और X2 अनवेरिअट रैंडम वैरिएबल हैं तो क्या वे केवल [0,1] पर समान नहीं हैं?

— माइकल आर। चेर्निक

Answer 1

इस प्रश्न में टिप्पणियों में उल्लिखित कई त्रुटियां हैं - जैसा कि प्रश्न में परिभाषित है, जेड न तो एक समान है और न ही निर्दिष्ट सहसंबंध है।

कार्डिनल कापियों का उल्लेख करता है, और इसके बारे में जाने का सबसे सामान्य तरीका है। हालांकि, सहसंबद्ध वर्दी प्राप्त करने के कई आसान तरीके हैं (जिन्हें विभिन्न प्रकार के कोपलों के लिए मात्र शॉर्टकट के रूप में देखा जा सकता है)।

तो चलो सहसंबद्ध वर्दी की एक जोड़ी पाने के लिए कुछ तरीकों से शुरू करते हैं।

1) यदि आप दो वर्दी जोड़ते हैं तो परिणाम त्रिकोणीय है, एक समान नहीं। लेकिन आप परिणामी चर के cdf का उपयोग कर परिणाम को एक समान रूप में ले सकते हैं। परिणाम निश्चित रूप से किसी भी अधिक सहसंबद्ध नहीं है, निश्चित रूप से।

यहां एक समरूप त्रिकोणीय पर (0,2) को मानक वर्दी में बदलने के लिए एक आर फ़ंक्शन है

t2u = function(x) ifelse(x<1, x^2, 2-(2-x)^2)/2

आइए देखें कि यह एक वर्दी देता है

u1 = runif(30000)
u2 = runif(30000)
v1 = t2u(u1+u2)

और यह u1 और u2 के साथ सहसंबद्ध है:

> cor(cbind(u1,u2,v1))
            u1          u2        v1
u1 1.000000000 0.006311667 0.7035149
u2 0.006311667 1.000000000 0.7008528
v1 0.703514895 0.700852805 1.0000000

लेकिन एकरूपता के लिए एकरस परिवर्तन के कारण रैखिक रूप से नहीं

इसके साथ एक उपकरण के रूप में हम तीन समान वर्दी पाने के लिए कुछ अतिरिक्त चर उत्पन्न कर सकते हैं:

u3 = runif(30000)
v2 = t2u(u1+u3)
v3 = t2u(u2+u3)

cor(cbind(v1,v2,v3))
          v1        v2        v3
v1 1.0000000 0.4967572 0.4896972
v2 0.4967572 1.0000000 0.4934746
v3 0.4896972 0.4934746 1.0000000

वी-चर के बीच संबंध इस तरह दिखता है:

-

एक दूसरा विकल्प एक मिश्रण लेकर उत्पन्न करना है । समरूप वर्दी के बजाय, उन्हें निश्चित संभावनाओं के साथ लें।

जैसे

z = ifelse(rbinom(30000,1,.7),u1,u2)

cor(cbind(u1,z))
          u1         z
u1 1.0000000 0.7081533
z  0.7081533 1.0000000

जिसका उपयोग फिर से कई सहसंबद्ध वर्दी बनाने के लिए किया जा सकता है।

-

एक तीसरा सरल तरीका सहसंबद्ध मानदंडों को उत्पन्न करना और एकरूपता में बदलना है।

n1=rnorm(30000)
n2=rnorm(30000)
n3=rnorm(30000)
x=.6*n1+.8*n2
y=.6*n2+.8*n3
z=.6*n3+.8*n1
cor(cbind(x,y,z))

          x         y         z
x 1.0000000 0.4763703 0.4792897
y 0.4763703 1.0000000 0.4769403
z 0.4792897 0.4769403 1.0000000

तो अब हम वर्दी में परिवर्तित होते हैं:

w1 = pnorm(x)
w2 = pnorm(y)
w3 = pnorm(z)
cor(cbind(w1,w2,w3))
          w1        w2        w3
w1 1.0000000 0.4606723 0.4623311
w2 0.4606723 1.0000000 0.4620257
w3 0.4623311 0.4620257 1.0000000

विधियों 2 और 3 के बारे में एक अच्छी बात यह है कि आपको अपनी पसंद में बहुत विविधता मिलती है कि कैसे सहसंबद्ध चीजें हो सकती हैं (और उन्हें यहां उदाहरणों की तरह समान होना नहीं है)।

पाठ्यक्रम के अन्य तरीकों की एक बड़ी विविधता है, लेकिन ये सभी त्वरित और आसान हैं।

मुश्किल हिस्सा वास्तव में वांछित जनसंख्या सहसंबंध प्राप्त कर रहा है; यह इतना सरल नहीं है, जब आप केवल गॉसियन से संबंधित चाहते हैं। क्वांटिबेक्स के उत्तर को समान रूप से वितरित और सहसंबद्ध यादृच्छिक संख्याओं के जोड़े उत्पन्न करता है जो मेरे तीसरे तरीके को यहां संशोधित करता है जो वांछित जनसंख्या सहसंबंध के बारे में बताता है।

Comments

Glen_b। धन्यवाद, बहुत सुंदर और दिलचस्प जवाब!

— user9292

मुझे समझ नहीं आ रहा है कि आपके तीसरे दृष्टिकोण में 0.6 और 0.8 कहाँ से आते हैं।

— मैनुअल

$\rho$$\rho N_i + \sqrt{1-\rho^2} N_j$$N_i$$N_j$$\rho$$N_i$$\sqrt{1-\rho^2}$$N_j$$X$$Y$$Z$

Answer 2

$X_1,X_2$$Z$$X_1$ $0.4$$0.4$$Y$$Y = 0.4X_1+\sqrt{1-(0.4)^2}X_2$

$\rho$$\cos$$2$$3$$\cos$$0$

यह आपको अपने घटकों में एक श्रृंखला को विघटित करने के तरीके पर शुरू करना चाहिए जिस तरह से आप अपने ऑर्थोडोनियल घटकों में एक वेक्टर को विघटित करेंगे।