एक सीमित अनंत प्रक्रिया के प्रत्येक चरण में, एक कलश में 10 गेंदें डालें और एक को यादृच्छिक पर हटा दें। कितनी गेंदें बची हैं?

Question

प्रश्न (थोड़ा संशोधित) इस प्रकार है और यदि आपने पहले कभी इसका सामना नहीं किया है तो उदाहरण के लिए 6a, अध्याय 2, शेल्डन रॉस के ' ए फर्स्ट कोर्स इन प्रोबेबिलिटी ' में देख सकते हैं :

मान लीजिए कि हमारे पास असीम रूप से बड़ा कलश है और बॉल नंबर 1, नंबर 2, नंबर 3 और इसी तरह से लेबल वाली गेंदों का अनंत संग्रह है। निम्नानुसार किए गए प्रयोग पर विचार करें: 1 मिनट से 12 बजे तक, 10 के माध्यम से गिने गए 1 गेंदों को कलश में रखा जाता है और एक गेंद को यादृच्छिक रूप से हटा दिया जाता है। (मान लें कि निकासी में कोई समय नहीं लगता है।) दोपहर 1 बजकर 12 मिनट पर, 20 की संख्या में 11 गेंदों को कलश में रखा जाता है और दूसरी गेंद को यादृच्छिक रूप से हटाया जाता है। 1/4 मिनट 12P.M. पर, 30 के माध्यम से 21 की संख्या वाली गेंदों को कलश में रखा जाता है और एक और गेंद यादृच्छिक पर हटा दी जाती है ... और इसी तरह। ब्याज का सवाल है, 12 बजे कलश में कितनी गेंदें हैं?

यह सवाल, जैसा कि यह सामने आया है, मूल रूप से हर कोई इसे गलत होने के लिए मजबूर करता है --- आमतौर पर अंतर्ज्ञान यह कहने के लिए होता है कि अपराह्न 12 बजे अपराह्न कई गेंदें होंगी। हालांकि, रॉस द्वारा प्रदान किया गया उत्तर, संभावना है कि एक कलश खाली होगा। दोपहर 12 बजे

संभाव्यता सिद्धांत को पढ़ाने के दौरान यह समस्या उनमें से एक है जिसके लिए एक अच्छा सहज ज्ञान युक्त स्पष्टीकरण देना बहुत कठिन है।

एक तरफ, आप इसे इस तरह समझाने की कोशिश कर सकते हैं: "किसी भी गेंद की संभावना के बारे में सोचें जो कि 12 बजे कलश पर हो रही है। अनंत यादृच्छिक ड्रॉ के दौरान, इसे अंततः हटा दिया जाएगा। चूंकि यह सभी गेंदों के लिए है, कोई भी नहीं। उनमें से अंत में हो सकता है "।

हालांकि, छात्र आपके साथ सही ढंग से बहस करेंगे: "लेकिन मैं हर बार 10 गेंदें डाल रहा हूं और 1 गेंद निकाल रहा हूं। यह असंभव है कि अंत में शून्य गेंदें हों"।

इन परस्पर विरोधी अंतर्द्वंद्वों को हल करने के लिए हम उन्हें सबसे अच्छी व्याख्या क्या दे सकते हैं?

मैं इस तर्क के लिए भी खुला हूँ कि यह प्रश्न अ-विचारित है और यदि हम इसे बेहतर रूप में प्रस्तुत करते हैं तो "विरोधाभास" गायब हो जाता है या इस तर्क के लिए कि विरोधाभास "विशुद्ध रूप से गणितीय" है (लेकिन कृपया इसके बारे में सटीक होने का प्रयास करें)।

Comments

+1। मुझे वह संस्करण पसंद है जहां कलश गेंदों के साथ शुरू होता है (और एक को हटा दिया जाता है), फिर एक और जोड़ा जाता है (और एक को हटा दिया जाता है), फिर एक और जोड़ा जाता है, आदि :-) @Neil वह तर्क क्या है, बिल्कुल? क्या आप इसे स्केच कर सकते हैं? ४ $2$$4$$8$

— whuber

बहुत सी गलतफहमियाँ और संभावना के बारे में बहुत सी उलझनें सीमा और अनन्तताओं की समस्याओं से आती हैं। यह इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण है क्योंकि @ enumaris का उत्तर अच्छी तरह से समझाता है। यह एक पाठ्यपुस्तक उदाहरण का एक उत्कृष्ट उदाहरण है जो केवल छात्रों को इस निष्कर्ष पर ले जाएगा कि वे विषय में सफल नहीं हो सकते हैं।

— माइकल ल्यू

हालांकि यह स्पष्ट है कि प्रत्येक विशेष गेंद पर आधी रात को कलश में होने की संभावना शून्य है, यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि पैटर्न के सेट पर एक अच्छी तरह से परिभाषित संभाव्यता वितरण है, जो गेंदों को आधी रात को छोड़ दिया जाता है, या एक कुआँ है - "आधी रात को कितनी गेंदें?" चर पर संभावित संभावना वितरण।

— अपवर्जित और बंद

या अधिक सटीक रूप से, नमूना स्थान यहां किस समय गेंद को हटा दिया जाता है, इसके विकल्पों के अनंत अनुक्रम हैं। यह स्पष्ट नहीं है कि नमूने के स्थान पर एक उचित -algebra है जिसके लिए "आधी रात को कितनी गेंदें हैं?" एक औसत दर्जे का कार्य है। $\sigma$

— निकाले गए और नाराज

अब तक इस धागे में 10+ उत्तर और शायद 100+ टिप्पणियां हैं, लेकिन ऐसा लगता है कि अधिकांश लोग रॉस की पुस्तक में देखने के लिए परेशान नहीं हुए (जब मैं शीर्षक को Google के बीच एक सीधा लिंक पीडीएफ में प्राप्त करता हूं) पहले कुछ परिणाम)। वहां की प्रस्तुति बहुत स्पष्ट है। विशेष रूप से, रॉस दो गैर-संभाव्य विविधताओं के साथ शुरू होता है, जो आधी रात को या तो अनंत या शून्य गेंदों का नेतृत्व करता है। इससे पहले कि यह समझ में आ जाए, यह संभाव्य रूप से आगे बढ़ने का कोई मतलब नहीं है। लेकिन ऐसा लगता है कि यहां कई विवाद इन दो प्रारंभिक मामलों के बारे में असहमत हैं ।

— अमीबा

Answer 1

रॉस ने अपनी पाठ्यपुस्तक में उदाहरण 6a में इस "विरोधाभास" के तीन संस्करणों का वर्णन किया है । प्रत्येक संस्करण में, 10 गेंदों को कलश में जोड़ा जाता है और प्रक्रिया के प्रत्येक चरण पर 1 गेंद को हटा दिया जाता है।

1. पहले संस्करण में, वें गेंद पर निकाल दिया जाता है वें कदम। आधी रात के बाद असीम रूप से कई गेंदों को छोड़ दिया जाता है क्योंकि संख्याओं वाली सभी गेंदें शून्य में समाप्त नहीं होती हैं।$10n$$n$

2. दूसरे संस्करण में, -th बॉल को -th स्टेप पर हटा दिया जाता है । आधी रात के बाद शून्य गेंदें बची हैं क्योंकि प्रत्येक गेंद को अंततः इसी चरण पर हटाया जाना है।$n$$n$

3. तीसरे संस्करण में, गेंदों को यादृच्छिक रूप से समान रूप से हटा दिया जाता है। रॉस प्रत्येक गेंद की संभावना को चरण द्वारा हटाए जाने की संभावना की गणना करता है और पाता है कि यह रूप में परिवर्तित हो जाता है (ध्यान दें कि यह स्पष्ट नहीं है! वास्तव में गणना करने के लिए एक प्रदर्शन करना होगा)। इसका मतलब है, बोले की असमानता से , कि अंत में शून्य गेंदों के होने की संभावना भी ।1 एन → ∞ $n$$1$$n\to\infty$$1$

आप कह रहे हैं कि यह अंतिम निष्कर्ष सहज और समझाने के लिए कठिन नहीं है; यह बहुत ही उलझन में इस उलझन में कई जवाब और टिप्पणियों द्वारा समर्थित है। हालांकि, दूसरे संस्करण का निष्कर्ष बिल्कुल अन-सहज है! और इसकी संभावना या आँकड़ों से कोई लेना- देना नहीं है। मुझे लगता है कि एक के बाद दूसरा संस्करण स्वीकार करता है, तीसरे संस्करण के बारे में विशेष रूप से आश्चर्य की बात नहीं है।

इसलिए जबकि "संभाव्य" चर्चा तीसरे संस्करण के बारे में होनी चाहिए [@ paw88789, @Paul, और @ekvall द्वारा बहुत ही व्यावहारिक जवाब देखें "" दार्शनिक "चर्चा के बजाय दूसरे संस्करण पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए जो बहुत आसान है और समान है हिल्बर्ट के होटल में आत्मा ।

---

दूसरे संस्करण को रॉस-लिटिलवुड विरोधाभास के रूप में जाना जाता है । मैं विकिपीडिया पृष्ठ से जुड़ता हूं, लेकिन वहां चर्चा बहुत ही भ्रामक है और मैं इसे पढ़ने की सलाह नहीं देता। इसके बजाय, वर्षों पहले से इस MathOverflow के धागे पर एक नज़र डालें । यह अब तक बंद है, लेकिन कई बहुत ही बोधगम्य उत्तर हैं। उत्तरों का एक संक्षिप्त सारांश जो मुझे सबसे महत्वपूर्ण लगता है वह इस प्रकार है।

हम चरण बाद कलश में मौजूद गेंदों के एक सेट को परिभाषित कर सकते हैं । हमारे पास , , आदि है । सेट के अनुक्रम की सीमा की गणितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित धारणा है और एक कठोरता से साबित हो सकता है " इस अनुक्रम की सीमा मौजूद है और खाली सेट । वास्तव में, कौन सी गेंदें सीमा निर्धारित की जा सकती हैं? केवल वही जो कभी निकाले नहीं जाते। लेकिन हर गेंद को आखिरकार हटा दिया जाता है। इसलिए सीमा खाली है। हम लिख सकते हैं । एन एस 1 = { 2 , ... 10 } एस 2 = { 3 , ... 20 } ∅ एस एन → $S_n$$n$$S_1=\{2,\ldots 10\}$$S_2=\{3,\ldots 20\}$$\varnothing$$S_n \to \varnothing$

उसी समय, संख्यासेट में गेंदों की , जिसे इस सेट की रूप में भी जाना जाता है, बराबर है । अनुक्रम स्पष्ट रूप से विचलन कर रहा है, जिसका अर्थ है कि कार्डिनैलिटी कार्डिनैलिटी में परिवर्तित होती है , जिसे एलेफ-शून्य । 0 के रूप में भी जाना जाता है । तो हम लिख सकते हैं कि | एस एन | → ℵ 0 ।एस एन 10 एन - एन = 9 एन 9 एन $|S_n|$$S_n$$10n-n=9n$$9n$$\mathbb N$ $\aleph_0$$|S_n|\to \aleph_0$

अब "विरोधाभास" यह है कि ये दोनों कथन एक-दूसरे के विपरीत प्रतीत होते हैं:

$$\begin{align} S_n &\to \varnothing \\ |S_n| &\to \aleph_0 \ne 0 \end{align}$$

| एस एन | = 9 एन एन ∈ एन | एस ω | ∞ | एस ω

$$\lim |S_n| \ne |\lim S_n|.$$ $|S_n|=9n$$n\in \mathbb N$$|S_\omega|$$\infty$$|S_\omega|$

इसलिए मुझे लगता है कि हम वास्तव में इससे बाहर निकलते हैं कि निष्कर्ष यह है कि कार्डिनैलिटी लेना एक असंतुलित ऑपरेशन है ... [@HarryAltman]

इसलिए मुझे लगता है कि यह विरोधाभास सिर्फ यह मानने की प्रवृत्ति है कि "सरल" ऑपरेशन निरंतर हैं। [@NateEldredge]

---

यह सेट के बजाय फ़ंक्शंस के साथ समझना आसान है। सेट एक विशेषता (उर्फ सूचक) फ़ंक्शन पर जो कि एक के बराबर परिभाषित किया गया है अंतराल और शून्य कहीं और। पहले दस कार्य इस तरह दिखते हैं (@ Hurkyl के उत्तर से ASCII कला की तुलना करें):S n [ n , 10 n $f_n(x)$$S_n$$[n, 10n]$

$\quad\quad\quad$

हर कोई इस बात से सहमत होगा कि प्रत्येक बिंदु के लिए , हमारे पास । इस परिभाषा के अनुसार इसका मतलब है कि कार्यों कार्य करने के लिए अभिसरण । फिर, हर कोई इससे सहमत होगा। हालाँकि, निरीक्षण करें कि इन कार्यों के इंटीग्रल बड़े और बड़े होते हैं और इंटीग्रल्स डाइवर्ज का क्रम। दूसरे शब्दों में, लिम च n ( एक ) = 0 च n ( x ) जी ( x ) = 0 ∫ ∞ 0 च ( एक्स ) घ एक्स = 9 $a\in\mathbb R$$\lim f_n(a) = 0$$f_n(x)$$g(x)=0$$\int_0^\infty f(x)dx = 9n$

$$\lim\int f_n(x)dx \ne \int \lim f_n(x) dx.$$

यह पूरी तरह से मानक और परिचित विश्लेषण परिणाम है। लेकिन यह हमारे विरोधाभास का सटीक सुधार है!

समस्या को औपचारिक रूप देने का एक अच्छा तरीका यह है कि एक सेट ( का उपसमूह ) के रूप में गुड़ की स्थिति का वर्णन नहीं किया जाता है , क्योंकि उन लोगों की सीमाएं लेना मुश्किल है, लेकिन इसकी विशेषता फ़ंक्शन के रूप में। पहला "विरोधाभास" यह है कि पॉइंट वाइज सीमाएं समान सीमा के समान नहीं हैं। [@ TheoJohnson-Freyd]$\mathbb N$

महत्वपूर्ण बिंदु है कि "में है आधी रात दोपहर" पूरे अनंत अनुक्रम है पहले ही बीत , यानी हम एक "trasfinite कूद" बना दिया है और करने के लिए आ transfinite राज्य । इंटीग्रल का मान " आधी रात को " है , जो दूसरे तरीके से नहीं, बल्कि के इंटीग्रल का मान होना चाहिए ।लिम च $f_\omega = \lim f_n(x)$$\lim f_n$

---

कृपया ध्यान दें कि इस धागे के कुछ उत्तर अत्यधिक उत्थान के बावजूद भ्रामक हैं।

विशेष रूप से, @cmaster lim_ गणना करता है, जो वास्तव में अनंत है, लेकिन विरोधाभास के बारे में यह नहीं पूछता है। विरोधाभास चरणों के पूरे अनंत अनुक्रम के बाद क्या होता है, इसके बारे में पूछता है; यह एक ट्रांसफ़ेक्टेन निर्माण है और इसलिए हमें गणना करने की आवश्यकता है जो कि ऊपर बताए अनुसार शून्य के बराबर है।ballCount ( एस ω$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ballCount}(S_n)$$\operatorname{ballCount}(S_\omega)$

Comments

आपका जवाब @ paw88789 के जवाब के साथ परस्पर विरोधी अंतर्ज्ञान को हल करने के लिए पर्याप्त है। मूल रूप से कोई भी कह सकता है: (i) आपका अंतर्ज्ञान विफल हो जाएगा क्योंकि कार्डिनैलिटी निरंतर नहीं है; और, (ii) यदि भौतिक सादृश्य आपको परेशान करता है, तो निम्नलिखित प्रश्न के बारे में सोचें: क्या "निष्कासन" फ़ंक्शन विशेषण है? संभाव्य संस्करण में, क्या संभावना है कि हम एक विशेषण का नक्शा चुनें? बेशक, अभी भी यह बात है कि क्या ये ऑब्जेक्ट किसी वास्तविक घटना को मॉडल कर सकते हैं, लेकिन यह एक अलग समस्या है। कुल मिलाकर, मैं रॉस के उदाहरण की और भी अधिक सराहना करता हूं। $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

— कार्लोस सिनेली

@MichaelLew गणित में कई काउंटर-सहज परिणाम हैं, और यह उनमें से एक है। सेट S1 = {2, ... 10}, S2 = {3, ... 20}, आदि का एक क्रम खाली सेट में परिवर्तित होता है, हालांकि प्रत्येक बाद के सेट में पिछले एक से अधिक तत्व होते हैं। यह कैसा है बस यही है। कृपया ध्यान दें कि विरोधाभास का निर्माण यह पूछता है कि अनंत चरणों के बाद क्या होता है । स्पष्ट रूप से इस तरह के सेटअप का भौतिक दुनिया से कोई संबंध नहीं है; यह एक गणितीय अमूर्तता है, और इस तरह से संपर्क किया जाना चाहिए। [cont।]

— अमीबा

[cont।] शिशु के साथ काम करते समय अंतर्ज्ञान विफल हो सकते हैं, इसलिए किसी को गणितीय कठोरता पर निर्भर रहना पड़ता है। शायद यह सुधार आपको मदद करेगा: उन कार्यों के अनुक्रम पर विचार करें जहां एन-वें फ़ंक्शन एक अंतराल के अलावा हर जगह शून्य है [एन + 1, 10 एन]। यह क्रम एक ऐसे फ़ंक्शन में परिवर्तित होता है जो निरंतर शून्य होता है, भले ही प्रत्येक बाद के फ़ंक्शन में एक लंबा गैर-शून्य अंतराल हो। हम में से अधिकांश सेटों के अभिसरण की तुलना में कार्यों के अभिसरण से अधिक परिचित हैं, इसलिए इस सुधार को समझना आसान हो सकता है।

— अमीबा

@Martijn कार्यों की ओर अभिसरित क्योंकि प्रत्येक बिंदु के लिए यह सच है कि सभी के लिए , यानी परिभाषा से । उसी समय, इंटीग्रल बदल जाता है क्योंकि । यह एक विरोधाभास नहीं है क्योंकि । एक ही उन्हें विनिमय कर सकता है जब तथाकथित समान अभिसरण धारण किया जाता है जो सरल (बिंदुवार) अभिसरण की तुलना में बहुत मजबूत स्थिति है। यह mathoverflow.net/a/7113 में दिया गया है । जी ( x ) = 0 एक ∈ आर एफ एन ( एक ) = 0 एन > एक ∫ च n ∫ च n = 9 n - 1 → ∞ लिम ∫ ≠ ∫ $f_n(x)=I([n+1, 10n])$$g(x) =0$$a\in\mathbb R$$f_n(a)=0$$n>a$$\int f_n$$\int f_n=9n-1\to\infty$$\lim\int \ne \int\lim$

— अमीबा

इसे समझाने का एक और तरीका है, निम्नलिखित से पूछना: क्या संख्याएँ या प्राकृतिक संख्याएँ अधिक हैं? हालांकि किसी भी परिमित अंतराल में अधिक प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं, फिर भी उनमें वास्तव में एक ही कार्डिनलिटी होती है। उसके बाद, क्या या प्राकृतिक संख्याओं के अधिक गुणक हैं ? फिर से, ज्यादातर लोग सहमत हैं कि उनके पास एक ही कार्डिनैलिटी है। इसलिए, आप एक "प्राकृतिक संख्या" गेंदों को जोड़ते हैं, लेकिन आप "गेंदों की 10 से अधिक मात्रा" निकालते हैं - उनके पास एक ही कार्डिनैलिटी है, इसलिए अंत में कलश खाली है। (मुझे पता है कि सादृश्य बिल्कुल पकड़ में नहीं आता है, जैसे रॉस 1 संस्करण शो करता है, लेकिन यह कुछ अंतर्ज्ञान देता है)$10$

— Ant

Answer 2

हर्किल (एक उत्तर में) और दिलीप सरवटे (एक टिप्पणी में) इस पहेली के दो सामान्य निर्धारक संस्करण देते हैं। दोनों चरणों में, चरण , माध्यम से गेंदों को ढेर ( ) में जोड़ा जाता है । 10 k - 9 10 कश्मीर कश्मीर = 1 , 2 , । । $k$$10k-9$$10k$$k=1,2,...$

हर्किल की भिन्नता में, बॉल को हटा दिया जाता है। इस प्रकार में, निश्चित रूप से तर्क दिया जा सकता है कि कोई गेंद नहीं बची है क्योंकि गेंद को चरण पर हटा दिया गया है ।एन $k$$n$$n$

दिलीप सरवटे की भिन्नता में, गेंद को चरण पर हटा दिया जाता है , और इसलिए इस प्रकार में, सभी गेंदें जो गुणक नहीं हैं, बनी रहती हैं। इस संस्करण में, अंत में कलश में कई गेंदें होती हैं।k $10k$$k$$10$

किनारे के मामलों के रूप में इन दो रूपों के साथ, हम देखते हैं कि इस प्रक्रिया को करते समय बहुत सारी अलग-अलग चीजें हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, आप अंत में बची हुई गेंदों का कोई भी समुच्चय सेट करने की व्यवस्था कर सकते हैं, हर्किल की प्रक्रिया को करते हुए लेकिन कुछ गेंदों को हटाने के लिए छोड़ दिया। वास्तव में किसी भी सेट के लिए अनगिनत अनंत पूरक ((सकारात्मक) प्राकृतिक संख्याओं में) के साथ, आपके पास प्रक्रिया के अंत में शेष गेंदों का वह सेट हो सकता है।$B$

हम समस्या का यादृच्छिक रूपांतर देख सकते हैं (मूल पद में दिए गए) एक फ़ंक्शन का चयन करने के रूप में शर्तों के साथ कि (i) एक-से-एक है और (ii) सभी । च च ( कश्मीर ) ≤ 10 कश्मीर कश्मीर ∈ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$f$$f(k)\le 10k$$k\in \mathbb{N}$

शेल्डन रॉस पुस्तक (पोस्ट में संदर्भित) में दिए गए तर्क से पता चलता है कि लगभग सभी (संभाव्य अर्थों में) इस तरह के कार्य वास्तव में फ़ंक्शन (surjections) पर हैं।

मैं इसे पर एक समान वितरण से , संख्या का चयन करने की स्थिति के अनुरूप होने के रूप में देखता हूं और पूछ रहा हूं कि क्या संभावना है कि नंबर Cantor सेट में है (मैं कहने के बजाय Cantor सेट का उपयोग कर रहा हूं तर्कसंगत संख्या क्योंकि कैंटर सेट बेशुमार है)। संभावना भले ही कैंटर सेट में कई (बेशुमार कई) संख्याएँ हैं जिन्हें चुना जा सकता था। बॉल रिमूवल प्रॉब्लम में, सीक्वेंस का सेट जिसमें कोई बॉल बची हो वह कैंटर सेट की भूमिका निभा रहा है।[ ० , १ ] $x$$[0,1]$$0$

---

संपादित करें: बेनमिलवुड सही ढंग से बताते हैं कि गेंदों के कुछ सीमित सेट हैं जो शेष सेट नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, शेष सेट नहीं हो सकता है। आप अधिक से अधिक हो सकता है पहले की के लिए शेष गेंदों ।90 % 10 एन एन = 1 , 2 , 3 , । । $1,2,...,10$$90\%$$10n$$n=1,2,3,...$

Comments

आपके पास अंत में बची हुई गेंदों का कोई परिमित सेट नहीं हो सकता है - जैसे कि आपके पास सेट नहीं है। १.१०।

— बेन मिलवुड

"शेल्डन रॉस पुस्तक में दिए गए तर्क (पोस्ट में संदर्भित) से पता चलता है कि लगभग सभी (संभावित अर्थों में) इस तरह के कार्य वास्तव में फ़ंक्शन (surjections) पर हैं।" - (+1) यह समस्या को देखने के लिए एक बहुत ही दिलचस्प तरीका है, और यह वास्तव में आसान और कम भ्रमित हो सकता है जैसे कि कलश में "भौतिक कहानी" गेंदों की तुलना में।

— कार्लोस सिनेली

+1। मुझे लगता है कि यह वर्तमान में एकमात्र उत्तर है जिसका वास्तव में समस्या पर कोई असर है। हर कोई चर्चा कर रहा है कि अगर n-th स्टेप बॉल #n को हटा दिया जाता है तो शून्य गेंदों को छोड़ दिया जाएगा या नहीं। दूसरे शब्दों में, इस थ्रेड में जो भी चर्चा मुझे दिखाई देती है, वह वास्तव में आपके उत्तर के दूसरे पैराग्राफ के बारे में होती है और इससे आगे नहीं बढ़ती है। Cc @CarlosCinelli पर।

— अमीबा

यह वास्तव में मुझे वास्तव में समझने का पहला उत्तर है कि परिणाम के पीछे क्या तर्क है। आप दिखाते हैं कि हम जो परिणाम प्राप्त करते हैं वह हमारे द्वारा लागू किए जाने वाले चुनाव से जुड़ा होता है - जो कि सही समझ में आता है और यह स्वीकार करने की अपेक्षा आगे बढ़ने में मदद करता है कि कार्डिनलिटी संक्रामक नहीं होने के कारण यह राशि शून्य हो सकती है।

— सुखमल

(+1) मुझे यह उत्तर पसंद है क्योंकि अनिश्चित रूपों पर आधारित विशिष्ट तर्कों की अनिश्चित प्रकृति बेहतर ढंग से सुझाई गई है। यह कहकर बहुत सरल बनाया जा सकता है कि एक अनिश्चित रूप है और इसके साथ किया जाना चाहिए। इसके अलावा, नीचे मेरे उत्तर को देखें, जो इसे और अधिक सीधे तर्क देता है। $0\times\infty$

— कार्ल

Answer 3

एनुमरिस का जवाब डाइवर्जिंग सीमा समस्या पर पूरी तरह से सही है। फिर भी, प्रश्न का उत्तर वास्तव में अस्पष्ट तरीके से दिया जा सकता है। तो, मेरा जवाब आपको ठीक-ठीक दिखाएगा कि जीरो बॉल्स सॉल्यूशन कहां गलत है, और सहज समाधान सही क्यों है।

---

यह सच है, कि किसी भी गेंद , अंत पर कलश में होने की संभावना शून्य है। सटीक होने के लिए, यह केवल सीमा है जो शून्य है: ।पी ( एन ) पी ( एन ) = लिम एन → ∞ पी ( एन , एन ) = $n$$P(n)$$P(n) = \lim_{N\to\infty} P(n, N) = 0$

अब, आप योग गणना करने का प्रयास करते हैं। टूटी हुई गणना उस भाग पर सही तरीके से कूदती है , यह कहते हुए कि यह सीमा में शून्य है, इसलिए योग में शून्य की ही शर्तें होती हैं, इसलिए योग स्वयं शून्य है: पी(एन,एन) लिम एन → ∞ ballCount ( एन

$$\lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N).$$ $P(n,N)$ $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ \text{broken step here }\longrightarrow &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} \lim_{N\to\infty} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n) \\ &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} 0 \\ &= \lim_{N\to\infty} 10 N\times 0 \\ &= 0 \end{align}$$

हालांकि, इस अवैध रूप से बंटवारे है दो स्वतंत्र भागों में। आप बस नहीं ले जा सकते राशि में यदि राशि की सीमा के पैरामीटर पर निर्भर । आपको एक पूरे के रूप में सुलझाने चाहिए ।लिम लिम$\lim$$\lim$$\lim$$\lim$

इस प्रकार, इस को हल करने का एकमात्र वैध तरीका पहले योग को हल करना है, इस तथ्य का उपयोग करके कि किसी भी परिमित लिए । Σ n ≤ 10 एन एन = 1 पी ( एन , एन ) = 9 एन एन लिम एन → ∞ ballCount ( एन $\lim$$\sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) = 9N$$N$

$$\begin{align} \lim_{N\to\infty} \operatorname{ballCount}(N) &= \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{n\leq 10N} P(n,N) \\ &= \lim_{N\to\infty} 9N \\ &= \infty \end{align}$$

सहज ज्ञान युक्त समाधान ने ठीक यही किया, यह "चतुर" समाधान है जो मौलिक रूप से टूट गया है।

Comments

यह सुनिश्चित करने के लिए विरोधाभास तैयार करता है। यह इस पर निर्भर करता है: यह मानते हुए कि असीम रूप से कई गेंदें स्वाभाविक सवाल उठाती हैं: कौन सी गेंदें? क्या आप एक भी ऐसी गेंद का नाम बता सकते हैं जिसके पास नॉनवेज होने की संभावना है? यदि नहीं, तो ऐसा लगता है कि काउंटेबल एडिटिविटी एक्सिओम का तात्पर्य है कि कोई भी गेंद नहीं बची है, क्योंकि केवल कई गेंदें हैं। इस प्रकार, सहज ज्ञान युक्त समाधान का दावा करने से आप सही हैं, आप संभावित रूप से एक मौलिक स्वयंसिद्ध संभावना से इनकार कर रहे हैं।

— whuber

@ जब मुझे गैर-शून्य संभावना वाली गेंद का नाम देने की आवश्यकता नहीं है: मेरे पास कई गेंदें हैं। और दो चीजों के उत्पाद की सीमा, एक शून्य से और दूसरी अनंत से जा रही है, कुछ भी हो सकता है। यह शून्य हो सकता है, यह अनंत हो सकता है, यह बीच में कुछ भी हो सकता है (जैसे 42)। यह निर्भर करता है कि उत्पाद एक पूरे के रूप में कैसे व्यवहार करता है। यह उसी तरह का "विरोधाभास" है जो आर में वितरण के भीतर किसी भी बिंदु को शून्य संभावना बनाता है - यह केवल अनन्त रूप से कई बिंदुओं का अंतराल होता है जिसमें गैर-शून्य संभावना होती है। गणितीय अर्थ में वास्तव में कोई विरोधाभास नहीं है।

— सेमीस्टर

बिना किसी विरोधाभास के दावा करने से पहले आपको गणित को सही ढंग से करना होगा। मैं समझाता हूं। प्राकृतिक संख्याओं का समूह है। उन चरणों के अनुक्रम पर विचार करें जिनमें चरण से सभी संख्याएँ जिन्हें हटाया है। प्रत्येक चरण पर असीम रूप से कई संख्याएँ बनी रहती हैं। लिमिट में कितने नंबर रहते हैं? आपका "केवल मान्य तरीका," अगर मैं इसे सही ढंग से व्याख्या करता हूं, तो "असीम रूप से कई" जवाब देंगे क्योंकि " ।" तथ्य यह है कि सीमा खाली है यह मजबूत सबूत है कि आपका दृष्टिकोण गणितीय रूप से संदिग्ध है। मैं = 0 , 1 , 2 , ... 0 मैं लिम n → ∞ ∞ = ... = $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$$i=0,1,2,\ldots$$0$$i$$\lim_{n\to\infty}\infty=\ldots=\infty$

— whuber

@ मिचेल दुर्भाग्य से, यह एक मिसकॉल है। प्रत्येक गेंद की सीमा में शेष रहने की संभावना । $0$

— व्हबेर

लोगों को यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह उत्तर गलत है, यह सुनिश्चित करने के लिए यहां फिर से टिप्पणी करना। @ आप को रॉस के तर्क को पढ़ना चाहिए, आपका जवाब उसकी व्युत्पत्ति को बिल्कुल भी संबोधित नहीं करता है।

— कार्लोस सिनेली

Answer 4

यह तर्क अनंत सेटों और अनुक्रमों के लिए प्रवृत्ति पर ध्यान केंद्रित करता है जो इकाईजन्य तरीकों से व्यवहार करता है। यह हिल्बर्ट होटल से अधिक आश्चर्यजनक नहीं है । ऐसे मामले में, आपने वास्तव में अनंत संख्या में गेंदें निकाली होंगी, लेकिन आपने अनंत संख्या डाल दी होगी। हिल्बर्ट होटल को उल्टा समझें। आप होटल से अनंत मेहमानों की संख्या निकाल सकते हैं, और अभी भी एक अनंत संख्या बाकी है।

क्या यह शारीरिक रूप से वास्तविक है या नहीं यह पूरी तरह से एक और सवाल है।

इस तरह, मैं इस पर विचार करूंगा कि यह आवश्यक रूप से बीमार नहीं है, बल्कि गलत पुस्तक में रखा गया है। इस तरह के मतगणना प्रश्न एक निर्धारित सिद्धांत पाठ्यक्रम में हैं, एक संभावना पाठ्यक्रम नहीं है।

Comments

0 के उत्तर का समर्थन करने के लिए दिया गया तर्क "अनंत माइनस इन्फिनिटी शून्य है" की तुलना में अधिक परिष्कृत है, इसलिए मुझे नहीं लगता कि यह उत्तर इसे संबोधित करता है। आप होटल से कई अनंत मेहमानों को निकाल सकते हैं और शून्य छोड़ सकते हैं, और कुछ अर्थों में यहाँ चुनौती यह है कि आपने जो काम किया है। यह किसी भी तरह से स्पष्ट नहीं है कि सेट सिद्धांत में उस प्रश्न का उत्तर है और संभावना सिद्धांत नहीं है।

— बेन मिलवुड

@BenMillwood ऐसा क्यों होगा कि मैं तर्क देता हूं कि यह पहेली एक संभावना सिद्धांत पुस्तक के बजाय एक सेट सिद्धांत पुस्तक में है।

— Cort Ammon

Answer 5

मुझे लगता है कि यह समस्या के सतही अस्थायी घटक को हटाने में मदद करता है।

इस विरोधाभास का अधिक मूल रूप हमेशा सबसे कम संख्या वाली गेंद को निकालना है। ड्राइंग में आसानी के लिए, मैं प्रत्येक चरण में केवल दो गेंदों को जोड़ूंगा।

यह प्रक्रिया बताती है कि अनंत द्विमितीय ग्रिड कैसे भरें:

.*........
..**......
...***....  ....
....****..
.....*****

 :  :  :
 :  :  :

जहाँ प्रत्येक पंक्ति दाईं ओर दो तारांकन जोड़कर पिछली से बनाई जाती है, फिर बाईं ओर हटा दी जाती है।

सवाल तो एक पूछता है:

बार-बार डॉट्स के बजाय बार-बार तारांकन के साथ कितने कॉलम समाप्त होते हैं?

मेरी राय में, इस परिणाम को गलती से "प्रत्येक पंक्ति में तारांकनों की संख्या की सीमा" के साथ बराबर माना जाता है।

Comments

@ लुकासी: कलश में कौन सी गेंद होती है? स्तंभों के अनुरूप वे जो बार-बार भटकते हैं। दोहराया स्तंभों में कितने स्तंभ समाप्त होते हैं? कोई नहीं।

— बहिष्कृत और बंद

यह पूछने पर कि कौन सी गेंद कितनी है यह पूछने के समान नहीं है।

— प्रहरी

@LucaCiti: तारांकन में कितने स्तंभ समाप्त होते हैं? कोई नहीं। यह विशिष्ट प्रश्न है कि रॉस का अर्थ इस आरेख से पूछना है। (वास्तव में, इस तरह से समस्या को पूरा करने के पूरे बिंदु का हिस्सा यह स्पष्ट करना है कि विशिष्ट प्रश्न क्या पूछा जा रहा है)

— बहिष्कृत और बंद

@Hurkyl वह प्रश्न जिसमें व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं और IMHO अधिक सार्थक है कि कितनी गेंदें कौन सी नहीं हैं। एक खुली खिड़की वाले कमरे पर विचार करें। हर समय ऑक्सीजन के अणु कमरे में प्रवेश करते हैं और छोड़ते हैं। संभावना है कि एक अणु है कि परिमित समय में दर्ज की गई कक्ष समय में अब भी है के रूप में शून्य करने के लिए चला जाता है । इसका मतलब यह नहीं है कि कमरे में ऑक्सीजन की कमी हो जाएगी क्योंकि । टी टी → ∞ टी → $t$$T$$T\to\infty$$T\to\infty$

— लुका सिटी

@ LucaCiti: मुझे लगता है कि यह स्पष्ट नहीं था, लेकिन ग्रिड असीम रूप से नीचे और दाईं ओर फैली हुई है। कोई "अंतिम" नहीं है। हां, पीले बॉक्स में टेक्स्ट यही कहता है - मैं अपनी पोस्ट में जो औपचारिकता देता हूं, वह उस टेक्स्ट का मतलब था। यह एक मानक समस्या है, और रॉस का वास्तविक विश्लेषण मेरी औपचारिकता से सहमत है। आप एक अलग सवाल पूछ सकते हैं , लेकिन यह एक अलग समस्या होगी।

— छोड़ दिया और बंद

Answer 6

इस उत्तर का उद्देश्य चार काम करना है:

1. समस्या के प्रत्यक्ष और असंदिग्ध रूप से अनुसरण करने के तरीके को दिखाते हुए, समस्या के रॉस के गणितीय सूत्रीकरण की समीक्षा करें।

2. इस स्थिति की रक्षा करें कि रॉस का विरोधाभासी समाधान शारीरिक रूप से हमारी समझ के लिए गणितीय रूप से ध्वनि और प्रासंगिक दोनों है, चाहे वह भौतिक रूप से 100% वास्तविक हो या न हो।

3. शारीरिक अंतर्ज्ञान में निहित कुछ अकाट्य तर्कों पर चर्चा करें, और दिखाएं कि दोपहर में अनंत गेंदों का अक्सर "बताया गया" भौतिक समाधान न केवल गणित के विपरीत है, बल्कि भौतिकी के लिए भी है।

4. समस्या के भौतिक कार्यान्वयन का वर्णन करें जो रॉस के समाधान को अधिक सहज बना सकता है। कार्लोस के मूल प्रश्न के उत्तर के लिए यहां शुरू करें।

1. समस्या का गणितीय रूप से वर्णन कैसे करें

हम रॉस के तर्क (पृष्ठ 46) के प्रारंभिक "अनंत प्रक्रिया मॉडलिंग" कदम को अनपैक करेंगे । यहाँ वह कथन है जो हम औचित्य पर केंद्रित करेंगे:

को इस घटना को परिभाषित करें कि पहली एन निकासी के बाद बॉल नंबर 1 अभी भी कलश में है ... जिस इवेंट नंबर 1 में बॉल नंबर 1 है, वह रात के 12 बजे का है, यह इवेंट ।⋂ ∞ n = 1 ई $E_n$$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$

इससे पहले कि हम रॉस के बयान को अनपैक करें, आइए विचार करें कि ऑपरेशन के अनंत अनुक्रम के बाद, दोपहर को कलश की सामग्री को समझना कैसे संभव है। हम संभवतः कैसे जान सकते हैं कि कलश में क्या है? खैर, चलो एक विशिष्ट गेंद बारे में सोचते हैं ; आप कल्पना कर सकते हैं या या जो आप चाहते हैं। अगर दोपहर से पहले प्रक्रिया के कुछ चरण में बॉल को बाहर निकाल दिया गया, तो निश्चित रूप से यह दोपहर में कलश में नहीं होगा। और इसके विपरीत, यदि किसी गेंद था (के बाद यह जोड़ा गया है) प्रक्रिया में तेजी दोपहर तक के हर एक चरण में कलश में है, तो यह दोपहर में कलश में था। आइए इन बयानों को औपचारिक रूप से लिखें:b = 1 1000 $b$$b=1$$1000$$b$

एक बॉल दोपहर के समय कलश में होता है अगर और केवल अगर वह कलश में था तो हर चरण में दोपहर से पहले, जहां चरण है कलश में गेंद डाली गई।n ∈ { n ख , एन बी + 1 , एन बी + 2 , । । । } एन $b$$n \in \{n_b, n_b + 1, n_b + 2, ...\}$$n_b$

अब रॉस के बयान को अनपैक करते हैं - क्या करता है मतलब सादे अंग्रेजी में है? आइए कलश प्रक्रिया का एक सा एहसास लेते हैं और इस पर बात करते हैं:$\bigcap_{n=1}^\infty E_n$ $x$

• $x \in E_1$ अर्थ है कि गेंद 1 प्रक्रिया के चरण 1 के बाद कलश में है।
• $x \in E_1 \bigcap E_2$ अर्थ है कि गेंद 1 प्रक्रिया के चरण 1 और 2 के बाद कलश में है।
• $x \in E_1 \bigcap E_2 \bigcap E_3$ अर्थ है कि गेंद 1 प्रक्रिया के चरण 1, 2 और 3 के बाद कलश में है।
• किसी भी लिए , अर्थ है कि गेंद थ्रू चरणों के बाद कलश में है ।एक्स ∈ ⋂ n कश्मीर = 1 ई कश्मीर 1 $k \in \{1, 2, 3, ...\}$$x \in \bigcap_{k=1}^n E_k$$1$$n$

स्पष्ट रूप से, तब, अर्थ है कि, इस कलश प्रक्रिया की प्राप्ति में, गेंद 1 चरण 1, 2, 2 के बाद कलश में है। 3, वगैरह : दोपहर से पहले सभी परिमित अवस्थाएँ । अनंत चौराहा का सिर्फ एक और तरीका है, इसलिए में ठीक उसी प्रक्रिया के बोध होते हैं जहां गेंद 1 कलश में होती है। दोपहर से पहले स्टेज। एक घटना एक प्रक्रिया की वास्तविकताओं का एक निर्धारित सेट है, इसलिए अंतिम वाक्य यह कहने के बराबर है कि यह घटना है कि गेंद 1 दोपहर से पहले सभी चरणों में कलश में थी। इस यादृच्छिक प्रक्रिया के लिए। एक्स कश्मीर ⋂ ∞ n = 1 ई एन ⋂ ∞ n = 1 ई एन ⋂ ∞ n = 1 ई $x \in \bigcap_{k \in \{1, 2, 3...\}} E_k$$x$$k$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

अब, पंचलाइन: हमारे "यदि और केवल अगर" कथन से ऊपर, तो यह ठीक वैसा ही है जैसे कि गेंद 1 दोपहर के समय कलश में थी! So यह घटना है कि गेंद 1 दोपहर को कलश में है, जैसा कि रॉस ने मूल रूप से कहा था। QED$\bigcap_{n = 1}^\infty E_n$

उपरोक्त व्युत्पत्ति में, हमने जो कुछ भी कहा है , वह नियतात्मक और संभाव्य दोनों संस्करणों के लिए समान रूप से मान्य है, क्योंकि नियतात्मक मॉडलिंग संभाव्य मॉडलिंग का एक विशेष मामला है जिसमें नमूना स्थान का एक तत्व है। "घटना" और "बोध" (जो "सेट" और "तत्व" के लिए सिर्फ शब्दजाल हैं) से परे कोई भी उपाय सिद्धांत या संभाव्यता अवधारणाओं का उपयोग नहीं किया गया था।

2. विरोधाभास समाधान गणितीय रूप से ध्वनि और प्रासंगिक भौतिकी है

इस सेटअप बिंदु के बाद, नियतात्मक और संभाव्य रूप विचरण करते हैं। नियतात्मक संस्करण (अमीबा के पद से संस्करण 2) में, हम जानते हैं कि गेंद 1 को पहले चरण पर निकाला जाता है, इसलिए और अनंत चौराहा, ज़ाहिर है, भी खाली है। इसी तरह, किसी भी अन्य बॉल को स्टेज में बाहर ले जाया जाता है और दोपहर के समय मौजूद नहीं होता है। इस प्रकार कलश में दोपहर के समय कोई भी संख्या वाली बॉल नहीं हो सकती है और इसलिए खाली होना चाहिए।बी बी $E_1 = \emptyset$$b$$b$$b$

संभाव्य रूप में, एक ही घटना होती है, बस एक नरम "इन-उम्मीद" अर्थ में। किसी भी गेंद के मौजूद होने की संभावना कम हो जाती है, क्योंकि हम दोपहर के करीब पहुंचते हैं, और दोपहर के समय, गेंद लगभग निश्चित रूप से मौजूद नहीं है। चूंकि प्रत्येक गेंद संभावना शून्य के साथ मौजूद है, और असीम रूप से कई शून्य का योग अभी भी शून्य है, दोपहर में कलश में लगभग निश्चित रूप से कोई गेंद नहीं है। यह सब रॉस द्वारा पूरी तरह से कठोरता से दिखाया गया है; विवरणों को स्नातक स्तर के माप सिद्धांत के ज्ञान के साथ भरा जा सकता है, जैसा कि @ ekvall के उत्तर से पता चलता है।

यदि आप अनंत अनुक्रमों के रूप में व्यक्त गणितीय वस्तुओं के बारे में मानक तर्कों को स्वीकार करते हैं, उदाहरण के लिए , तो यहां तर्क उतना ही स्वीकार्य होना चाहिए, जितना कि यह ठीक उसी सिद्धांतों पर निर्भर करता है। शेष प्रश्न केवल यह है कि क्या गणितीय समाधान वास्तविक दुनिया पर लागू होता है, या सिर्फ गणित की प्लेटोनिक दुनिया पर। यह प्रश्न जटिल है और खंड 4 में आगे चर्चा की गई है।$0.999... = 1$

उस ने कहा, यह मानने का कोई कारण नहीं है कि अनंत कलश की समस्या असम्बद्ध है, या इसे अप्रासंगिक होने पर भी अप्रासंगिक के रूप में अस्वीकार करना है। कई भौतिक अंतर्दृष्टि अनंत संरचनाओं और प्रक्रियाओं का अध्ययन करने से प्राप्त हुई हैं, उदाहरण के लिए, अनंत तार और छिद्र अक्षांश । जरूरी नहीं कि ये सभी प्रणालियां शारीरिक रूप से साकार हों, लेकिन उनका सिद्धांत बाकी भौतिकी को आकार देता है। कैलकुलस कुछ मायनों में "अनफ़िज़िकल" है, क्योंकि हम नहीं जानते कि क्या शारीरिक रूप से मनमाने ढंग से छोटी दूरी और समय का एहसास करना संभव है जो अक्सर इसके अध्ययन का विषय है। यह हमें सैद्धांतिक और व्यावहारिक विज्ञान में अविश्वसनीय रूप से अच्छे उपयोग के लिए कलन लगाने से नहीं रोकता है।

3. "शारीरिक अंतर्ज्ञान" के आधार पर समाधान की अप्रभावीता

उन लोगों के लिए जो अभी भी मानते हैं कि रॉस का गणित गलत या भौतिक रूप से नियतात्मक रूप में गलत है, और सही शारीरिक समाधान असीम रूप से कई गेंदें हैं: आप जो सोचते हैं वह दोपहर को होता है, दोपहर के बाद की स्थिति को नकारना असंभव है: प्रत्येक गिने हुए गेंद कलश में जोड़ा अंत में हटा दिया जाता है। इसलिए यदि आपको लगता है कि दोपहर के समय कलश में कई गेंदें हैं, तो भी आपको यह स्वीकार करना चाहिए कि उन गेंदों में से कोई भी एक गेंद हो सकती है जो दोपहर से पहले जोड़ी गई हो। तो उन गेंदों को कहीं और से आया होगा: आप असीम रूप से कई गेंदों का दावा कर रहे हैं, मूल समस्या प्रक्रिया से असंबंधित, अचानक कार्डिनलिटी की निरंतरता का बचाव करने के लिए ठीक दोपहर में अस्तित्व में।जैसा कि "खाली सेट" समाधान सहज रूप से प्रतीत हो सकता है, यह विकल्प उद्देश्यपूर्ण और demonstrably unphysical है। अनंत के बारे में गरीब मानव अंतर्ज्ञान को संतुष्ट करने के लिए वस्तुओं का अनंत संग्रह एक पल में होने में पॉप नहीं करता है।

यहाँ सामान्य गिरावट यह प्रतीत होती है कि हम बस गेंदों की संख्या को देख सकते हैं जैसे ही समय दोपहर के करीब आता है, और यह मान लें कि गोताखोर प्रवृत्ति दोपहर के समय असीम रूप से कई गेंदों का उत्पादन करती है, बिना इस बात की परवाह किए कि कौन सी गेंदों को अंदर और बाहर ले जाया जा रहा है। यहां तक ​​कि इसे "उदासीनता के सिद्धांत" के साथ सही ठहराने की कोशिश की गई है, जिसमें कहा गया है कि उत्तर इस बात पर निर्भर नहीं होना चाहिए कि क्या गेंदें लेबल हैं या नहीं।

दरअसल, यह जवाब इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि गेंदों को लेबल किया गया है या नहीं, लेकिन यह रॉस के समाधान के लिए एक तर्क है, इसके खिलाफ नहीं। शास्त्रीय भौतिकी के दृष्टिकोण से, गेंदों को प्रभावी ढंग से लेबल किया जाता है, चाहे आप उन्हें लेबल के रूप में सोचते हैं या नहीं। उनके पास अलग, स्थायी पहचान हैं जो लेबल के बराबर हैं, और सही मायने में भौतिक विश्लेषण के लिए इस बात पर ध्यान देना चाहिए कि क्या संख्याएं वास्तव में गेंदों पर लिखी गई हैं या नहीं। लेबल खुद को सीधे प्रभावित नहीं करते हैं कि समाधान कैसे निकलता है, लेकिन उन्हें यह वर्णन करने की आवश्यकता है कि गेंदों को कैसे स्थानांतरित किया जाता है। कुछ प्रक्रियाएं हमेशा के लिए कलश में गेंद छोड़ देती हैं, दूसरों को जोड़ा गया हर गेंद को हटाने के लिए, और इन प्रक्रियाओं के बीच अंतर का वर्णन करने के लिए लेबल की आवश्यकता होती है।लेबल को अनदेखा करने का प्रयास "भौतिक" नहीं है, इसे हल करने के लिए केवल शारीरिक समस्या को ठीक से समझने की उपेक्षा करना। (वही जटिल वेरिएंट के लिए जाता है जो प्रत्येक चरण में लेबलों को फेरबदल करता है। क्या मायने रखता है जो गेंदें कलश में हैं, न कि किसी ने उन पर लगाए गए लेबल को प्रतिस्थापित किया है। यह पूरी तरह से और बस का उपयोग करके जटिल रीलेबलिंग योजना की अनदेखी करके निर्धारित किया जा सकता है। एकल अपरिवर्तनीय लेबलिंग योजना, रॉस की मूल समस्या में से एक है।)

एकमात्र तरीका यह है कि अंतर "" गेंदों "क्वांटम यांत्रिक कण थे अगर सही नहीं होगा। इस मामले में, उदासीनता सिद्धांत शानदार ढंग से विफल हो जाता है। क्वांटम भौतिकी हमें बताती है कि अविभाज्य कण भेद करने वाले लोगों की तुलना में पूरी तरह से अलग व्यवहार करते हैं। हमारे ब्रह्मांड की संरचना के लिए अविश्वसनीय रूप से मौलिक परिणाम हैं, जैसे कि पाउली अपवर्जन सिद्धांत, जो शायद रसायन विज्ञान का सबसे महत्वपूर्ण सिद्धांत है। अभी तक किसी ने इस विरोधाभास के क्वांटम संस्करण का विश्लेषण करने का प्रयास नहीं किया है।

4. समाधान का भौतिक रूप से वर्णन करना

हमने देखा है कि अस्पष्ट "भौतिक" अंतर्ज्ञान हमें इस समस्या पर भटका सकते हैं। इसके विपरीत, यह पता चला है कि समस्या का अधिक शारीरिक रूप से सटीक वर्णन हमें यह समझने में मदद करता है कि गणितीय समाधान वास्तव में ऐसा क्यों है जो सबसे अधिक भौतिक अर्थ बनाता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी के नियमों द्वारा शासित एक अनंत न्यूटनियन यूनिवर्स पर विचार करें। इस ब्रह्माण्ड में दो वस्तुएं हैं: एक अनंत शेल्फ और एक असीम उरण, जो यूनिवर्स की उत्पत्ति से शुरू होता है और एक दूसरे के साथ, एक फीट अलग, हमेशा और हमेशा के लिए चलता है। शेल्फ लाइन फीट पर है, जबकि मूत्र लाइन फीट पर स्थित है। शेल्फ के साथ असीम रूप से कई समान गेंदें बिछाई जाती हैं, समान रूप से एक पैर को अलग किया जाता है, मूल से पहला एक पैर (इसलिए गेंद लाइन फीट पर है)। मूत्र - जो वास्तव में सिर्फ शेल्फ की तरह है, लेकिन थोड़ा अधिक अलंकृत, बंद, और आम तौर पर मूत्र - खाली है।y = 1 n x = $y = 0$$y = 1$$n$$x = n$

एक आइज़ल नीचे की तरफ शेल्फ और उरन को जोड़ता है, और ओज़ल के ऊपर, ओरिजिन में, अनंत बिजली की आपूर्ति के साथ एक एंडेवर रोबोट बैठता है। सुबह 11 बजे, एंडेवर सक्रिय होता है और रॉस-लिटलवुड के क्रमादेशित निर्देशों के अनुसार, उर और शेल्फ़ के बीच गेंदों को स्थानांतरित करते हुए आइज़ल में आगे और पीछे ज़ूम करना शुरू करता है:

• जब प्रोग्राम बॉल को Urn में डालने की आज्ञा देता है , तो उत्पत्ति से गेंद फीट को शेल्फ से Urn में स्थानांतरित कर दिया जाता है।$n$$n$
• जब प्रोग्राम बॉल को Urn से हटाने की आज्ञा देता है , तो उत्पत्ति से बॉल फीट को Urn से Shelf में स्थानांतरित कर दिया जाता है।$n$$n$

या तो मामले में, स्थानांतरण सीधे भर में किया जाता है, इसलिए गेंद उत्पत्ति से फीट रहती है । यह प्रक्रिया रॉस-लिटिलवुड समस्या में बताई गई है:$n$

• प्रातः 11:00 बजे, एंडेवर बॉम्बर्स से शेल्फ से यूरेन में 1-10 स्थानांतरित करता है, फिर एक यूरन बॉल्स में से एक को वापस शेल्फ में ले जाता है।
• प्रातः 11:30 बजे, एंडेवर ने 11-20 गेंदों को शेल्फ से उर्न में स्थानांतरित कर दिया, फिर उर्न गेंदों में से एक को वापस शेल्फ में ले जाता है।
• पूर्वाह्न 11:45 बजे, एंडेवर ने शेल्फ़ से उर के लिए गेंदों को स्थानांतरित कर दिया, फिर उरन गेंदों में से एक को वापस शेल्फ में ले जाया गया।
• वगैरह-वगैरह ...

जैसा कि प्रक्रिया जारी है, प्रत्येक नए कदम के लिए आइज़ल के ऊपर और नीचे लंबी यात्राओं की आवश्यकता होती है, और यात्राएं बनाने के लिए केवल आधा समय। इस प्रकार, एंडेवर को तेजी से नीचे जाना चाहिए और तेजी से नीचे की ओर बढ़ना चाहिए क्योंकि दोपहर में बंद हो जाता है। लेकिन यह हमेशा कार्यक्रम के साथ बना रहता है, क्योंकि इसमें एक अनंत बिजली की आपूर्ति होती है और जितनी जल्दी हो सके उतनी तेजी से आगे बढ़ सकता है। आखिरकार, दोपहर आ जाती है।

विरोधाभास के इस और अधिक स्पष्ट रूप से कल्पना किए गए संस्करण में क्या होता है? ऊपर से देखा, दोपहर के प्रति दृष्टिकोण वास्तव में शानदार है। उर के भीतर, गेंदों की एक लहर उत्पत्ति से बाहर की ओर फैलती हुई प्रतीत होती है। दोपहर के करीब पहुंचते ही वेव का आकार और गति बिना किसी सीमा के बढ़ जाती है। यदि हम प्रत्येक चरण के तुरंत बाद तस्वीरें लेते हैं तो गेंदों का लेआउट कैसा दिखेगा? नियतात्मक मामले में, वे अमीबा के जवाब में कदम के कार्यों की तरह दिखते हैं। गेंद की स्थिति ठीक उसी वक्र का अनुसरण करेगी जो उसने प्लॉट किया है। $(x, y)$संभाव्य मामले में, यह लगभग समान दिखाई देगा, लेकिन उत्पत्ति के निकट अधिक स्ट्रगल के साथ।

जब दोपहर आती है, तो हम इस बात का जायजा लेते हैं कि क्या हुआ है। नियतात्मक संस्करण में, प्रत्येक गेंद को एक बार ठीक से एक बार शेल्फ़ से उरन में स्थानांतरित किया गया था, फिर बाद के चरण में वापस ले जाया गया, दोनों स्थानांतरण दोपहर से पहले हो रहे थे। दोपहर के समय, ब्रह्मांड को अपने मूल 11 AM राज्य में वापस होना चाहिए। लहर नहीं है। प्रत्येक गेंद ठीक उसी स्थान पर वापस आती है जहां से शुरू हुई थी। कुछ भी नहीं बदला। मूत्र खाली है। संभाव्य संस्करण में एक ही बात होती है, सिवाय इसके कि परिणाम सुनिश्चित होने के बजाय केवल लगभग निश्चित है।

या तो मामले में, "भौतिक आपत्तियां" और अनंत के बारे में शिकायतें पतली हवा में गायब हो जाती हैं। बेशक, दोपहर में उर खाली है। हम अन्यथा कल्पना कैसे कर सकते थे?

केवल शेष रहस्य एंडेवर का भाग्य है। उत्पत्ति से इसका विस्थापन और इसका वेग मनमाने ढंग से बड़ा हो गया क्योंकि दोपहर के करीब पहुंच गया था, इसलिए दोपहर के समय, एंडेवर हमारे अनंत न्यूटोनियन यूनिवर्स में कहीं नहीं पाया जाता है। एंडेवर का नुकसान भौतिकी का एकमात्र उल्लंघन है जो प्रक्रिया के दौरान हुआ है।

इस बिंदु पर, कोई भी आपत्ति कर सकता है कि एंडेवर शारीरिक रूप से संभव नहीं है, क्योंकि इसकी गति बिना सीमा के बढ़ती है और अंततः सापेक्षता सीमा, प्रकाश की गति का उल्लंघन करेगी। हालाँकि, हम इस समस्या को हल करने के लिए परिदृश्य को थोड़ा बदल सकते हैं। एक एकल रोबोट के बजाय, हम असीम रूप से कई रोबोट, प्रत्येक एक गेंद के लिए जिम्मेदार हो सकते हैं। रॉस के निर्देशों के अनुसार सही समन्वय और समय सुनिश्चित करने के लिए हम उन्हें पहले से प्रोग्राम कर सकते थे।

क्या यह भिन्नता 100% भौतिक है? शायद नहीं, क्योंकि रोबोट को मनमाने ढंग से सटीक समय के साथ काम करना होगा। जैसे ही हम दोपहर के करीब पहुंचते हैं, मांग की गई सटीकता अंततः प्लैंक समय से नीचे आ जाएगी और क्वांटम मैकेनिकल मुद्दों का निर्माण करेगी। लेकिन अंत में, एक अनंत तार और एक अनंत छेदना जाली यह सब भौतिक भी नहीं हो सकता है। यह हमें अनंत प्रणालियों और प्रक्रियाओं का अध्ययन करने और यह निर्धारित करने से नहीं रोकता है कि यदि भौतिक बाधाएं निलंबित की गईं तो क्या होगा।

4 ए। क्यों गणना नीरसता का उल्लंघन किया जाता है

रॉस स्केप्टिक्स की एक संख्या ने सवाल उठाया है कि यह कैसे संभव है कि कलश में गेंदों की संख्या बिना किसी बाध्यता के बढ़ जाती है क्योंकि हम दोपहर तक पहुंचते हैं, फिर दोपहर में शून्य होता है। अंततः हमें अपने स्वयं के अंतर्ज्ञान पर कठोर विश्लेषण में विश्वास करना चाहिए, जो अक्सर गलत होता है, लेकिन विरोधाभास का एक रूपांतर होता है जो इस रहस्य को रोशन करने में मदद करता है।

मान लीजिए कि असीम रूप से कई गेंदों के बजाय, हमारे पास गेंदें हैं जिन्हें 1, 2, 3, तक लेबल किया गया है , और हम बॉल मूवर के नियमों के लिए निम्नलिखित जोड़ जारी करते हैं:10 $10N$$10N$

• यदि निर्देश आपको एक गेंद को स्थानांतरित करने के लिए कहते हैं जो मौजूद नहीं है, तो उस निर्देश को अनदेखा करें।

ध्यान दें कि मूल समस्या अपरिवर्तित है यदि हम इसे इस निर्देश में जोड़ते हैं, क्योंकि अनुदेश कभी भी असीम रूप से कई गेंदों के साथ सक्रिय नहीं होगा। इस प्रकार, हम एक ही नियम के साथ, मूल समस्या और समस्याओं के इस नए परिवार का एक ही परिवार का हिस्सा होने के बारे में सोच सकते हैं। परिमित परिवार की जाँच, विशेष रूप से बहुत बड़े , हमें "N = " मामले को समझने में मदद कर सकती है ।एन $N$$N$$\infty$

इस भिन्नता में, गेंदें पहले की तरह प्रति चरण 9 जमा होती हैं, लेकिन केवल प्रक्रिया के चरण तक। फिर गेंदों को जोड़ने की संख्या अब वास्तविक गेंदों के अनुरूप नहीं है, और हम केवल गेंदों को हटाने के लिए निर्देश का अनुपालन कर सकते हैं, और कुल चरणों के लिए प्रक्रिया अतिरिक्त चरणों के बाद बंद हो जाती है । यदि बहुत बड़ा है, तो हटाने-केवल चरण दोपहर के बहुत करीब होता है, जब कार्यों को बहुत तेजी से किया जा रहा है, और कलश बहुत जल्दी से खाली हो गया है।9 एन 10 एन $N$$9N$$10N$$N$

अब मान लें कि हम प्रत्येक मान के लिए प्रयोग की इस भिन्नता को करते हैं और समय के साथ बॉल काउंट को ग्राफ करते हैं, , जहां 0 से 1 घंटे के बाद 11AM (यानी 11AM से दोपहर) तक होता है। आमतौर पर थोड़ी देर के लिए बढ़ जाता है, फिर पर या उससे पहले शून्य पर वापस आ जाता है । रूप में सीमा में अनंत के करीब पहुंचता है, ग्राफ कभी भी अधिक हो जाता है और गिरावट कभी अधिक तेजी से होती है। दोपहर तक कलश हमेशा खाली रहता है: । सीमित ग्राफ में, , वक्र लिए अनंत से संपर्क करता है, लेकिनएफ एन ( टी ) टी एफ एन ( टी ) टी = 1 एन एफ एन ( 1 ) = 0 च ( टी ) = लिम एन → ∞ च एन ( टी ) टी < 1 च ( 1 ) = 0 एन → $N$$f_N(t)$$t$$f_N(t)$$t=1$$N$$f_N(1) = 0$$f(t) = \lim_{N \rightarrow \infty} f_N(t)$$t < 1$$f(1) = 0$। यह ठीक रॉस के प्रमाण में प्राप्त परिणाम है: गेंद दोपहर से पहले अनंत तक विचलन करती है, लेकिन दोपहर में शून्य है। दूसरे शब्दों में, रॉस का समाधान एन के संबंध में निरंतरता को बरकरार रखता है: गेंद की गिनती की बिंदुवार सीमा के रूप में अनंत बॉल मामले में गेंद की गिनती से मेल खाती है।$N \rightarrow \infty$

मैं इसे रॉस के समाधान के लिए एक प्राथमिक तर्क नहीं मानता, लेकिन यह उन लोगों के लिए मददगार हो सकता है, जो इस बात से हैरान हैं कि क्यों दोपहर के समय क्रैश होने की तुलना में गेंद की गिनती हमेशा के लिए बढ़ जाती है। जबकि अजीब बात है, यह समस्या के परिमित संस्करण के सीमित व्यवहार के रूप में , और इस प्रकार अनंत मामले में "अचानक झटका" नहीं आता है।$N \rightarrow \infty$

एक अंतिम प्रतिबिंब

यह समस्या इतने सारे लोगों के लिए एक टार-पिट साबित हुई है? मेरी अटकलें यह हैं कि हमारा शारीरिक अंतर्ज्ञान बहुत अस्पष्ट है जितना हम सोचते हैं, और हम अक्सर निष्कर्ष और अधूरी मानसिक अवधारणाओं के आधार पर निष्कर्ष निकालते हैं। उदाहरण के लिए, यदि मैं आपसे एक वर्ग के बारे में सोचने के लिए कहूं जो एक चक्र भी है, तो आप कुछ स्क्वैरिश और चक्कर की कल्पना कर सकते हैं, लेकिन यह उन दोनों चीजों के बारे में ठीक नहीं होगा - जो कि असंभव होगा। मानव मन आसानी से एक ही मानसिक तस्वीर में अस्पष्ट, विरोधाभासी अवधारणाओं को एक साथ मैश कर सकता है। यदि अवधारणाएं कम परिचित हैं, तो अनंत की तरह, हम खुद को समझा सकते हैं कि ये अस्पष्ट मानसिक मैशअप वास्तव में रियल थिंग की अवधारणाएं हैं।

यह ठीक है कि कलश समस्या में क्या होता है। हम वास्तव में एक बार में पूरी चीज की कल्पना नहीं करते हैं; हम बिट्स और उसके टुकड़ों के बारे में सोचते हैं, जैसे समय के साथ कितनी गेंदें हैं। हम कथित तौर पर अप्रासंगिक तकनीकी को दूर करते हैं, जैसे कि समय के साथ प्रत्येक विनम्र छोटी गेंद का क्या होता है, या वास्तव में "कलश" असीम रूप से कई गेंदों को कैसे पकड़ सकता है। हम सभी विवरणों को सटीक रूप से सेट करने की उपेक्षा करते हैं, यह महसूस नहीं करते कि परिणाम असंगत, असंगत मानसिक मॉडल का मैशअप है।

गणित को इस हालत से बचाने के लिए बनाया गया है। यह हमें अपरिचित और विदेशी के चेहरे पर अनुशासित करता है। यह मांग करता है कि हम दो चीजों के बारे में सोचते हैं कि "सही" होना चाहिए ... सही? यह हमें याद दिलाता है कि कोई भी चीज कितनी भी अजीब क्यों न हो, एक और एक अभी भी दो है, एक गेंद या तो कलश में है या यह नहीं है, और एक बयान या तो सच है या गलत है। यदि हम दृढ़ रहें, तो ये सिद्धांत अंततः हमारी अधिकांश समस्याओं को स्पष्टता प्रदान करते हैं।

जो लोग गणितीय विश्लेषण को "भौतिक" या "सामान्य ज्ञान" अंतर्ज्ञान के अधीन करते हैं, वे अपने संकट में ऐसा करते हैं। अंतर्ज्ञान के बारे में हाथ लहराते हुए केवल भौतिकी की शुरुआत है। ऐतिहासिक रूप से, भौतिकी की सभी सफल शाखाओं ने अंततः कठोर गणित पर खुद को स्थापित किया है, जो गलत शारीरिक अंतर्ज्ञान को दूर करता है, सही लोगों को मजबूत करता है, और आदर्श प्रणालियों के कठोर अध्ययन को सक्षम बनाता है, जैसे कि अनंत वर्तमान-ले जाने वाले तार, जो के व्यवहार को रोशन करते हैं अधिक जटिल, गन्दा वास्तविक दुनिया। रॉस-लिटिलवुड एक शारीरिक समस्या है,आम तौर पर शास्त्रीय यांत्रिकी में से एक के रूप में व्याख्या की जाती है, और शास्त्रीय यांत्रिकी में पूरी तरह से परिपक्व और कठोर गणितीय आधार होता है। हमें शास्त्रीय भौतिकी की दुनिया के बारे में अपने अंतर्ज्ञान के लिए गणितीय मॉडलिंग और विश्लेषण पर भरोसा करना चाहिए, अन्य तरीके से नहीं।

Comments

जाने का यह रास्ता है। हालांकि, "यह संभावना के साथ कुछ नहीं करना है" का पूरा अर्थ पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, क्योंकि संभावना पर आवश्यक धारणाएं हैं: उनके बिना, निष्कर्ष बदलते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप गेंद को वापस लेने की संभावना के लिए प्रत्येक चरण में शून्य संभावना असाइन करते हैं , तो गेंद आधी रात के बाद रहेगी। $1$$1$

— whuber

टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं; इस वार्तालाप को बातचीत में स्थानांतरित कर दिया गया है ।

— व्हिबर

Answer 7

कई पोस्टर में चिंतित किया गया है कि रॉस में संगणना कठोर नहीं हो सकती है। यह उत्तर बताता है कि संभावना स्थान के अस्तित्व को साबित करके जहां रॉस द्वारा विचार किए गए परिणामों के सभी सेट वास्तव में औसत दर्जे का हैं, और फिर रॉस की गणना के महत्वपूर्ण हिस्सों को दोहराता है।

एक उपयुक्त संभावना स्थान ढूँढना

रॉस का निष्कर्ष है कि 12 बजे कलश में कोई गेंद नहीं है, लगभग निश्चित रूप से कठोर, हमें एक संभावना स्थान के अस्तित्व की आवश्यकता है जहां घटना "12 में कलश में कोई गेंद नहीं" पीएम ”का निर्माण औपचारिक रूप से किया जा सकता है और इसे मापने योग्य दिखाया जा सकता है। उस अंत तक, हम इन व्याख्यान नोटों में थ्योरम 33 [Ionescu - Tulcea] का उपयोग करेंगे , थोड़ा सा प्रतिरूपित, और एक प्रश्न के लिए एक टिप्पणी में @NateEldredge द्वारा सुझाए गए एक निर्माण।$(\Omega, \mathcal F, P)$

प्रमेय। (Ionescu - तुलसी एक्सटेंशन प्रमेय) औसत दर्जे के रिक्त स्थान एक क्रम पर विचार करें । मान लीजिए प्रत्येक के लिए कि , वहाँ एक संभावना गिरी मौजूद है से करने के लिए ( को एक कर्नेल के लिए अपने पहले तर्क के प्रति असंवेदनशील होने के लिए, यानी, संभावना का माप)। फिर यादृच्छिक चर के संबंधित को इसी में मान , जैसे कि, प्रत्येक , के संयुक्त वितरण के लिए।n κ n ( Ξ 1 , एक्स 1 ) × ⋯ × ( Ξ n - 1 , एक्स एन - 1 ) ( Ξ n , एक्स एन ) κ 1 एक्स n , n = 1 , 2 , ... Ξ एन$(\Xi_n, \mathcal X_n), n = 1, 2, \dots$$n$$\kappa_n$$(\Xi_1, \mathcal X_1) \times \dots \times(\Xi_{n-1}, \mathcal X_{n-1})$$(\Xi_n, \mathcal X_n)$$\kappa_1$$X_n, n = 1, 2, \dots$$\Xi_n$$n$κ 1 , ... , κ $(X_1, \dots, X_n)$यह गुठली द्वारा निहित है ।$\kappa_1, \dots, \kappa_n$

हम को वें प्रत्याहार पर हटाए गए गेंद के लेबल को निरूपित करते हैं । यह स्पष्ट है कि (अनंत) प्रक्रिया , यदि यह मौजूद है, तो हमें वह सब कुछ बताती है जो हमें रॉस के तर्कों की नकल करने के लिए जानना चाहिए। उदाहरण के लिए, जानते हुए भी कुछ पूर्णांक के लिए वापसी के बाद कलश में गेंदों की संख्या जानने के रूप में ही है : वे ठीक लेबल के साथ जोड़ा गेंदों , हटाए गए गेंदों को । आम तौर पर, जो घटनाओं का वर्णन, और कितने, गेंदों कलश में हैं के बाद किसी भी वापसी प्रक्रिया के संदर्भ में कहा जा सकता है । n X = ( X 1 , X 2 , … ) X 1 , … , X m m ≥ 0 m { 1 , 2 , … , 10 m } { X 1 , … , X m } $X_n$$n$$X = (X_1, X_2, \dots)$$X_1, \dots, X_m$$m \geq 0$$m$$\{1, 2, \dots, 10m\}$$\{X_1, \dots, X_m\}$$X$

रॉस के प्रयोग के अनुरूप हमें हर , का पर समान है। । हमें पर एकरूप होने के लिए भी के वितरण की आवश्यकता है । यह साबित करने के लिए कि इन परिमित आयामी वितरणों के साथ एक अनंत प्रक्रिया वास्तव में मौजूद है, हम Ionescu-Tulcea Extension Theorem की शर्तों की जांच करते हैं। किसी भी पूर्णांक , और औसत दर्जे का स्थान परिभाषित करें , जहांएक्स एन | एक्स n - 1 , ... , एक्स 1 { 1 , 2 , ... , 10 n } ∖ एक्स 1 , ... , एक्स एन - 1 एक्स 1 { 1 , ... , 10 } एक्स = ( एक्स 1 , एक्स 2 , … ) n I n = { $n\geq 2$$X_n \mid X_{n-1}, \dots, X_{1}$$\{1, 2, \dots, 10n\} \setminus {X_1, \dots, X_{n-1}}$$X_1$$\{1,\dots, 10\}$$X = (X_1, X_2, \dots)$$n$( Ξ n , एक्स एन ) = ( मैं 10 एन , 2 मैं 10 एन ) 2 बी बी κ 1 ( Ξ 1 , एक्स 1 ) 1 / 10 Ξ 1 एन ≥ 2 ( एक्स 1 , ... , एक्स एन - 1 ) ∈ Ξ 1 × $\mathcal I_n = \{1, 2, \dots, n\}$$(\Xi_n, \mathcal X_n) = (\mathcal I_{10n}, 2^{\mathcal I_{10n}})$$2^B$ सेट के पावर सेट को दर्शाता है । उपाय परिभाषित पर एक ही है कि बड़े पैमाने पर डालता है होना करने के लिए के सभी तत्वों पर । किसी भी , और को परिभाषित प्रायिकता कर्नेल बनने के लिए जो सभी बिंदुओं पर , और अन्य सभी बिंदुओं पर द्रव्यमान शून्य पर समान द्रव्यमान रखता है , अर्थात पूर्णांक$B$$\kappa_1$$(\Xi_1, \mathcal X_1)$$1/10$$\Xi_1$$n \geq 2$ κ n ( एक्स 1 , ... , एक्स एन - 1 , ⋅ ) Ξ n ∖ { x 1 , ... , एक्स एन - 1 } एक्स मैं ∈ Ξ n , मैं = 1 , ... , n - 1 एक्स ( Ω , एफ , पी $(x_1, \dots, x_{n-1}) \in \Xi_1 \times \dots \times \Xi_{n-1}$$\kappa_n(x_1, \dots, x_{n-1}, \cdot)$$\Xi_n \setminus \{x_1, \dots, x_{n-1}\}$$x_i \in \Xi_n, i = 1, \dots, n - 1$। निर्माण द्वारा, संभावना गुठली रॉस द्वारा निर्दिष्ट वर्दी हटाने की संभावना से सहमत है। इस प्रकार, अनंत प्रक्रिया और प्रायिकता स्थान , जिसका अस्तित्व प्रमेय द्वारा दिया गया है, हमें रॉस के तर्क को औपचारिक रूप से पूरा करने का एक तरीका देता है।$X$$(\Omega, \mathcal F, P)$

बता दें कि परिणामों के सेट को निरूपित करता है जैसे कि गेंद , वापसी बाद कलश में है । हमारी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया संदर्भ में इसका मतलब यह है कि, सभी और लिए हम , यानी गेंद को किसी भी ड्रॉ में वें तक शामिल नहीं किया गया था । के लिए हम स्पष्ट रूप से परिभाषित कर सकते हैं गेंद के बाद से अभी तक बारी करने के लिए जोड़ा नहीं गया है। हर और , सेट मैं n एक्स मैं n मैं ≤ 10 एन ई मैं n = ∩ n j = 1 { ω : एक्स जे ( ω ) ≠ मैं } मैं n मैं > 10 एन ई मैं n = ∅ मैं जे मैं { ω : एक्स जे ( ω ) ≠ मैं } एक्स जे ई $E_{in}$$i$$n$$X$$i$$n$$i \leq 10n$$E_{in} = \cap_{j = 1}^n\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$$i$$n$$i > 10n$$E_{in} = \emptyset$$i$$j$$i$$\{\omega: X_j(\omega) \neq i\}$ चूंकि एक यादृच्छिक चर (औसत दर्जे का) है। इस प्रकार, औसत दर्जे का सेट के परिमित रूप में मापने योग्य है।$X_j$$E_{in}$

हम ऐसे परिणामों के सेट में रुचि रखते हैं, जो कि दोपहर 12 बजे के कलश में गेंदें न हों , यानी ऐसे परिणामों का सेट जो प्रत्येक पूर्णांक , गेंद 12 बजे कलश में नहीं है। प्रत्येक , परिणामों का सेट हो ( ) जैसे कि गेंद कलश में 12 बजे है। हम औपचारिक रूप से अपने का उपयोग करके निम्नानुसार बना सकते हैं। यही कारण है कि , में 12 PM पर कलश यह बाद यह कलश को जोड़ा गया है बनाया हर वापसी के बाद कलश में किया जा रहा के बराबर है तोमैं मैं ई मैं ω ∈ Ω मैं ई मैं ई मैं n मैं ई मैं = ∩ n : मैं ≤ 10 एन ई मैं एन ई मैं$i = 1, 2\dots$$i$$i$$E_i$$\omega \in \Omega$$i$$E_i$$E_{in}$$i$$E_i = \cap_{n:i\leq 10n}E_{in}$। परिणामों का सेट अब औसत दर्जे का सेट के रूप में औसत दर्जे का है, हर ।$E_i$$i$

जिन परिणामों के लिए दोपहर 12 बजे कलश में कम से कम एक गेंद होती है, जिनके लिए कम से कम एक होता है, यानी । परिणामों का सेट , औसत दर्जे का सेटों की गणना योग्य यूनियन के रूप में मापने योग्य है। अब, यह घटना है कि 12 बजे कलश में कोई गेंद नहीं है, जो वास्तव में औसत दर्जे का सेट के पूरक के रूप में औसत दर्जे का है। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि परिणामों के सभी वांछित सेट्स मापने योग्य हैं और हम उनकी संभावनाओं की गणना करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं, जैसा कि रॉस करता है। ई = ∪ ∞ मैं = 1 ई मैं ई Ω ∖ $E_i$$E = \cup_{i = 1}^\infty E_i$$E$$\Omega \setminus E$

संभावना$P(\Omega \setminus E)$

की घटनाओं के परिवार के बाद से हम पहली बार ध्यान दें , हम गणना योग्य उप-योगात्मक उपायों द्वारा है$E_i, i = 1, 2, \dots$

पी ( ई मैं ) = एक मैं मैं पी ( ई ) = 0 Σ एन मैं = 1 एक मैं = 0 एन एक मैं = 0

$$P(E) \leq \sum_{i = 1}^\infty P(E_i) = \lim_{N\to \infty}\sum_{i = 1}^N P(E_i).$$ अंकन में आसानी के लिए, आइए सभी लिए वास्तविक संख्या सूचित करें । स्पष्ट रूप से, यह दिखाने के लिए कि यह सब लिए उस को दिखाने के लिए पर्याप्त है । यह दिखाने के बराबर है कि हर , जो अब हम करेंगे।$P(E_i) = a_i$$i$$P(E) = 0$$\sum_{i = 1}^N a_i = 0$$N$$a_i = 0$$i$

उस अंत तक, ध्यान दें कि सभी ऐसी गेंद जिसे कलश में जोड़ा है, यानी , । ऐसा इसलिए है क्योंकि अगर बॉल स्टेप पर कलश में है , तो यह स्टेप पर कलश में भी है । दूसरे शब्दों में, सेट , सभी लिए एक घटता क्रम बनाता है जैसे कि । अंकन में आसानी के लिए, । रॉस कि साबित होता है के रूप में और कहा गया है कि यह भी अन्य सभी के लिए दिखाया जा सकता हैमैं 10 एन ≥ मैं ई मैं n ⊇ ई मैं ( n + 1 ) मैं n + 1 एन ई मैं एन एन 10 एन ≥ मैं एक मैं n = पी ( ई मैं n ) एक 1 एन → 0 एन → ∞ मैं एक i n = ∏ n k = i [ 9 $n$$i$$10n \geq i$$E_{in} \supseteq E_{i(n + 1)}$$i$$n + 1$$n$$E_{in}$$n$$10n \geq i$$a_{in} = P(E_{in})$$a_{1n} \to 0$$n \to \infty$$i$, जो मैं सच मानूंगा। प्रमाण में यह दर्शाया गया है कि और सभी के लिए , प्राथमिक, लेकिन मैं गणना नहीं करूंगा। इस परिणाम है, और तथ्य यह है कि घटनाओं के परिवार के साथ सशस्त्र , हर के लिए गणनीय है मैं , उपायों की निरंतरता देता हैलिम n → ∞ एक मैं n = 0 मैं ई मैं n 10 n > $a_{in} = \prod_{k = i}^n[9k / (9k + 1)]$$\lim_{n \to \infty}a_{in} = 0$$i$$E_{in}$$10n > i$

$$a_i = P(\cap_{n: 10n > i}E_{in}) = \lim_{n \to \infty} P(E_{in}) = \lim_{n \to \infty}a_{in} = 0.$$

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि , और इस प्रकार जैसा कि दावा किया गया है। QED।पी ( Ω ∖ ई ) = $P(E) = 0$$P(\Omega\setminus E) = 1$

---

कुछ सामान्य गलतफहमी:

1. एक उत्तर इस तथ्य से संबंधित है कि (मेरे संकेतन में) । हालांकि, इस समाधान की वैधता पर कोई असर नहीं पड़ता है, दाहिने हाथ की तरफ मात्रा प्रदान की गई तर्क के अनुसार ब्याज में से एक नहीं है।$\lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N \lim_{n \to \infty }a_{in} \neq \lim_{N \to \infty}\sum_{i = 1}^N a_{iN}$
2. कुछ चिंताएँ हैं कि सीमा को योग के अंदर नहीं ले जाया जा सकता है, या दूसरे शब्दों में इस अर्थ में योग के साथ नहीं जा सकता है कि यह मामला हो सकता है कि । पिछली टिप्पणी की तरह, यह समाधान के लिए अप्रासंगिक है क्योंकि दाहिने हाथ की तरफ मात्रा ब्याज की नहीं है।$\sum_{i = 1}^\infty \lim_{n \to \infty}a_{in} \neq \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^\infty a_{in}$

Comments

@ekvall Kudos इस धन्यवाद कार्य में लगाने के लिए। आम तौर पर लोगों को क्या समझना चाहिए, यदि आप कुछ घटनाओं को परिभाषित करते हैं और उन घटनाओं पर गणना करने योग्य सेट ऑपरेशन करते हैं, तो परिणामस्वरूप सेट उन घटनाओं द्वारा उत्पन्न सिग्मा बीजगणित में औसत दर्जे का है। यह ठीक है कि सिग्मा अल्जेब्रा क्या करने के लिए तैयार किए गए हैं: हमें एक ब्रह्मांड दें जहां हम औसत दर्जे के संचालन की गणना कर सकते हैं, बिना किसी चिंता के।

— पॉल

टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं; इस वार्तालाप को बातचीत में स्थानांतरित कर दिया गया है ।

— व्हिबर

Answer 8

एक तरफ, आप इसे इस तरह समझाने की कोशिश कर सकते हैं: "किसी भी गेंद की संभावना के बारे में सोचें जो कि 12 बजे कलश पर हो रही है। अनंत यादृच्छिक ड्रॉ के दौरान, इसे अंततः हटा दिया जाएगा। चूंकि यह सभी गेंदों के लिए है, कोई भी नहीं। उनमें से अंत में हो सकता है "।

मुझे यह तर्क ठोस नहीं लगता। यदि यह तर्क काम करता है, तो निम्नलिखित तर्क काम करता है: हर साल, कुछ लोग पैदा होते हैं (कुल आबादी का एक निरंतर अंश कहते हैं), और कुछ लोग मर जाते हैं (एक निरंतर अंश मान लीजिए)। फिर, चूंकि सीमा में कोई विशेष व्यक्ति लगभग निश्चित रूप से मर चुका है, तो मानव जाति को विलुप्त होना चाहिए! अब, मानव जाति अन्य कारणों से विलुप्त हो सकती है, लेकिन यह तर्क कचरा है।

इस समस्या का कोई मतलब नहीं है कि गेंदों के नामांकित होने पर इसका एक समाधान होना चाहिए और इसके लिए पूरी तरह से अलग जवाब देना होगा जब गेंद गुमनाम होती हैं। समरूपता द्वारा, मनमाने ढंग से लेबल समाधान को प्रभावित नहीं करना चाहिए। जेन्स ने इस तर्क को उदासीनता का सिद्धांत कहा , जिसे मैं स्वीकार करता हूं।

दूसरे शब्दों में, अगर किसी ने आपसे कहा कि वे दस गेंदों को कलश में डालते हैं और एक को बार-बार हटाते हैं, और सीमा में कितना भरा हुआ है, तो क्या आपका जवाब "यह निर्भर करता है कि क्या गेंदें गिने जा रही हैं"? बिलकूल नही। इस कलश की सामग्री इस समस्या के कलश की तरह ही बदल जाती है।

इसलिए, मुझे लगता है कि समाधान इस बात में निहित है कि हम समस्या को कैसे औपचारिक रूप देते हैं। सेट-सिद्धांत की सीमा की सामान्य परिभाषा से , हमारे पास है

लिम sup n → ∞ एस एन = ⋂ n ≥ 1 ⋃ जे ≥ एन एस

$$\liminf_{n \to \infty} S_n = \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{j \geq n} S_j.$$ $$\limsup_{n \to \infty} S_n = \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{j \geq n} S_j$$

सेट की कार्डिनैलिटी की सीमा होने दें

$$k\triangleq \lim_{n\to\infty}|S_n|$$

और सेट के -limit की कार्डिनैलिटी हो$\liminf$

$$l \triangleq \left|\liminf_{n\to\infty} (S_n)\right|.$$

मेरा प्रस्ताव है कि सेट-सिद्धांतिक सीमा को फिर से परिभाषित किया जाए ताकि:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} S_n &\triangleq \begin{cases} \liminf_{n\to\infty} (S_n) &\text{if } \liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k \text{ exists, and }k=l \\ \alpha_k &\text{if }\liminf_{n\to\infty} (S_n) = \limsup_{n\to\infty} (S_n), k\text{ exists, and }k \ne l \\ \text{undefined} &\text{otherwise.} \end{cases} \end{align}$$

यह विशेष "अनाम सेट" बताता है कि अनंत पर क्या होता है। जिस तरह संख्याओं के व्यवहार को सीमित करने के लिए खड़ा होता है, उसी तरह सेट के व्यवहार को सीमित करने के लिए खड़ा होता है। अर्थात्, हमारे पास , और । इस औपचारिकता का लाभ यह है कि यह हमें उदासीनता के सिद्धांत के साथ कार्डिनैलिटी और निरंतरता प्रदान करता है । ∞ अल्फा मैं ∉ अल्फा कश्मीर ∀ मैं | α k | = $\alpha_k$$\infty$$\alpha$$i \notin \alpha_k \forall i$$|\alpha_k| = k$

कलश समस्या के लिए, हमारे पास कलश में गेंदों का सेट है। और इस प्रकार, तत्व अनन्तता पर "एक चट्टान से गिर" नहीं करते हैं, जो किसी भी अधिक से अधिक समझ में नहीं आता है क्योंकि यह मानवता के लिए केवल विलुप्त होने के लिए समझ में आता है क्योंकि कोई भी व्यक्ति अमर नहीं है।लिम n → ∞ एस एन = अल्फा ∞$S_n = \{n+1, \dotsc, 10n\}$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \alpha_{\infty}.$$

इसी तरह, मान लीजिए कि हम समस्या को संशोधित करते हैं ताकि प्रत्येक चरण में एक गेंद को जोड़ा जाए और सबसे कम संख्या वाली गेंद को हटा दिया जाए। फिर, सीमा में कलश में कितनी गेंदें हैं? बेनामी सेट सहज जवाब देते हैं:

$$\lim_{n\to\infty}\{n\} = \alpha_1.$$

मैं मानता हूं कि गणितज्ञ इस विरोधाभास के प्रस्तावों के बारे में असहमत हो सकते हैं, लेकिन मेरे लिए, यह सबसे सहज संकल्प है।

Comments

किसी को भी यह तर्क देते हुए कि गणित को ठीक करने की आवश्यकता है , क्यों की एक बहुत ठोस प्रदर्शन प्रदान करना चाहिए । अन्यथा, डिफ़ॉल्ट स्थिति यह होनी चाहिए कि किसी का अंतर्ज्ञान सुधार के योग्य है। यदि नहीं, तो हम पिछले 2500 वर्षों के दौरान ज़ेनो से आगे बढ़ने का दावा कर सकते हैं।

— whuber

यदि आप नियमित संभाव्यता के स्वयंसिद्ध को स्वीकार करते हैं और यदि आप आगे स्वीकार करते हैं कि किसी विशेष गेंद के कलश में होने की संभावना शून्य है, तो बोले की असमानता से आप यह स्वीकार करने के लिए बाध्य हैं कि किसी भी गेंद के कलश में एक नहीं है।

— कार्लोस सिनेली

मानव जाति को आपके तर्क से विलुप्त होने के लिए बर्बाद नहीं किया जाता है क्योंकि हम कभी भी उस बिंदु तक नहीं पहुंचेंगे जिस पर असीम रूप से कई जन्म / मृत्यु हुई हैं - सीमा लेने की कभी आवश्यकता नहीं है। तथ्य यह है कि 12:00 पर, असीम रूप से कई चीजें हुई हैं, समस्या का मुख्य स्रोत है।

— बेन मिलवुड

-1। इस विरोधाभास के संशोधन पर विचार करें जब गेंद # एन n- वें चरण (एक यादृच्छिक गेंद के बजाय) पर हटा दी जाती है। यह स्पष्ट है कि शून्य गेंदों को आधी रात को छोड़ दिया जाएगा (क्योंकि प्रत्येक गेंद को इसी चरण पर हटा दिया जाएगा) लेकिन हम अभी भी 10 गेंदों को जोड़ रहे हैं और प्रत्येक चरण पर केवल 1 गेंद निकाल रहे हैं, इसलिए मैं कहूंगा कि यह अन-सहज है। हालाँकि, इस संशोधन का संभाव्यता या आँकड़ों से कोई लेना- देना नहीं है। इसलिए यहां "आधुनिक आंकड़ों की विफलता" नहीं हो सकती है।

— अमीबा

@NeilG इस बिंदु को स्पष्ट रूप से MathOverflow पोस्ट पर और अमीबा के जवाब पर बनाया गया था। प्रमुखता तो सिर्फ इसलिए, एक सतत संचालन नहीं है मतलब यह नहीं है । पथरी टूटी नहीं है, बल्कि आपने एक सीमा नियम का आविष्कार किया है जो मौजूद नहीं है। | S i | → $S_i\to\emptyset$$|S_i|\to 0$

— मारियो कार्नेइरो

Answer 9

समस्या या तो पहले से तैयार तर्क में है या नहीं।

मूल कारण: "अंतिम" चरण का निष्पादन एक गेंद पर अनंत संख्याओं को लिखेगा, जिससे उस कदम को निष्पादित करने के लिए एक अनंत समय लगेगा।

एक अनंत कदम के साथ एक अनंत प्रक्रिया को निष्पादित करने की क्षमता का तात्पर्य निम्न अनुक्रम एच (प्रमेय एक्स के लिए) के निष्पादन के द्वारा सभी प्रथम-क्रम तर्क समस्याओं ( Gödel इसलिए गलत है) को हल करने की क्षमता से है :

Z = asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem X
      THEN
        OUTPUT "yes" and HALT
) + asymptotic_coroutine(
  FOR N = 1...∞
    FOR P = 1...N
      Convert number P to string S by characters.
      IF S is a proof for theorem ¬X
      THEN
        OUTPUT "no" and HALT
)
IF Z = "" 
THEN Z = "independent"
IF Z = "yesno" ∨ Z = "noyes"
THEN Z = "paradox"
OUTPUT Z

जहां अनंत कदम आउटपुट को अनिर्दिष्ट कर रहा है

Asymptotic_coroutine के अंदर कार्यक्रम केवल एक प्रमेय के लिए एक संपूर्ण खोज है जो साबित करता है (या अव्यवस्था करता है) X. P को S परिणाम में "आ", "ab", "ac", ... "a∨", ... जहां हर प्रतीक जो एक प्रमेय में प्रकट हो सकता है, उत्पन्न होता है। यह लंबाई लॉग के सभी प्रमेयों को उत्पन्न करने में परिणत होता है बदले में N _{अक्षर} । चूंकि N बाहरी लूप में सीमा के बिना बढ़ता है, इसलिए यह अंततः सभी प्रमेयों को उत्पन्न करेगा।

जो पक्ष गलत है वह कभी समाप्त नहीं होगा, लेकिन हमें इस बात की परवाह नहीं है क्योंकि हमें अनंत चरणों को निष्पादित करने की अनुमति है। वास्तव में हम स्वतंत्रता का पता लगाने के लिए ऐसा करने में सक्षम हैं क्योंकि दोनों पक्ष कभी खत्म नहीं होंगे। एक चीज़ के अलावा। हमने निष्पादन की गति की असममित वृद्धि द्वारा एक अनंत समय में निष्पादित करने के लिए अनंत चरणों की अनुमति दी। यह आश्चर्यजनक हिस्सा है। Asymptotic_coroutine जो कभी भी खत्म नहीं होता है और कभी भी आउटपुट उत्पन्न नहीं करता है, asymptotic समय के बाद "समाप्त" हो गया है और फिर भी कभी भी कोई आउटपुट उत्पन्न नहीं किया है।

* यदि हमने FOR N = 1 के बाद एक OUTPUT रखा तो ... placed यह नहीं पहुंचेगा लेकिन हम ऐसा नहीं करने जा रहे हैं।

गोडेल की अपूर्णता प्रमेय के मजबूत रूप को कहा जा सकता है "प्रत्येक प्रथम-क्रम तर्क प्रणाली F के लिए एक कथन G _{F है} जो _F में सत्य है लेकिन F में सत्य सिद्ध नहीं किया जा सकता है।" लेकिन प्रूफ मेथड F, F (H) के सभी कथन सही साबित करने में विफल नहीं हो सकता।

दुविधा: dGödel inf ¬ (अनंत चरणों की अनुमति है)
इसलिए:
दुविधा: ∨Gödel ö ¬ (315502 पहले क्रम तर्क में अच्छी तरह से गठित है)

Comments

अच्छी बात (+1)। नोट अनंत समय ट्यूरिंग मशीन पर अनुसंधान होता है, उदाहरण के लिए देख arxiv.org/abs/math/0212047v1 और mathoverflow.net/a/22038 । यह पाठ्यक्रम का पहला क्रम नहीं है।

— अमीबा

जोशुआ, आपका जवाब ज्ञान मानता है कि यहां ज्यादातर लोग परिचित नहीं हैं, इसलिए वे इसका न्याय नहीं कर पाएंगे। यदि आप आगे विस्तार से बता सकते हैं कि यह बहुत अच्छा होगा।

— कार्लोस सिनेली

किसी भी परिमित संख्या के लिए, लंबाई परिमित है। किसी भी अनंत (उर्फ ट्रांसफैटन) अंक के लिए, कैंटर नॉर्मल फॉर्म में लिखा जा सकता है, जो लंबाई में परिमित है। इसे "आधार अनन्तता" कहा जा सकता है। इसलिए अंक लिखना कोई सीमा नहीं है।

— क्रेग हिक्स

@ क्रेगहिक्स: यह तब काम नहीं करता है जब आपको बीच-बीच में सभी इंटरमीडिएट नंबर भी लिखने होते थे। संकेत: यह लूप पर रोक बाधा क्या है जब यह आधार 10 पूर्णांक से कैंटर सामान्य रूप आउटपुट में स्विच करता है।

— यहोशू

यह केवल एक मशीन पर एक बाधा है जो प्रतीक तालिका में नहीं है । रॉस द्वारा वर्णित अनंत +10 -1 प्रक्रिया के परिमित समय में विश्लेषण करने के लिए, पूरी प्रक्रिया का अनुकरण करना आवश्यक नहीं है। एक स्मार्ट कार्यक्रम मैथेमेटिका से जुड़ जाएगा और इसे बहुत तेजी से पूरा किया जाएगा। $\infty$

— क्रेग हिक्स

Answer 10

आज्ञा देना x गेंदों की संख्या है कि हटा दिया गया है और शेष गेंदों की संख्या हो। प्रत्येक चक्र के बाद y = 9x। जैसे x> 0, y> 0। 12PM पर कलश में अनंत रूप से कई गोले होंगे।

कारण है कि संभावनाओं के आधार पर समाधान कठिनाइयों का कारण बनता है कि अनंत श्रृंखला से संभावनाओं मुश्किल हैं। ET Jaynes ने संभावना के कुछ अलग-अलग स्पष्ट विरोधाभासों के बारे में लिखा है, जैसे एक, अपनी पुस्तक प्रोबेबिलिटी थ्योरी: द लॉजिक ऑफ साइंस में । मेरे पास मेरी प्रति नहीं है, लेकिन पुस्तक का पहला भाग लैरी ब्रेटथोरस्ट के यहाँ ऑनलाइन उपलब्ध है । निम्नलिखित उद्धरण प्रस्तावना से है।

फिर भी जब सब कहा जाता है और किया जाता है, तो हम अपने स्वयं के आश्चर्य को देखते हैं, एक छोटे से दार्शनिक समझौते से थोड़ा अधिक ही रहता है; कई तकनीकी मुद्दों पर हम डी फिनेटी से दृढ़ता से असहमत हैं। यह हमें प्रतीत होता है कि अनंत सेटों के इलाज के उनके तरीके ने बेकार और अनावश्यक विरोधाभासों के पेंडोरा का पिटारा खोल दिया है; नॉनकॉन्ग्लोमेरैबिलिटी और फ़ाइनट एडिक्टिविटी, अध्याय 15 में चर्चा किए गए उदाहरण हैं।

अनंत सेट विरोधाभास एक रुग्ण संक्रमण बन गया है जो आज एक तरह से फैल रहा है जिससे संभावना सिद्धांत के जीवन को खतरा है, और तत्काल सर्जिकल हटाने की आवश्यकता है। हमारी प्रणाली में, इस सर्जरी के बाद, इस तरह के विरोधाभास स्वचालित रूप से टाले जाते हैं; वे हमारे बुनियादी नियमों के सही अनुप्रयोग से उत्पन्न नहीं हो सकते हैं, क्योंकि वे नियम केवल परिमित सेटों और अनंत सेटों को स्वीकार करते हैं जो परिमित सेटों की अच्छी तरह से परिभाषित और अच्छी तरह से व्यवहार की गई सीमाएँ हैं। विरोधाभास के कारण (1) सीधे अपने गुणों को परिभाषित करने के लिए किसी भी सीमित प्रक्रिया को निर्दिष्ट किए बिना एक अनंत सेट में कूदने के कारण था; और फिर (2) ऐसे प्रश्न पूछना जिनके उत्तर इस बात पर निर्भर करते हैं कि सीमा कैसे सम्‍मिलित थी।

उदाहरण के लिए, प्रश्न: "पूर्णांक क्या है इसकी संभावना क्या है?" का कोई भी उत्तर हो सकता है, जिसमें हम कृपया (0, 1), "सभी पूर्णांकों के सेट" को परिभाषित करने के लिए क्या सीमित प्रक्रिया पर निर्भर करता है? सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला को हम जिस भी क्रम में रखते हैं, उस पर निर्भर करते हुए कृपया किसी भी संख्या को अभिसरण करने के लिए बनाया जा सकता है।

हमारे विचार में, एक अनंत सेट को किसी भी "अस्तित्व" और गणितीय प्रवृत्ति के अधिकारी नहीं कहा जा सकता है - कम से कम, प्रायिकता सिद्धांत में - जब तक कि हमने सीमित प्रक्रिया को निर्दिष्ट नहीं किया है जो इसे एक परिमित सेट से उत्पन्न करना है। दूसरे शब्दों में, हम कैंटर, हिल्बर्ट और बॉर्बकी के बजाय गॉस, क्रोनकर और पॉइंकर rathere के बैनर तले नौकायन करते हैं। हम आशा करते हैं कि जो पाठक इससे हैरान हैं वे गणितज्ञ मॉरिस क्लाइन (1980) द्वारा बॉर्बकिस्म के अभियोग का अध्ययन करेंगे, और फिर हमारे दृष्टिकोण के लाभों को देखने के लिए हमारे साथ लंबे समय तक सहन करेंगे। उदाहरण लगभग हर अध्याय में दिखाई देते हैं।

@Enumaris (+1) के उत्तर में सीमा का उपयोग संभाव्यता में शिशुओं की चाल के आसपास एक रास्ता प्रदान करता है।

Comments

कृपया हमें दिखाओ कि संभाव्यता के कौन से कानून पहले पैराग्राफ में आपके निष्कर्ष को सही ठहराते हैं। उसके बिना, आप सिर्फ एक निराधार बयान कर रहे हैं।

— whuber

समस्या संभावना के कानूनों से नहीं उठती है, लेकिन जब लोग संभावना के नियमों को सही ढंग से स्वीकार करने या उपयोग करने में विफल होते हैं। यह स्वयंसिद्ध और तकनीकों से इनकार करने का विरोधाभास नहीं है कि कोई अन्य परिस्थितियों में तर्क के लिए उपयोग करता है।

— व्ह्यूबर

"यादृच्छिक पर" वाक्यांश प्रश्न में की मांग संभावनाओं पर विचार करने। अन्यथा, आप "यादृच्छिक" पर क्या मतलब समझते हैं ??

— २४'१

आपके उत्तरों से बात याद आती है। सभी मैं पूछता हूं कि आप "यादृच्छिक पर" से क्या मतलब हो सकता है यदि नहीं (स्पष्ट रूप से इच्छित) समान रूप से यादृच्छिक और, भले ही, आप यादृच्छिकता के कुछ सिद्धांत के साथ नहीं तो एक स्पष्ट रूप से कहा यादृच्छिक प्रक्रिया के बारे में कारण कैसे प्रस्तावित करें?

— व्हुबर

मुझे अभी तक आपके पोस्ट, माइकल में किसी भी तरह के वैध संभाव्य तर्क को देखना है।

— whuber

Answer 11

इन परस्पर विरोधी अंतर्द्वंद्वों को हल करने के लिए हम उन्हें सबसे अच्छी व्याख्या क्या दे सकते हैं?

यहाँ सबसे अच्छा जवाब है, और यह संभावनाओं के साथ बहुत कम है। सभी गेंदों में नंबर होते हैं, चलो उन्हें जन्म संख्या कहते हैं। जन्म संख्या B1, B2, B3 ... से शुरू होती है और अनंत तक जाती है, क्योंकि हम वास्तव में कभी नहीं रुकते हैं। हम 12:00 पूर्वाह्न के करीब पहुंच जाते हैं, लेकिन गेंदों को जोड़ते और हटाते रहते हैं, इसीलिए गेंद की अंतिम संख्या नहीं होती है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण विचार है, btw।

हमने गेंदों को 10 बॉल बैचों में एक बॉक्स में रखा, जैसे कि बैच # 7: B71, B72, ..., B80। चलो एक मिनट के लिए इन के बारे में भूल जाते हैं, और उन गेंदों पर ध्यान केंद्रित करते हैं जो बॉक्स से हटा दिए जाते हैं। वे एक यादृच्छिक क्रम में आते हैं । मैं समझाता हूं कि बाद में यादृच्छिकता क्यों महत्वपूर्ण है, लेकिन अब सभी के लिए इसका मतलब यह है कि B1 से B10k तक एक बड़ी संख्या के साथ कोई भी गेंद जो अभी भी K के चरण में है, उसे निकाला जा सकता है। हम उन गेंदों को अनुक्रमित करने जा रहे हैं जिन्हें हम उस क्रम से हटाते हैं जिसमें उन्हें हटा दिया गया था, चलो उन्हें मृत्यु संख्या कहते हैं: डी 1, डी 2, डी 3 - डीके।

12:00 बजे तक हमने अनंत गेंदों को एक बॉक्स में रखा, और निश्चित रूप से हम इसे हटाने के लिए गेंदों से बाहर कभी नहीं भागे। क्यों? क्योंकि हम पहली बार 10 गेंदें डालते हैं, केवल एक को हटाते हैं। तो, वहाँ हमेशा एक गेंद को हटाने के लिए है। इसका मतलब है कि हमने अपराह्न 12:00 बजे तक अनंत गेंदों को हटा दिया।

इसका मतलब यह भी है कि प्रत्येक हटाए गए गेंद को 1 से अनंत तक अनुक्रमित किया गया था, अर्थात हम प्रत्येक हटाए गए गेंद को एक गेंद के साथ जोड़ सकते थे जिसे बॉक्स में रखा गया था: बी 1 से डी 1, बी 2 से डी 2, आदि इसका मतलब है कि हमने जितनी गेंदों को हटाया है। हमने लगाया, क्योंकि प्रत्येक जन्म संख्या को प्रत्येक मृत्यु संख्या के साथ जोड़ा गया था।

अब वह उपाय था। यह हमारे अंतर्ज्ञान को क्यों हराता है? यह प्राथमिक है, डॉ। वाटसन। इसका कारण यह है कि हम निश्चित रूप से जानते हैं कि सभी K के लिए यह है: इसलिए कि K चरणों के बाद, हमें बॉक्स से सभी गेंद को निकालने में सक्षम नहीं होना चाहिए, क्योंकि हमने 10K गेंदों को रखा और उनमें से केवल K को हटा दिया। सही?

$$K<10K$$

थोड़ी समस्या है। मामला यह है कि जब , यह अब सच नहीं है: यही कारण है कि अंतर्ज्ञान टूट जाता है।10 × ∞ ≮ $K=\infty$

$$10\times\infty\nless\infty$$

अब, अगर गेंदों को यादृच्छिक पर नहीं हटाया गया था। @ अमीबा के कैनोनिकल जवाब में दो बातें हो सकती हैं। पहले, मान लें कि हम 10 गेंदें डाल रहे थे, फिर तुरंत अंतिम एक को हटा दिया। यह ऐसा है जैसे हम केवल नौ गेंदें डाल रहे हैं। यह हमारे अंतर्ज्ञान से मेल खाएगा, और 12:00 पूर्वाह्न में अनंत संख्या में गेंदें होंगी। कैसे? क्योंकि हम गेंदों को बेतरतीब ढंग से नहीं हटा रहे थे, हम एल्गोरिथ्म का पालन कर रहे थे जहां जन्म संख्या को हटाने के समय रूप में मृत्यु संख्या में जोड़ा गया था । इसलिए, हमने प्रत्येक निकाले गए गेंद को उन गेंदों में से एक में जोड़ दिया जो हम इसमें डालते हैं: , इसका मतलब है कि एक टन गेंदों को कभी भी B1, B2: .., बी 9, बी 11, ... आदि।$B10K=DK$ $B10\to D1,B20\to D2,B30\to D3,\dots$

दूसरी चीज जो गैर यादृच्छिक गेंद को हटाने के साथ हो सकती है, वह भी हटाने में युग्मन से संबंधित है: हम बीके = डीके को सहसंबंधित करते हैं। हम प्रत्येक चरण के पर बीके के साथ एक गेंद को हटाकर ऐसा कर सकते हैं, जो यह सुनिश्चित करता है कि बीके को डीके से जोड़ा जाता है। इस तरह से प्रत्येक हटाए गए गेंद को प्रत्येक गेंद के साथ जोड़ा जाता है जिसे हम अंदर डालते हैं, यानी उसी अंतिम परिणाम जैसे कि निकाले गए गेंदों के यादृच्छिक ड्रॉ में। जाहिर है, इसका मतलब है कि 12:00 AM के बाद बॉक्स में कोई गेंद नहीं बची है।

मैंने अभी दिखाया है कि समस्या का प्रति सेबी के साथ बहुत कम लेना-देना है। इसमें अनंत गणनीय (?) सेट की शक्तियों के साथ सब कुछ है। एकमात्र वास्तविक समस्या जिसकी मैंने चर्चा करने से परहेज किया कि क्या सेट वास्तव में गणना योग्य हैं। आप देखते हैं कि जब आप 12:00 बजे के करीब हो जाते हैं तो आपकी गेंद डालने की दर में तेज़ी से वृद्धि हो रही है, इसे हल्के ढंग से करने के लिए। इसलिए, यह वसीयत करना इतना तुच्छ नहीं है कि हमारे द्वारा बॉक्स में रखी गई गेंदों की संख्या वास्तव में गणना योग्य है या नहीं।

उजागर

अब, मैं विरोधाभास के इस विहित समाधान को उजागर करने जा रहा हूं, और हमारे अंतर्ज्ञान पर वापस जाऊंगा।

यह कैसे संभव है कि हम 10 गेंदों को डालते हैं, एक को हटाते हैं और अभी भी 12 घंटे में सभी गेंदों से बाहर निकलते हैं? यहाँ वास्तव में क्या हो रहा है। 12 घंटे अगम्य है ।

समस्या को सुधारने दें। अब हम समय अंतराल को आधा नहीं करते हैं। हम हर मिनट गेंद डालते हैं और निकालते हैं। क्या यह मूल समस्या के समान नहीं है? हां और ना।

हां, क्योंकि ऊपर दिए गए मेरे एक्सपोजर में मैंने स्पष्ट रूप से समय पर नहीं बल्कि बहुत अंत में उल्लेख किया है। मैं क़दमों की गिनती कर रहा था। तो, हम चरणों और मृत गेंदों को k द्वारा गिन सकते हैं।

नहीं, क्योंकि अब हम कभी रुकने वाले नहीं हैं । हम समय के अंत तक गेंदों को जोड़ना और निकालना जारी रखेंगे, जो कभी नहीं आता है। जबकि मूल समस्या में अंत 12 घंटे पर है।

यह बताता है कि हमारा अंतर्ज्ञान कैसे विफल होता है। हालाँकि हम हटाने के 9x की दर से गेंद डालते हैं, क्योंकि समय कभी समाप्त नहीं होता है, हर गेंद जिसे हम डालते हैं, अंततः हटा दी जाएगी! इसमें अनंत मिनट लग सकते हैं, लेकिन यह ठीक है, क्योंकि हमारे पास अनंत मिनट शेष हैं। यही समस्या का सही समाधान है।

इस फॉर्मूलेशन में आप पूछेंगे "अनंत के खत्म होने के बाद बॉक्स में कितनी गेंदें हैं?" नहीं! क्योंकि यह एक निरर्थक प्रश्न है। इसलिए मूल प्रश्न निरर्थक भी है। या आप इसे बुरा-बुरा कह सकते हैं।

अब, यदि आप मूल समस्या पर वापस जाते हैं, तो समय का अंत स्पष्ट रूप से होता है। यह १२ पर है। इस तथ्य के कारण कि हमने उस समय में गेंदें डालना बंद कर दिया था और समय समाप्त हो गया था। तो, सवाल का सही जवाब यह है कि 12 बजे कभी नहीं होना चाहिए। यह अगम्य है।

Comments

@MartijnWeterings, मैंने संभावनाओं को नहीं किया क्योंकि विरोधाभास का निर्माण विशेष रूप से संभावनाओं के सिद्धांत संबंधी नींव के दोहन के लिए किया गया था। जिसने भी विरोधाभास बनाया है, उसे पहली बार पता चला होगा कि यह अनंत गिनने योग्य सेटों की शक्ति के बारे में है। यही कारण है कि यह अमीबा के जवाब के रूप में पुस्तक में तीन संस्करणों में पूर्वनिर्मित है। पहला संस्करण दिखाता है कि हर दसवें प्राकृतिक संख्या के सेट में समान शक्ति है, उदाहरण के लिए सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट। दूसरा और तीसरा संस्करण अनिवार्य रूप से समान हैं। यहाँ संभावना बस परिदृश्य है, सभी कार्रवाई सेट में है।

— Aksakal

यह तर्क रॉस पुस्तक के संस्करणों # 1 और # 2 के बीच अंतर करने में सक्षम नहीं लगता है (मेरा उत्तर देखें), भले ही ये संस्करण विपरीत परिणाम देते हैं: एक मामले में कलश खाली हो जाता है और किसी अन्य मामले में ऐसा नहीं होता है ।

— अमीबा

मुझे लगता है कि सच्चाई यह है कि आप 12 तक नहीं पहुंच सकते। यही सही समाधान है। एक ही समस्या पर विचार करें लेकिन प्रत्येक चरण में समय को रोकने के बजाय आप समय में समान अवधि के चरण बनाते हैं, 1 मिनट का कहना है। यह हमेशा के लिए चला जाएगा। यह कभी नहीं रुकेगा। लेकिन सवाल यह होगा कि "जब आप बॉक्स में क्या रोकते हैं?" तो आपका जवाब होगा कि यह एक निरर्थक प्रश्न है क्योंकि समय कभी समाप्त नहीं होता है।

— अक्षयकाल

नहीं, यह कोई सामान्य समय नहीं है। वह बिंदु है। यह समस्या सामान्य भौतिक समय की तुलना में बहुत अलग तरीके से समय निर्धारित करती है। कलश अनंत है और यह ठीक है

— अक्षकाल

क्या आप भौतिक विज्ञानी हैं? आप क्या शारीरिक प्रक्रिया जानते हैं कि दूर से भी यह एक जैसा दिखता है?

— अक्कल

Answer 12

यह अमीबा के जवाब को पढ़ने के लायक है जो सिर्फ उत्कृष्ट है और समस्या को बहुत स्पष्ट करता है। मैं उनके जवाब से बिल्कुल असहमत नहीं हूं लेकिन यह बताना चाहता हूं कि समस्या का समाधान एक निश्चित सम्मेलन पर आधारित है। क्या दिलचस्प है कि इस तरह की समस्या से पता चलता है कि यह सम्मेलन, जबकि अक्सर इस्तेमाल किया जाता है, संदिग्ध है।

जैसा कि वह कहते हैं कि यह साबित करने के बारे में एक तकनीकी बिंदु है कि प्रत्येक गेंद के लिए कलश में रहने की संभावना 0. है। इस बिंदु के अलावा, समस्या संभावनाओं के बारे में नहीं है। एक नियतकालिक समकक्ष दिया जा सकता है। इसे समझना बहुत आसान है। मुख्य विचार यह है: चूँकि हर गेंद किसी समय में कलश से अनुपस्थित है, अंत में कलश खाली है। यदि आप शून्य और प्रत्येक के अनुक्रम द्वारा प्रत्येक गेंद के कलश में उपस्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो प्रत्येक अनुक्रम एक निश्चित सीमा से 0 है, इस प्रकार इसकी सीमा 0 है।

अब समस्या को और भी सरल बनाया जा सकता है। मैं 1, 2, 3 क्षणों को सादगी के लिए कहता हूं:

• पल 1: कलश में गेंद 1 डालें
• पल 2: इसे हटा दें
• पल 3: बॉल 2 को कलश में रखें
• पल 4: इसे हटा दें
• पल 5: कलश में 3 बॉल डालें
• ...

अंत (दोपहर) में क्या गेंदें? एक ही विचार के साथ, एक ही जवाब: कोई नहीं।

लेकिन मौलिक रूप से, पता करने का कोई तरीका नहीं है, क्योंकि समस्या यह नहीं कहती है कि दोपहर में क्या होता है। दरअसल, यह संभव है कि समय के अंत में, पिकाचु अचानक कलश में आ जाए। या हो सकता है कि गेंदें अचानक गिर जाएं और एक बड़ी गेंद में विलय हो जाए। इसका मतलब यह नहीं है कि यह यथार्थवादी होना है, यह सिर्फ निर्दिष्ट नहीं है।

समस्या का केवल तभी उत्तर दिया जा सकता है जब एक निश्चित सम्मेलन हमें यह बताता है कि सीमा पर कैसे जाना है: एक निरंतरता धारणा। दोपहर को कलश की स्थिति पहले अपने राज्यों की सीमा है। हमें निरंतरता की धारणा के लिए कहां देखना चाहिए जो हमें प्रश्न का उत्तर देने में मदद करेगा?

शारीरिक कानूनों में? भौतिक कानून एक निश्चित निरंतरता सुनिश्चित करते हैं। मैं एक साधारण शास्त्रीय मॉडल के बारे में सोचता हूं, वास्तविक आधुनिक भौतिकी पर नहीं। लेकिन मौलिक रूप से, भौतिक कानून गणितीय प्रश्नों के बिल्कुल समान प्रश्न लाएंगे: जिस तरह से हम भौतिक कानूनों के लिए निरंतरता का वर्णन करते हैं, वह सवाल गणितीय रूप से पूछने पर निर्भर करता है: क्या निरंतर है, कैसे?

हमें एक निरंतरता की धारणा को और अधिक अमूर्त तरीके से देखना होगा। सामान्य विचार यह है कि कलश की स्थिति को गेंदों के सेट से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करना है । ० का अर्थ है अनुपस्थित, १ का अर्थ है उपस्थित। और निरंतरता को परिभाषित करने के लिए, हम उत्पाद टोपोलॉजी, उर्फ ​​बिंदुवार अभिसरण का उपयोग करते हैं। हम कहते हैं कि दोपहर के समय की स्थिति, इस टोपोलॉजी के अनुसार दोपहर से पहले राज्यों की सीमा है। इस टोपोलॉजी के साथ, एक सीमा है, और यह 0 है: एक खाली कलश।$\{0;1\}$

लेकिन अब हम इस टोपोलॉजी को चुनौती देने के लिए समस्या को थोड़ा संशोधित करते हैं:

• पल 1: कलश में गेंद 1 डालें
• पल 2: इसे हटा दें
• पल 3: कलश में गेंद 1 डालें
• पल 4: इसे हटा दें
• पल 5: कलश में गेंद 1 डालें
• ...

समान टोपोलॉजी के लिए, राज्यों के अनुक्रम की कोई सीमा नहीं है। यहीं से मैं विरोधाभास को एक सच्चे विरोधाभास के रूप में देखना शुरू करता हूं। मेरे लिए यह संशोधित समस्या अनिवार्य रूप से समान है। कल्पना कीजिए कि आप कलश हैं। आप गेंदों को आते-जाते देखते हैं। यदि आप इस पर संख्या को नहीं पढ़ सकते हैं, चाहे वह एक ही गेंद हो या कोई दूसरा आपके लिए क्या हो रहा है, इसे नहीं बदलता है। गेंदों को अलग-अलग तत्वों के रूप में देखने के बजाय, आप उन्हें अंदर और बाहर आने वाली मात्रा के रूप में देखते हैं। निरंतरता को प्राकृतिक रूप से पदार्थ की मात्रा के बदलाव को देखकर परिभाषित किया जा सकता है। और वास्तव में कोई सीमा नहीं है। एक तरह से यह समस्या मूल समस्या के समान है जहां आप गेंद की पहचान को नजरअंदाज करने का निर्णय लेते हैं, इस प्रकार एक अलग मीट्रिक और अभिसरण की एक अलग धारणा के लिए अग्रणी होता है। और यहां तक ​​कि अगर आप गेंदों पर संख्या देख सकते हैं,

एक मामले में, आपके राज्यों के अनुक्रम की सीमा "खाली" है, दूसरे मामले में यह सीमा अपरिभाषित है।

उत्पाद टोपोलॉजी के साथ समस्या की औपचारिकता मौलिक रूप से प्रत्येक अलग गेंद के साथ अलग होने पर निर्भर करती है, और इस प्रकार "डिफरिशब्लिटी" को दर्शाती एक मीट्रिक का निर्माण करती है। केवल इस अलगाव के कारण एक सीमा को परिभाषित किया जा सकता है। तथ्य यह है कि यह पृथक्करण उत्तर के लिए इतना मौलिक है लेकिन कलश में "जो चल रहा है" का वर्णन करने के लिए मौलिक नहीं है (एक ऐसा बिंदु जो अंतहीन तर्कपूर्ण है), मुझे लगता है कि समाधान एक मौलिक सत्य के बजाय एक सम्मलेन का परिणाम है।

मेरे लिए, समस्या, जब विशुद्ध रूप से सार के रूप में माना जाता है जब तक लापता जानकारी प्रदान की जाती है, तब तक: यह है कि दोपहर की स्थिति पिछले राज्यों की सीमा है और किस अर्थ में सीमित है। हालाँकि, जब इस समस्या के बारे में सहजता से सोचा जाए, तो राज्यों के अनुक्रम की सीमा कुछ ऐसी नहीं है जिसे आप एक ही तरीके से सोच सकते हैं। मौलिक रूप से, मुझे लगता है कि जवाब देने का कोई तरीका नहीं है।

Comments

मूल समस्या का उत्तर औपचारिकता पर निर्भर नहीं करता है। आपकी प्रस्तावित समस्या भिन्नताएँ एक ही समस्या की विभिन्न औपचारिकताएँ नहीं हैं, वे अलग-अलग समस्याएँ हैं।

— पॉल

मैं @Paul से सहमत हूं, लेकिन सिर्फ यह कहने के लिए यहां टिप्पणी कर रहा हूं कि मैं विषम चरणों पर 1 गेंद डालने और यहां तक ​​कि दिलचस्प कदमों पर इसे बाहर निकालने का उदाहरण ढूंढता हूं। कलश की इस श्रृंखला में स्पष्ट रूप से कोई सीमा नहीं है जो IMHO का अर्थ है कि यह " सुपरटैस्क " बीमार है और इसे पूरा नहीं किया जा सकता है। यह उन सुपरटेक के विपरीत है जिनकी हम यहां चर्चा कर रहे हैं।

— अमीबा

दिलचस्प फिर से लिखना बेनोइट! यह निश्चित रूप से एक विचारोत्तेजक जोड़ी का सुपरसेट है। @Paul, संपादित करने से न चूकें।

— अमीबा

मेरे लिए गेंदों पर संख्या बेनोइट की दो नई कलश समस्याओं में दुनिया में सभी अंतर बनाती है। यह एक बहुत लगातार आवर्ती आगंतुक होने और भगदड़ देखने के बीच का अंतर है। यह कहना मुश्किल है कि दोपहर के समय आवर्तक आगंतुक के साथ क्या होता है, लेकिन भगदड़ के साथ यह देखना बहुत आसान है कि यह पीछे कुछ भी नहीं छोड़ने वाला है। यह केवल तभी होता है जब आप गेंदों की अलग-अलग पहचान के महत्वपूर्ण तथ्य को नजरअंदाज कर देते हैं जिससे आप परिप्रेक्ष्य खो बैठते हैं और सब कुछ एक जैसा दिखता है। संख्याएं हमें उन पहचानों की याद दिलाने के लिए हैं। उन्हें अनदेखा करना अव्यावहारिक है।

— पॉल

हां, मैं सहमत हूं, आवर्तक एकल गेंद संस्करण के लिए। अनुक्रमिक संख्या वाली गेंद भगदड़ के लिए, यह साबित करना आसान है कि दोपहर में कोई भी गेंद कलश में नहीं है।

— पॉल

Answer 13

मैं एक सुधार करना चाहता हूं जो 0 से अधिक सहज बनाने के लिए जितना संभव हो उतना आसान बनाना है, सरलीकृत उदाहरण से शुरू होता है कि गेंदों को बेतरतीब ढंग से हटाया नहीं जाता है, लेकिन बॉल को -स्टेप पर हटा दिया जाता है ।$n$$n$

इस पर विचार करें: मैंने शुरुआत में सभी गेंदों को कलश में डाल दिया । चरण 1 में, मैं गेंद निकालता हूं। चरण 2 में, मैं गेंद 2 निकालता हूं, और इसी तरह। कोई संदेह नहीं कि अनंत चरणों के बाद कलश खाली हो जाएगा?

ठीक है। लेकिन अगर मैं पहली बार कलश में सभी गेंदें नहीं डालूंगा, लेकिन केवल कुछ गेंदें हैं, तो आखिर में कलश कैसे भरे जा सकते हैं?

Comments

+1। अच्छा लगा। यह पूरी तरह से कब्जे वाले हिल्बर्ट के होटल से बाहर निकलकर हर एक व्यक्ति की तरह है ; होटल खाली छोड़ दिया जाएगा।

— अमीबा

प्रत्येक परिमित चरण n के बाद, कलश खाली नहीं है। लेनदेन हालांकि केवल सीमित चरणों में ही हो सकते हैं। अंतर्विरोध।

— विल्हेम

क्या आप उस पर विस्तृत कर सकते हैं? मुझे बात नहीं सूझी।

— थ्रन

@Thern: एक गेंद को सीमित चरण n पर ही हटाया जा सकता है। लेकिन हर परिमित कदम के बाद कलश में गेंदें होती हैं (मूल उदाहरण में और आप में)। इसलिए सीमा खाली नहीं हो सकती। अन्यथा सभी परिमित चरणों और सीमा के बीच कुछ हुआ होगा। अंतर्विरोध।

— विल्हेम

विरोधाभास निम्नलिखित सिद्धांत में आपके विश्वास के द्वारा बनाया गया है: "जब किसी अनुक्रम के सदस्यों के पास एक संपत्ति होती है, तो वह संपत्ति अनुक्रम की सीमा को ले कर संरक्षित होती है।" यह गणित का मान्य सिद्धांत नहीं है (या उस मामले के लिए भौतिकी)।

— पॉल

Answer 14

इस पोस्ट का उद्देश्य ओपी के अंतिम विकल्प के लिए तर्क देना है कि हमें एक बेहतर सूत्रीकरण की आवश्यकता है। या कम से कम, रॉस सबूत स्पष्ट कटौती नहीं है क्योंकि यह पहले लग सकता है, और निश्चित रूप से, प्रमाण इतना सहज नहीं है जो संभावना के सिद्धांत के लिए एक परिचय पाठ्यक्रम में होने के लिए एक अच्छी स्थिति में है। विरोधाभासी पहलुओं को समझने में दोनों को बहुत स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है, और एक बार उन बिंदुओं पर स्पष्ट स्पष्टीकरण दिया गया है जहां रॉस का प्रमाण बहुत जल्दी से गुजरता है, जिससे यह देखना मुश्किल होता है कि कौन सा स्वयंसिद्ध, प्रमेय, और अंतर्निहित व्याख्याएं जो कि प्रमाण पर निर्भर करती हैं।

इस पहलू से संबंधित यह Teun Koetsier के अंतिम शब्दों को पढ़ने के लिए बहुत ही मनोरंजक है "Didactiek oneindig veel pingpongballen से मिले?"

Als we nass oppassen dan wordt het 'विरोधाभास ए विंडो टू कन्फ्यूजन'।

अनूदित "यदि हम लापरवाह नहीं हैं तो यह 'विरोधाभास को भ्रम पैदा करने वाली एक खिड़की' बन जाता है"

नीचे "नियमित" तर्कों का विवरण दिया गया है, जो सुपरसेट पर चर्चा में पारित हो सकते हैं, और विशेष रूप से नियतात्मक रॉस-लिटिलवुड विरोधाभास। इस के बाद, जब हम यह सब चर्चा अलग सेट, एक दृश्य के संभाव्य रॉस-लितिल्वूद विरोधाभास के विशेष मामले के उपलब्ध कराने के रूप में दिया जाता अतिरिक्त तत्व है, जो तथापि supertasks साथ व्यापक सेटिंग में खो और भ्रामक मिलता है।

तीन नियतात्मक मामलों और सुपरसेट पर चर्चा

रॉस-लिटलवुड विरोधाभास कई अलग-अलग परिणामों को जानता है, जिस तरह से गेंदों को कलश से विस्थापित किया जाता है। इनकी जांच करने के लिए, चलो ठीक समस्या वर्णन का उपयोग करके किक करते हैं क्योंकि लिटिलवुड ने अपनी 1953 की पांडुलिपि में 5 वीं समस्या के रूप में वर्णित किया है

संस्करण 1 कलश में शेष गेंदों का सेट खाली है

रॉस-लिटलवुड विरोधाभास, या लिटिलवुड-रॉस विरोधाभास, पहली बार लिटिलवुड की 1953 की पांडुलिपि "गणितज्ञ के मिसकैलनी" में 5 वीं समस्या के रूप में सामने आए।

एक अनंत विरोधाभास। बॉल्स की संख्या 1, 2, ... (या गणितज्ञ के लिए खुद नंबर) को एक बॉक्स में निम्नानुसार रखा गया है। दोपहर 1 मिनट पर नंबर 1 से 10 तक डाल दिए जाते हैं, और नंबर 1 को निकाल लिया जाता है। दोपहर के १/२ मिनट से दोपहर ११ से २० तक नंबर लगाए जाते हैं और नंबर २ को निकाल लिया जाता है। दोपहर को बॉक्स में कितने हैं?

लिटिलवुड इस समस्या के बारे में कम है, लेकिन अंक के सेट के रूप में एक अच्छा प्रतिनिधित्व देता है:

$P_{1} + P_{2}+ ... + P_{10} - P_1 + P_{11} + ... + P_{20} - P_2 + ...$

जिसके लिए यह आसानी से देखा जाता है कि यह 'अशक्त' है।

संस्करण 2 कलश में बची हुई गेंदों का आकार अनंत है

रॉस (1976) इस विरोधाभास में दो और संस्करण जोड़ता है। पहले हम पहले जोड़ को देखते हैं:

मान लीजिए कि हमारे पास असीम रूप से बड़ा कलश है और बॉल नंबर 1, नंबर 2, नंबर 3 और इसी तरह से लेबल वाली गेंदों का अनंत संग्रह है। इस प्रकार किए गए प्रयोग पर विचार करें: 1 मिनट से 12 बजे तक, 10 के माध्यम से गिने जाने वाले 1 गेंदों को कलश में रखा जाता है और 10 नंबर की गेंद को वापस ले लिया जाता है। (मान लें कि निकासी में कोई समय नहीं लगता है।) 12 मिनट से 12 बजे तक, 20 की संख्या में 11 गेंदों को कलश में रखा जाता है और गेंद संख्या 20 को वापस ले लिया जाता है। 14 बजकर 12 मिनट पर, 30 में से 21 नंबर वाली गेंदों को कलश में रखा जाता है और 30 नंबर की गेंद को वापस ले लिया जाता है। 18 मिनट से 12 बजे तक, और इसी तरह। ब्याज का सवाल है, 12 बजे कलश में कितनी गेंदें हैं?

स्पष्ट रूप से उत्तर अनंत है क्योंकि यह प्रक्रिया कलश में साथ सभी गेंदों को छोड़ देती है , जो असीम रूप से कई हैं।$x \mod 10 \neq 0$

इससे पहले कि हम रॉस के दूसरे जोड़ पर आगे बढ़ें, जिसमें संभावनाएं शामिल थीं, हम दूसरे मामले में आगे बढ़ते हैं।

संस्करण 3 कलश में शेष गेंदों का सेट मनमाना आकार का एक परिमित सेट है

गेंदों को विस्थापित करने की प्रक्रिया के आधार पर कलश में दोपहर 12 बजे किसी भी संख्या में गेंद हो सकती है। इस भिन्नता को टेनिस बॉल समस्या के रूप में टाइमोकोज़्को और हेन्ले (1995) द्वारा वर्णित किया गया है।

टॉम एक बड़े बॉक्स में है, खुद को छोड़कर। जिम बॉक्स के बाहर अनंत संख्या में टेनिस बॉल (संख्या 1, 2, 3, ....) के साथ खड़ा है। जिम ने 1 और 2 गेंदों को बॉक्स में फेंका। टॉम एक टेनिस बॉल उठाता है और उसे फेंक देता है। अगला जिम 3 गेंदों में फेंकता है और 4. टॉम एक गेंद उठाता है और इसे बाहर फेंकता है। अगला जिम 5 गेंदों में फेंकता है और 6. टॉम एक गेंद उठाता है और इसे बाहर फेंकता है। जब तक जिम ने सभी गेंदों को फेंक नहीं दिया तब तक यह प्रक्रिया अनंत बार चलती है। एक बार फिर, हम आपको एक सीमित समय में अनंत कार्यों को पूरा करने के लिए कहते हैं। यहाँ सवाल है: टॉम के साथ बॉक्स में कितनी गेंदें होती हैं जब कार्रवाई होती है?

उत्तर कुछ परेशान करने वाला है: यह निर्भर करता है। प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं दी गई है। इसमें अनंत संख्या में गेंदें बच सकती हैं, या कोई भी नहीं हो सकती है।

पाठ्यपुस्तक उदाहरण में वे दो मामलों के लिए तर्क देते हैं, या तो अनंत या परिमित (Tymoczko और हेन्ले, एक व्यायाम के रूप में मध्यवर्ती मामले को छोड़ देते हैं), हालांकि समस्या को कई जर्नल लेखों में आगे ले जाया जाता है जिसमें समस्या सामान्यीकृत होती है जैसे कि हम प्राप्त कर सकते हैं प्रक्रिया के आधार पर कोई संख्या।

विशेष रूप से दिलचस्प समस्या के दहनशील पहलुओं पर लेख हैं (जहां ध्यान केंद्रित है, हालांकि, अनन्तता के पहलुओं पर नहीं)। उदाहरण के लिए, हमारे द्वारा किसी भी समय संभव सेटों की संख्या गिनना। 2 गेंदों को जोड़ने और 1 प्रत्येक चरण को हटाने के मामले में परिणाम सरल हैं और n-th चरण में संभावित सेटों की संख्या n + 1-th साह संख्या है। उदाहरण के लिए, पहले चरण में 2 कब्जे {1}, {2}, 5 संभावनाएं {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} और {3,4} दूसरे चरण में, 14 में तीसरे, चौथे में 42, वगैरह ( मर्लिन, स्प्रुग्नोली और वेरी 2002, द टेनिस बॉल समस्या ) देखें। इस परिणाम को गेंदों को जोड़ने और बदलने की विभिन्न संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है, लेकिन अब इस पोस्ट के लिए बहुत दूर चला जाता है।

सुपरसेट की अवधारणा पर आधारित तर्क

संभाव्यता के सिद्धांत को प्राप्त करने से पहले, नियतात्मक मामलों और सुपरटेक को पूरा करने की संभावना के खिलाफ पहले से ही कई तर्क दिए जा सकते हैं। इसके अलावा, कोई यह सवाल कर सकता है कि क्या सेट थेरैटिक ट्रीटमेंट सुपरनैस्क के कीनेमेटिक प्रतिनिधित्व का एक वैध प्रतिनिधित्व है। मैं यह तर्क नहीं देना चाहता कि ये तर्क अच्छे हैं या बुरे। मैं उन्हें इस बात पर प्रकाश डालने के लिए उल्लेख करता हूं कि संभाव्य मामले को इन 'सुपरटैस्क'-तर्कों के साथ विपरीत किया जा सकता है और अतिरिक्त तत्वों से युक्त के रूप में देखा जा सकता है जिनका सुपरटेक से कोई लेना-देना नहीं है। संभाव्यता के मामले में एक अनूठा और अलग तत्व होता है (संभाव्यता के सिद्धांत के साथ तर्क) जो कि सुपरटेक के मामले के खिलाफ या बहस करने से न तो साबित होता है और न ही नकारा जाता है।

• निरंतरता तर्क : ये तर्क अक्सर अधिक वैचारिक होते हैं। उदाहरण के लिए, इस विचार को समाप्त नहीं किया जा सकता है कि जैसे कि अक्सकल और यहोशू अपने उत्तरों में बहस करते हैं, और इन धारणाओं का एक स्पष्ट प्रदर्शन थॉमसन का चिराग है , जो रॉस लिटिलवुड के विरोधाभास के मामले में पूछने जैसा होगा, अंतिम हटा दिया गया था संख्या विषम या सम?

• भौतिक तर्क: ऐसे तर्क भी मौजूद हैं जो गणितीय निर्माण को समस्या के भौतिक बोध के लिए प्रासंगिक होने के रूप में चुनौती देते हैं। हमारे पास किसी समस्या का कठोर गणितीय संधि हो सकती है, लेकिन एक सवाल यह है कि क्या वास्तव में यह कार्य के यंत्रवत निष्पादन पर असर डाल रहा है (सरलीकृत धारणाओं से परे जैसे भौतिक दुनिया की कुछ बाधाओं को गति सीमा या ऊर्जा / अंतरिक्ष आवश्यकताओं के रूप में तोड़ना) ।

  • एक तर्क यह हो सकता है कि सेट-थियेट्रिक सीमा एक गणितीय अवधारणा है जो जरूरी नहीं कि भौतिक वास्तविकता का वर्णन करती है

    उदाहरण के लिए निम्नलिखित भिन्न समस्या पर विचार करें: कलश के अंदर एक गेंद होती है, जिसमें हम नहीं चलते हैं। प्रत्येक चरण हम गेंद पर पहले लिखी संख्या को मिटा देते हैं और उस पर एक नया, निचला, संख्या फिर से लिखते हैं। क्या अनंत कई चरणों के बाद कलश खाली हो जाएगा? इस मामले में यह सेट सिद्धांत की सीमा का उपयोग करने के लिए थोड़ा अधिक बेतुका लगता है, जो खाली सेट है। यह तर्क एक गणितीय तर्क के रूप में अच्छा है, लेकिन क्या यह समस्या की भौतिक प्रकृति का प्रतिनिधित्व करता है? यदि हम अमूर्त गणितीय तर्क (जो, शायद एक अलग समस्या के रूप में अधिक माना जाना चाहिए ) के कारण गेंदों को कलश से गायब होने की अनुमति देते हैं तो क्या हम पूरे कलश को गायब कर सकते हैं?

  • इसके अलावा, गेंदों का भेदभाव और उन्हें एक आदेश देने के लिए "अनफ़िज़िकल" लगता है (यह सेट के गणितीय उपचार के लिए प्रासंगिक है, लेकिन क्या कलश में गेंदें उन सेटों की तरह व्यवहार करती हैं?)। यदि हम प्रत्येक चरण में गेंदों को फेरबदल करेंगे (उदाहरण के लिए प्रत्येक चरण बेतरतीब ढंग से गेंद के ढेर के साथ एक गेंद को स्विच करें तो अनंत गेंदों के शेष ढेर से), इस प्रकार कलश या नंबर दर्ज करने के आधार पर नंबरिंग को भूल जाते हैं। शुरुआत से, फिर सेट थ्योरिटिक सीमा पर आधारित तर्कों का कोई मतलब नहीं है क्योंकि सेट अभिसरित नहीं होते हैं (कलश से एक गेंद छूटने के बाद कोई स्थिर समाधान नहीं होता है, यह फिर से लौट सकता है)।

    कलश को भरने और खाली करने के शारीरिक कार्यों को करने के दृष्टिकोण से ऐसा लगता है कि यह बात नहीं होनी चाहिए कि हमारे पास गेंदों पर संख्याएं हैं या नहीं। यह सेट थ्योरिटिक तर्क को वास्तविक प्रक्रिया के बजाय अनंत सेट के बारे में गणितीय विचार की तरह अधिक बनाता है।

वैसे भी, यदि हम उपदेशात्मक उद्देश्यों के लिए इन अनंत विरोधाभासों के उपयोग पर जोर देते हैं, और इस प्रकार, हम संभाव्यता के सिद्धांत को प्राप्त करने से पहले, हमें सबसे अधिक संदेहपूर्ण / जिद्दी द्वारा स्वीकार किए जाने वाले (कुछ) सुपरक्यूट के एक स्वीकार्य विचार प्राप्त करने के लिए लड़ने की जरूरत है। विचारक, फिर ज़ेनो के विरोधाभास और ऑलिस और कोएटिसियर (1995) द्वारा वर्णित रॉस- लिटलवुड विरोधाभास और जल्द ही नीचे वर्णित के बीच पत्राचार का उपयोग करना दिलचस्प हो सकता है ।

अपने सादृश्य में अकिलीज़ कछुए को पकड़ने की कोशिश कर रहे हैं, जबकि दोनों उस तरह से लगाए गए झंडे को पार करते हैं, दूरी जैसे कि झंडे के साथ Achilles की दूरी। कछुए की दूरी झंडे, अर्थात् साथ । फिर दोपहर 12 बजे तक। कछुए और एच्लीस के झंडे में अंतर बढ़ रहा है । लेकिन, अंततः रात 12 बजे एलीटिक्स को छोड़कर कोई भी यह तर्क नहीं देगा कि वे अकिलिस और कछुए एक ही बिंदु पर पहुंच गए हैं और (इस प्रकार) उनके बीच में शून्य झंडे हैं।

$$F(n)=2^{-10 \log n}$$ $n$$10n$$F(n) = 2 F(10n)$

संभाव्य मामला और यह समस्या के नए पहलुओं को कैसे जोड़ता है।

रॉस (उनकी पाठ्यपुस्तक में) द्वारा जोड़ा गया दूसरा संस्करण यादृच्छिक चयन के आधार पर गेंदों को हटाता है

आइए अब हम मान लेते हैं कि जब भी किसी गेंद को वापस लेना होता है, तो उस गेंद को उन लोगों के बीच में से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। यही है, मान लीजिए कि 1 मिनट से 12 बजे तक की गई गेंदों को 1 के माध्यम से 10 में से एक को कलश में रखा जाता है और एक गेंद को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और वापस ले लिया जाता है, और इसी तरह। इस मामले में, 12 बजे कलश में कितनी गेंदें हैं?

रॉस समाधान यह है कि कलश खाली होने की संभावना 1 है। हालांकि, जब रॉस का तर्क ध्वनि और कठोर लगता है, तो कोई भी आश्चर्यचकित हो सकता है कि इसके लिए किस तरह के स्वयंसिद्ध आवश्यक हैं और कौन से प्रयोग किए गए प्रमेयों को अंतर्निहित धारणाओं द्वारा तनाव में रखा जा सकता है जो कि उन स्वयंसिद्धों में स्थापित नहीं हो सकते हैं (उदाहरण के लिए पूर्व निर्धारित दोपहर की घटनाओं को संभावनाएं सौंपी जा सकती हैं)।

रॉस की गणना दो तत्वों के संयोजन में होती है जो एक गैर-खाली कलश की घटना को बहुत से उपसमूह / घटनाओं में विभाजित करता है और यह साबित करता है कि इन घटनाओं में से प्रत्येक के लिए संभावना शून्य है:

1. के लिए, , घटना है कि गेंद संख्या दोपहर 12 बजे कलश में है, हमारे पास$F_i$$i$$P(F_1) = 0$

2. के लिए, , संभावना है कि कलश दोपहर 12 बजे तक खाली नहीं है$P(\bigcup_1^\infty F_i)$

   $P(\bigcup_1^\infty F_i) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$

रॉस-लिटिलवुड विरोधाभास का संभाव्य मामला, बिना सुपरसेट के बारे में तर्क के

विरोधाभास के सबसे नग्न रूप में, सुपरसेट के प्रदर्शन के साथ किसी भी समस्या से अलग करना, हम अनंत सेटों को घटाने की "सरल" समस्या के बारे में आश्चर्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए तीन संस्करण हमें मिलते हैं:

$$\begin{array} \\ S_{added} &= \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \rbrace + \lbrace10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,1} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,2} &= \lbrace 10k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \\ S_{removed,3} &= \lbrace k \text{ with } k \in \mathbb{N} \rbrace \setminus \lbrace a_1,a_2,a_3,... \text{ with } a_i \in \mathbb{N} \rbrace \end{array}$$

और समस्या जैसे सेट घटाव तक कम हो ।$S_{added}-S_{removed,1} = \emptyset$

कोई भी अनंत अनुक्रम, , एक (समान रूप से) संभव अनुक्रम है, जिसमें उस क्रम का वर्णन किया गया है जिसमें गेंदों को रॉस के एक संभाव्य बोध में हटाया जा सकता है -लुटवुड की समस्या। चलो इन अनंत अनुक्रमों को आरएल-अनुक्रम कहते हैं।$S_{RL} =\lbrace a_k \text{ without repetitions and } a_k < 10k \rbrace$

अब, सुपरसेट के बारे में विरोधाभासी तर्क के बिना अधिक सामान्य प्रश्न, आरएल अनुक्रमों के घनत्व के बारे में है जिसमें पूरे सेट शामिल नहीं हैं।$\mathbb{N}$

समस्या का एक चित्रमय दृश्य।

नेस्टेड, भग्न, संरचना

इस उत्तर के संपादित संस्करण से पहले मैंने एक तर्क दिया था कि 'अनंत दृश्यों से कलश खाली करने वाले नक्शे ’के अस्तित्व का उपयोग किया गया था, जिसमें' नंबर 1 नहीं’ वाले अनंत दृश्यों को this खाली कर दिया।

यह एक वैध तर्क नहीं है। उदाहरण के लिए वर्गों के सेट के घनत्व के साथ तुलना करें। असीम रूप से कई वर्ग होते हैं (और इसमें संबंध और ) होते हैं, फिर भी वर्गों के सेट में में घनत्व शून्य होता है ।$n \mapsto n^2$$n^2 \mapsto n$$\mathbb{N}$

नीचे दी गई छवि एक बेहतर दृश्य बनाती है कि, प्रत्येक अतिरिक्त कदम के साथ, कलश में गेंद 1 की संभावना कम हो रही है (और हम अन्य सभी गेंदों के लिए एक ही तर्क कर सकते हैं)। भले ही सभी आरएल-अनुक्रमों (विस्थापित गेंदों के अनुक्रम) के उप-भाग की कार्डिनैलिटी सभी आरएल-अनुक्रमों की कार्डिनैलिटी के बराबर होती है (छवि एक प्रकार की भग्न संरचना प्रदर्शित करती है और पेड़ में इसकी बारह की कई प्रतियां शामिल हैं)।

नमूना स्थान की वृद्धि, पथों की संख्या

छवि पहले पांच चरणों के लिए सभी संभावित अहसास दिखाती है, टेनिस बॉल समस्या (टेनिस बॉल समस्या, प्रत्येक चरण: 2 हटाने 1 जोड़ें, के लिए योजना के साथ कम तेजी से बढ़ता है और प्रदर्शित करना आसान है)। फ़िरोज़ा और बैंगनी रेखाएं उन सभी संभावित रास्तों को प्रदर्शित करती हैं जो प्रकट हो सकते हैं (प्रत्येक चरण पर कल्पना करें कि हम आकार का पासा फेंकते हैं और इसके आधार पर हम पथों में से एक का चयन करते हैं, या परिणामों के आधार पर दूसरे शब्दों में कहते हैं। हम कलश में गेंदों में से एक को हटा देते हैं )।$n$$n+1$$n+1$$n+1$

संभव कलश रचनाओं (बक्सों) की संख्या n + 1-वें कैटलन संख्या रूप में बढ़ जाती है, और पथों की कुल संख्या में फैक्टरियल रूप में वृद्धि होती है। बॉल नंबर 1 के अंदर कलर्ड रचनाओं के मामले के लिए (रंगीन गहरे भूरे रंग के) और इन बॉक्स (बैंगनी) के लिए जाने वाले रास्ते, संख्याओं को समान रूप से प्रकट करता है, लेकिन इस बार यह n-th साह नंबर और फैक्टरियल।$C_{n+1}$$(n+1)!$$n!$

रास्तों का घनत्व जो गेंद अंदर छोड़ता है$n$

तो, उन रास्तों के लिए जो अंदर बॉल नंबर 1 के साथ एक कलश ले जाते हैं, घनत्व और कम हो जाता है क्योंकि बड़ा हो जाता है। हालांकि ऐसे कई अहसास हैं जो बॉक्स में गेंद नंबर को खोजने के लिए नेतृत्व करते हैं , संभावना शून्य पर पहुंच जाती है (मैं तर्क दूंगा कि यह असंभव नहीं है, लेकिन लगभग निश्चित रूप से नहीं हो रहा है, और रॉस के तर्क में मुख्य चाल यह है कि गणनीय कई अशक्त घटनाओं का मिलन भी एक अशक्त घटना है)।$\frac{(n)!}{(n+1)!}$$n$$n$

टेनिस बॉल समस्या में पहले पाँच चरणों के लिए रास्तों का उदाहरण (प्रत्येक चरण: 2 हटा 1 जोड़ें)

निश्चित रूप से खाली कलश के लिए रॉस के तर्क।

रॉस घटनाओं (नमूना अंतरिक्ष के सबसेट) को परिभाषित करता है, , एक गेंद गिने कि कदम पर कलश में है । (अपनी पाठ्यपुस्तक में वह वास्तव में सबस्क्रिप्ट छोड़ देता है और गेंद 1 के लिए तर्क देता है)।$E_{in}$$i$$n$$i$

सबूत चरण 1)

रॉस अपने प्रस्ताव 6.1 का उपयोग करता है। घटनाओं के बढ़ते या घटते क्रमों के लिए (जैसे घटता ) के ।$E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset E_4 \supset ...$

प्रस्ताव 6.1: यदि या तो घटनाओं का बढ़ता या घटता क्रम है, तो$\lbrace E_n, n\geq 1 \rbrace$

$$\lim_{n \to \infty} P(E_n) = P(\lim_{n \to \infty} E_n)$$

इस प्रस्ताव का उपयोग करते हुए रॉस ने कहा कि रात 12 बजे गेंद देखने की संभावना (जो कि घटना ) के बराबर है$i$$lim_{n \to \infty} E_{in}$

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in})$$

ऑलिस और कोएत्सिएर का तर्क है कि यह उन निहित धारणाओं में से एक है। सुपरटैस्क इसके बारहवें (तार्किक रूप से) का अर्थ यह नहीं है कि रात 12 बजे क्या होता है और समस्या के समाधान के लिए निहित धारणाएं बनानी पड़ती हैं, जो इस मामले में है कि हम कलश के अंदर गेंदों के सेट पर निरंतरता के सिद्धांत का उपयोग करके बता सकते हैं कि क्या होता है अनंत पर। एक (सेट-सैद्धांतिक) अनंत को सीमा एक विशेष मान है, तो अनंत पर हम होगा कि विशेष रूप से मूल्य (वहाँ कोई अचानक कूद हो सकता है)।

रॉस-लिटिलवुड विरोधाभास का एक दिलचस्प संस्करण तब होता है जब हम बेतरतीब ढंग से वापसी की गेंदें भी छोड़ देते हैं। इसमें अभिसरण नहीं होगा (जैसे थॉमसन का दीपक) और हम अनुक्रमों की सीमा को आसानी से परिभाषित नहीं कर सकते हैं (जो अब घट नहीं रहा है)।$E_{in}$

सबूत चरण 2)

सीमा की गणना की जाती है। यह एक सरल बीजीय कदम है।

$$lim_{n \to \infty} P (E_{in}) = \prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = 0$$

प्रमाण चरण 3)

यह सभी के लिए तर्क दिया है कि चरण 1 और 2 काम करता है एक साधारण बयान से$i$

"इसी तरह, हम है कि दिखा सकते हैं सभी के लिए "$P(F_i)=0$$i$

जहां घटना है कि गेंद है कलश से बाहर ले जाया गया है, जब हम 12 बजे तक पहुँच चुके हैं$F_i$$i$

हालांकि यह सच हो सकता है, हम उस उत्पाद की अभिव्यक्ति के बारे में सोच सकते हैं जिसका निचला सूचकांक अब अनंत तक जाता है:

$$lim_{i \to \infty}(lim_{n \to \infty} P (E_{in})) = lim_{i \to \infty}\prod_{k=i}^{\infty} \frac{9k}{9k+1} = ... ?$$

मुझे इसके बारे में कहने के लिए इतना नहीं है कि मुझे उम्मीद है कि कोई मुझे समझा सकता है कि क्या यह काम करता है।

इस धारणा के बारे में बेहतर सहज उदाहरण प्राप्त करना भी अच्छा होगा कि घटते क्रम , जो कि प्रस्ताव 6.1 के लिए आवश्यक हैं, सभी नहीं कर सकते हैं। चरण संख्या सूचकांक के साथ शुरू करें, , 1 के बराबर होना। यह सूचकांक अनंत तक बढ़ रहा होना चाहिए (जो न केवल अनंत बनने वाले चरणों की संख्या है, बल्कि जिस गेंद को छोड़ना है उसका यादृच्छिक चयन अनंत हो जाता है और गेंदों की संख्या जिसके लिए हम सीमा का निरीक्षण करते हैं वह अनंत हो जाती है)। हालांकि इस तकनीकी से निपटा जा सकता है (और शायद पहले से ही अन्य उत्तरों में किया गया है, या तो स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से), एक गहन और सहज ज्ञान युक्त व्याख्या बहुत मददगार हो सकती है।$E_{in}, E_{in+1}, E_{in+2}, ...$$n$

इस चरण 3 में यह बल्कि तकनीकी हो जाता है, जबकि रॉस इसके बारे में बहुत कम है। रॉस एक प्रायिकता स्थान के अस्तित्व को निर्धारित करता है (या कम से कम इसके बारे में स्पष्ट नहीं है) जिसमें हम इन ऑपरेशनों को अनंत पर लागू कर सकते हैं, ठीक उसी तरह जिस तरह हम परिमित उप-स्थानों में परिचालन को लागू कर सकते हैं।

एकवैल द्वारा उत्तर में एक निर्माण प्रदान करता है, जो इनासस्कू-तुलसीए के कारण विस्तार प्रमेय का उपयोग करता है , जिसके परिणामस्वरूप एक अनंत उत्पाद अंतरिक्ष जिसमें हम संभावित कर्नेल के अनंत उत्पाद द्वारा घटनाओं को व्यक्त कर सकते हैं , जिसके परिणामस्वरूप ।$\sum_{k=0}^\infty \Omega_i \bigotimes_{k=0}^\infty \mathcal{A}_i$$P(E_i)$$P=0$

हालाँकि यह सहज अर्थों में वर्तनी नहीं है। हम सहजता से कैसे दिखा सकते हैं कि घटना स्थान काम करता है? यह पूरक है, अशक्त सेट (और नंबर 1 नहीं है, जो अनन्त रूप से कई शून्य के साथ है, जैसे कि रॉस-लिटलवुड समस्या के समायोजित संस्करण में ऑलिस और कोएत्सियर द्वारा हल किया गया है) और यह एक संभावना स्थान है?$E_{i}$

प्रमाण चरण 4)

Boole की असमानता का उपयोग प्रमाण को अंतिम रूप देने के लिए किया जाता है।

$$P\left( \bigcup_1^\infty F_i \right) \leq \sum_1^\infty P(F_i) = 0$$

असमानता उन घटनाओं के सेट के लिए सिद्ध होती है जो परिमित या अनंत गणना योग्य हैं। यह लिए सही है ।$F_i$

रॉस द्वारा किया गया यह प्रमाण एक विवश अर्थ में प्रमाण नहीं है। यह साबित करने के बजाय कि कल रात 12 बजे कलश खाली होने की संभावना लगभग 1 है , यह साबित कर रहा है कि कलश के लिए संभावना लगभग 0 है, जिस पर किसी भी गेंद को परिमित संख्या के साथ भरा जा सकता है।

अनुस्मरण

नियतात्मक रॉस-लिटिलवुड विरोधाभास में स्पष्ट रूप से खाली सेट शामिल है (यह इस तरह से शुरू हुआ है)। यह कम आश्चर्यचकित करता है कि संभाव्य संस्करण खाली सेट के साथ समाप्त होता है, और परिणाम (यह सच है या नहीं) गैर-संभाव्य आरएल संस्करणों के रूप में इतना अधिक विरोधाभासी नहीं है। एक दिलचस्प विचार प्रयोग आरएल समस्या का निम्नलिखित संस्करण है:

• एक कलश के साथ शुरू होने की कल्पना करें जो असीम रूप से कई गेंदों से भरा है, और इसके साथ यादृच्छिक रूप से गेंदों को छोड़ना शुरू करें। यदि यह समाप्त हो जाता है तो यह सुपरटेक, तार्किक रूप से कलश को खाली कर देना चाहिए। चूंकि, अगर यह खाली नहीं होता तो हम जारी रख सकते थे। (यह विचार प्रयोग, हालांकि, एक सुपरटेक की धारणा को फैलाता है और एक अस्पष्ट परिभाषित अंत है। क्या यह तब है जब कलश खाली है या जब हम 12 बजे तक पहुंचते हैं?)

रॉस के प्रमाण की तकनीक के बारे में कुछ असंतोषजनक है, या कम से कम कुछ बेहतर अंतर्ज्ञान और अन्य उदाहरणों के साथ स्पष्टीकरण की आवश्यकता हो सकती है ताकि सबूत की सुंदरता की पूरी तरह से सराहना करने में सक्षम हो। एक साथ 4 चरण एक तंत्र बनाते हैं जिसे सामान्यीकृत किया जा सकता है और संभवतः कई अन्य विरोधाभासों को उत्पन्न करने के लिए लागू किया जाता है (हालांकि मैंने कोशिश की है कि मैं सफल नहीं हुआ)।

हम ऐसा कोई प्रमेय उत्पन्न करने में सक्षम हो सकते हैं, जो किसी अन्य उपयुक्त नमूना स्थान के लिए हो, जो अनंत की ओर आकार में बढ़ जाता है (RL समस्या के नमूने स्थान में )। यदि हम घटनाओं के एक गणनीय सेट को परिभाषित कर सकते हैं जो एक सीमा 0 के साथ एक घटता क्रम है जैसा कि चरण बढ़ता है, तो घटना की संभावना उन घटनाओं के मिलन के शून्य हो जाती है जब हम अनंत तक पहुंचते हैं। यदि हम घटनाओं के संघ को पूरा स्थान बना सकते हैं (RL उदाहरण में खाली फूलदान को संघ में शामिल नहीं किया गया है जिसकी संभावना शून्य हो जाती है, तो कोई भी गंभीर विरोधाभास नहीं हुआ) तो हम एक और अधिक गंभीर विरोधाभास बना सकते हैं जो चुनौतियां हैं अंतरंग कटौती के साथ संयोजन में स्वयंसिद्धों की संगति।E i $card(2^\mathbb{N})$$E_{ij}$$j$

• ऐसा ही एक उदाहरण (या बनाने का प्रयास) अनंत बार अक्सर ब्रेड को छोटे टुकड़ों में विभाजित करने के लिए होता है (गणितीय स्थितियों को पूरा करने के लिए हम कहते हैं कि हम केवल टुकड़ों में एक सकारात्मक परिमेय संख्या का आकार बनाते हैं)। इस उदाहरण के लिए हम घटनाओं को परिभाषित कर सकते हैं (स्टेप x पर हमारे पास आकार x का एक टुकड़ा है), जो कि घटते हुए क्रम हैं और घटनाओं की संभावना की सीमा शून्य हो जाती है (इसी तरह RL विरोधाभास के रूप में, घटते क्रम आगे और घटित होते हैं) आगे समय में, और वहाँ बिंदुवार है लेकिन समान और अभिसरण नहीं है)।

  हमें यह निष्कर्ष निकालना होगा कि जब हम इस सुपरटेक को खत्म करते हैं कि रोटी गायब हो गई है । हम यहां अलग-अलग दिशाओं में जा सकते हैं। 1) हम कह सकते हैं कि समाधान खाली सेट है (हालांकि यह समाधान आरएल विरोधाभास की तुलना में बहुत कम सुखद है, क्योंकि खाली सेट नमूना स्थान का हिस्सा नहीं है) 2) हम कह सकते हैं कि असीम रूप से कई अपरिभाषित टुकड़े हैं जैसे कि असीम रूप से छोटे का आकार) 3) या शायद हमें निष्कर्ष निकालना होगा (रॉस के प्रमाण के प्रदर्शन और खाली होने के बाद) कि यह कोई सुपरटेक नहीं है जिसे पूरा किया जा सकता है? कि इस तरह के सुपरकैश को खत्म करने की धारणा बनाई जा सकती है, लेकिन जरूरी नहीं कि वह "अस्तित्व में" हो (एक प्रकार का रसेल विरोधाभास)।

---

लिटिलवुड के मिससेलेनी में छपी बेसिकोविच की एक उद्धरण:

"एक गणितज्ञ की प्रतिष्ठा उसके द्वारा दिए गए बुरे प्रमाणों की संख्या पर टिकी हुई है"।

---

ऑलिस, वी।, कोसेटियर, टी। (1995), इनफिनिटी II के कुछ विरोधाभासों पर , द ब्रिटिश जर्नल फॉर द फिलॉसफी ऑफ साइंस , पीपी 235-247।

Koetsier, टी (2012), Didactiek veel pingpongballen, oneindig मुलाकात Nieuw Archief voor Wiskunde , 5/13 nr4, पीपी। 258-261 ( डच मूल , अनुवाद संभव गूगल और अन्य तरीकों के माध्यम से है)

लिटलवुड, जेई (1953), एक गणितज्ञ का मेस्टेलनी , पीपी। 5। आर्काइव्स ओआरजी के माध्यम से मुफ्त लिंक )

मर्लिन, डी।, स्प्रुग्नोली, आर।, और वेर्री एमसी (2002), द टेनिस बॉल प्रॉब्लम , जर्नल ऑफ कॉम्बिनेटरियल थ्योरी , पीपी। 307-344।

रॉस, एसएम (1976), संभाव्यता में पहला कोर्स (खंड 2.7)

Tymoczko, T. और Henle, J. (1995 मूल) ( 1999 गूगल पर दूसरा संस्करण संदर्भ ), स्वीट रीज़न: आधुनिक तर्क के लिए एक फील्ड गाइड

Comments

टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं; इस वार्तालाप को बातचीत में स्थानांतरित कर दिया गया है ।

— व्हिबर

Answer 15

ठीक है, मैं फिर से कोशिश करूँगा।

इसका उत्तर यह है कि विरोधाभास विशुद्ध रूप से गणितीय है। एनुमरिस और सेमीस्टर का जवाब बताता है कि एक तरह से क्या हो रहा है, लेकिन यह समस्या को देखने का एक और तरीका है। समस्या यह है कि हम शिशुओं के साथ संभावनाओं से कैसे निपटते हैं, जैसा कि जेनेस ने लिखा है (विवरण के लिए मेरे अन्य प्रयास का जवाब देखें)।

एक अनंत श्रृंखला को आमतौर पर माना जाता है जैसे कि इसका कोई अंत नहीं है, लेकिन इस समस्या में एक समाप्ति समय (12PM) है और इसलिए तार्किक रूप से, भले ही गणितीय रूप से नहीं, गेंदों को जोड़ने और हटाने का एक अंतिम चक्र है: एक जो होता है 12PM से पहले असीम रूप से। एक 'अंतिम' चक्र का अस्तित्व हमें समय के साथ-साथ संभावनाओं को पीछे की ओर देखने की अनुमति देता है।

अंतिम बार दस गेंदों पर विचार करें। उनमें से प्रत्येक के लिए उनके निकाले जाने की संभावना शून्य है क्योंकि वे प्रत्येक अनंत गेंदों में से एक हैं जिन्हें हटाया जा सकता है। इस प्रकार संभावना है कि 12PM पर कम से कम दस गेंदें शेष रहेंगी।

QED। एक संभावित तर्क जो बकवास नहीं करता है।

Comments

समस्या में कोई अंतिम "चक्र" नहीं है, प्रश्न के किसी भी क्रम में अंतिम शब्द , , जिसमें 1 पर "अंतिम समय" भी है। ।$a_n = 1 - 1/n$$n = 1, 2, \dots$

— ekvall

@ekvall क्या आप कह सकते हैं कि साइकिल की अनंत श्रृंखला दोपहर 12 बजे खत्म हो सकती है और अभी तक इसका अंत नहीं हुआ है? ऐसा लगता है कि यह एक ऐसी स्थिति है जहाँ पारंपरिक रूप से शिशुओं के नियमों को माना जाता है, यह हास्यास्पद (प्रति-सहज नहीं है, लेकिन गलत) परिणाम है।

— माइकल ल्यू

@MichaelLew: अपने हाथों से ताली बजाने के कार्य पर विचार करें। इस बात पर विचार करें कि उस समय एक बिंदु आएगा जहां आपके हाथ एक साथ 1/2 हैं। फिर 1/4 एक साथ। फिर 1/8 एक साथ। इस बात पर विचार करें कि हर बार आपके हाथ एक-दूसरे के लिए शेष दूरी को आधा कर देते हैं, वे हमेशा इसे फिर से आधा कर सकते हैं । यह एक ऐसा चक्र है जिसका स्पष्ट रूप से कोई अंत नहीं है (अगले कदम से पहले आपको कौन से कदम उठाने होंगे, हाथों को एक साथ रखा जाएगा?) लेकिन जिसकी श्रृंखला बहुत स्पष्ट रूप से समाप्त हो गई है (या क्या आप ताली बजाने में असमर्थ हैं?)

— Vegard

@ वेगार्ड अपने हाथों को ताली न बजाएं, क्योंकि जैसे-जैसे वे धीरे-धीरे एक-दूसरे के पास पहुंचते हैं। आरंभिक दूरी पर 1/2 सेकंड की दूरी को 1/2 तक पहुंचाने के लिए और सामान्य रूप से अधिक सेकंड के लिए से दूरी तक पहुंचने में दूरी का । माइकल +1 के लिए BTW। $2^n$$\frac{1}{2^{n-1}}$$\frac{1}{2^n}$

— कार्ल

@ कार्ल क्यों मेरे हाथ धीरे-धीरे धीरे-धीरे बढ़ेंगे? यह एक दुखद ताली होगी। मान लें कि मेरे हाथ कुछ निरंतर वेग से आगे बढ़ रहे हैं और फिर समझाते हैं कि मैंने वित्त समय में कितनी दूरी तक पैदल यात्रा नहीं की? अनंत श्रृंखला अभिसरण कर सकती है, और अनंत श्रृंखला 1/2 + 1/4 + ... 1/2^nअभिसरण करती है, जैसा कि मुझे लगता है कि जिस किसी ने भी प्रवेश-स्तर की गणना की है, वह जानता है? लेकिन यह इस सवाल के जवाब में है कि एक अनंत श्रृंखला को कैसे सीमित समय में समाप्त किया जा सकता है, बिना श्रृंखला के वास्तविक अंत के, गेंद की समस्या का कोई समाधान नहीं।

— ard:

Answer 16

हाल ही में विल्हेम, वोल्फगैंग मुकेनहेम की कई टिप्पणियों ने मुझे अपने उत्तर में कुछ योगों पर पुनर्विचार करने के लिए प्रेरित किया। मैं इसे मुख्य रूप से एक नए उत्तर के रूप में पोस्ट कर रहा हूं क्योंकि इस उत्तर के विभिन्न दृष्टिकोण, इस समस्या के शिक्षण के बारे में बहस नहीं कर रहे हैं, बल्कि इसके बजाय कि विरोधाभास अमान्य है।

विल्हेम अपनी लंबी पांडुलिपि में चर्चा करता है कि

लेन-देन केवल परिमित चरणों पर ही संभव है (सभी और बीच कोई कार्रवाई संभव नहीं है )।$n$$n$$\omega$

इससे मुझे कार्यकाल याद आ गया

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{n=k}^\infty \left( \frac{9n}{9n+1} \right)$$

जो रॉस के काम से लिया गया है। यह शब्द अनिश्चित है जब निम्नलिखित सीमा के लिए अनंत के लिए मार्ग परिभाषित नहीं किया गया है।

$$\lim_\limits{(l,m)\to(\infty,\infty)}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^m\left(\frac{9n}{9n+1}\right)$$

यह उस बिंदु से मिलता जुलता प्रतीत होता है जिस पर विल्हेम चर्चा करता है और अक्सकाल के उत्तर में भी इसका उल्लेख किया गया है। समय में कदम असीम रूप से छोटे हो जाते हैं, इसलिए हम उस अर्थ में रात 12 बजे तक पहुंच पाएंगे, लेकिन हमें एक ही समय में (अप्रभावी) अनन्तता गेंदों को जोड़ने और हटाने की आवश्यकता होगी। इस सुपरटेक को ज़ेनो के तीर की तरह एक प्रक्रिया से जोड़ना एक गलत विचार है, ठीक उसी तरह जैसे थॉम्पसन के विरोधाभासी दीपक के स्विच में सुपरटेक के अंत में एक निश्चित स्थिति नहीं हो सकती है।

सीमा के संदर्भ में हम कह सकते हैं कि अनंत का भौतिक मार्ग जो हम लेते हैं

$$\lim_\limits{l\to \infty}\sum_{k=1}^l\prod_{n=k}^l\left(\frac{9n}{9n+1}\right) = \lim_\limits{l\to \infty} \frac{9l}{10}$$

इसलिए शून्य नहीं बल्कि अनंत।

Comments

FYI करें, वोल्फगैंग मुकेनहाइम दशकों से mathforum.org/kb/… के

— पॉल

उस जानकारी के लिए धन्यवाद, और ईमानदार होने के लिए मैंने पूरी पांडुलिपि नहीं पढ़ी, हालांकि मुझे एक अच्छा अर्थशास्त्री तर्क पसंद है, और उसका तर्क (ट्रोल या नहीं) समझ में नहीं आता (जो ट्रोलिंग के लिए असामान्य नहीं है)। हालाँकि मैं व्यक्तिगत रूप से कहूँगा कि, यदि चरण असीम रूप से छोटे हो जाते हैं, तो हमारे पास एक (शारीरिक) प्रक्रिया हो सकती है जिसे चरणों की संख्या में अनंत माना जाता है। अफसोस की बात है, यह उसके ट्रोलिंग के रूप में नहीं है, और बहुत अधिक विपरीत पदों (या खुद के पक्ष में) के खिलाफ वोटों के साथ भीड़ है जो उसके धागे और ईंधन ट्रोलिंग (या अन्य) में चर्चा को खराब करता है।

— मार्टिज़न वेटरिंग्स

@Martijn वेटरिंग्स: यह साबित करना आसान है कि यहां कौन ट्रोल है: कैंटर का विचार 1, 2, 3, ... के बाद की सीमा । सबसे पहले इस का उल्लंघन करती है गणितीय प्रेरण, क्योंकि इससे पहले कि है वहाँ हमेशा एक और प्राकृतिक संख्या। दूसरा, सेट सिद्धांत के किसी भी भौतिक प्रासंगिकता को बाहर करने के लिए, एक मीरा-गो-राउंड द्वारा अनुक्रम को मॉडल करें जहां क्रांतियों को गिना जाता है। क्या कोई सीमा हो सकती है? ( वर्षों के लिए गुरुत्वाकर्षण तरंगों के उत्सर्जित होने के बाद पृथ्वी की कक्षा का पतन निश्चित रूप से सेट सिद्धांत का परिणाम नहीं है।)$\omega$$\omega$$10^{15}$

— विल्हेम

"पहले यह गणितीय प्रेरण का उल्लंघन करता है, क्योंकि ω से पहले हमेशा एक और प्राकृतिक संख्या होती है।" गणितीय इंडक्शन कहता है कि "ω" से पहले "क्या होना चाहिए या नहीं" के बारे में कुछ भी नहीं। सीमा अध्यादेश उत्प्रेरण द्वारा उत्पन्न नहीं होते हैं और प्रेरण के पास इस बारे में कहने के लिए कुछ भी नहीं है कि वे मौजूद हैं या नहीं। आपका दिमाग गलत धारणाओं से भरा है कि गणित को कैसे काम करना चाहिए, और जब ये गलत धारणाएं वास्तविक गणित का खंडन करती हैं, तो आप उत्तरार्द्ध को दोष देते हैं।

— पॉल

गणितीय इंडक्शन कहता है कि प्रत्येक लिए और यह कभी नहीं बदलता है। सीमा अध्यादेश को गणितज्ञों द्वारा माना जाता है जो अनंत को समझने में असमर्थ हैं। सभी प्राकृतिक संख्याओं पर मात्रा का क्या अर्थ है? क्या इसका मतलब केवल उन प्राकृतिक संख्याओं को लेना है जिनके पास प्रत्येक प्राकृतिक संख्या की विशेषता संपत्ति है, अर्थात, असीम रूप से कई प्राकृतिक संख्याओं का पालन करना? तब आप उन सभी को प्राप्त नहीं करते हैं क्योंकि हमेशा असीम रूप से कई शेष रहते हैं। या आप बिना किसी अपवाद के सभी प्राकृतिक संख्याएँ लेते हैं? $n$$n+1$

— विल्हेम

Answer 17

मेरा मानना ​​है कि यह उदाहरण "यदि आधार गलत है तो सशर्त सत्य है"

इस ब्रह्मांड में, न तो अनंत कलश हैं और न ही गेंदों का कोई अनंत संग्रह है। समय को मनमाने ढंग से छोटे टुकड़ों में विभाजित करना असंभव है।

इस प्रकार शेल्डन रॉस का कहना सही है कि कलश 12:00 बजे खाली होता है। जो छात्र कहते हैं कि कलश में 12:00 बजे अनंत गेंदें हैं, वे सही हैं।

यदि आपने उत्तर दिया कि कलश में 50 गेंदें हैं तो आप भी सही हैं।

मैंने दृढ़ता से साबित नहीं किया है कि इस ब्रह्मांड में अनंत कलश और अनंत गेंदें नहीं हैं और यह समय परमाणु नहीं है - मैं सिर्फ उन चीजों को मानता हूं। यदि आप मानते हैं कि वे तीन दावे गलत हैं, तो आप मानते हैं कि रॉस की समस्या आनुभविक रूप से मिथ्या है। मुझे आपके प्रयोगात्मक परिणामों की प्रतीक्षा है।

Comments

आप भी प्रयोगात्मक परिणाम है कि के लिए इंतजार कर रहे हैं आधार पर तर्कहीन है कोई रास्ता नहीं एक इस ब्रह्मांड में एक सर्कल में infinitly छोटे त्रिकोण के एक अनंत संख्या फिट कर सकते हैं है कि वहाँ? $\pi$

— user603

@ user603 नहीं, लेकिन मैं दावा करता हूं कि पीआई का अंतिम अंक 7. क्या आप अन्यथा साबित हो सकते हैं?

— एमोरी

वास्तव में, यह एक उचित अंतर है।

— user603

-1। समस्या को गणितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है और भौतिक प्राप्ति की असंभवता का इससे कोई लेना-देना नहीं है।

— अमीबा

मुझे भी यह सवाल बकवास लगता है। यदि कलश 12:00 बजे खाली होता है, तो अंतिम गेंद निकालने के समय एक समय होना चाहिए था। लेकिन किसी भी क्षण में जब एक गेंद को हटा दिया जाता है, तो अधिक गेंदें जोड़ दी जाती हैं ताकि अंतिम गेंद को हटाया न जाए । जिस समय अंतिम गेंद को हटाया जाता है, उस समय कोई कैसे नहीं हो सकता है? दूसरी ओर, अगर 12:00 बजे गेंदों का जोड़ना बंद हो गया है, तो एक समय होना चाहिए, जिस पर अंतिम गेंद को जोड़ा गया था। लेकिन, अगर कुछ गेंद को अंतिम रूप से जोड़ा गया था, तो कलश में कई गेंदें नहीं हो सकती हैं। एक प्रक्रिया की शुरुआत नहीं हो सकती, कभी न खत्म होने वाली, और फिर भी समाप्त नहीं हो सकती।

— केविन

Answer 18

मैं इस राय का समर्थन करता हूं कि समस्या बीमार है। जब हम किसी चीज को ट्रांसफ़ेक्ट मानते हैं तो हमें अक्सर एक सीमा का उपयोग करना पड़ता है। ऐसा लगता है कि यहाँ यह एकमात्र तरीका है। चूंकि हम विभिन्न गेंदों को अलग करते हैं, इसलिए हमारे पास एक अनंत-आयामी प्रक्रिया जहां समय के लिए खड़ा है, अगर समय पर गेंद है तो और अन्यथा।

$$(X_{t,1}, X_{t,2},...),$$ $t=-1,-1/2,-1/4,...$$X_{t,j}=1$$j$$t+0$$X_{t,j}=0$

अब यह हर किसी के विवेक पर है जो उपयोग करने के लिए अभिसरण: वर्दी, घटक, , आदि कहने के लिए अनावश्यक है, जवाब पसंद पर निर्भर करता है।$l_p$

इस समस्या में गलतफहमी इस तथ्य की उपेक्षा से होती है कि जब हम अनंत-आयामी वैक्टर के अभिसरण पर विचार करते हैं, तो मीट्रिक मुद्दे महत्वपूर्ण हैं। अभिसरण के प्रकार को चुने बिना, कोई सही उत्तर नहीं दिया जा सकता है।

(शून्य वेक्टर में अभिसरण है। जबकि मानदंड गेंदों की संख्या को गिनता है, इसलिए इस मानदंड में प्रक्रिया विस्फोट कर रही है।)$l_1$

Comments

"कलश खाली है" अगर और केवल अगर प्रत्येक गेंद को डाल दिया गया था, तो अंततः बाहर निकाल दिया गया था। यही शून्यता की परिभाषा है। और यह घटक-वार अभिसरण के लिए अनुवाद करता है।

— अमीबा

मैं इस जवाब से सहमत हूं। सबसे पहले, क्या अभिसरण धारणा चुनने के लिए संभावना सिद्धांत से पूरी तरह से स्वतंत्र है। ऐसा नहीं है क्योंकि हमें पॉइंटवाइज कन्वर्सेशन / प्रोडक्ट टोपोलॉजी (जहाँ एक बिंदु एक निश्चित पहचान वाली गेंद है) का उपयोग करने की आदत है, इस धारणा को एकमात्र विकल्प के रूप में इस्तेमाल किया जाना चाहिए। यह समस्या में निर्दिष्ट नहीं है और न ही एक सामान्य सम्मेलन। और यह तब भी है जब हम मानक संभावना सिद्धांत के साथ पूरी तरह से सहमत होने का निर्णय लेते हैं।

— बेनोइट सांचेज

यह कार्गो पंथ गणित है। आप मीट्रिक समस्याओं में फेंक देते हैं क्योंकि वे अन्य समस्याओं पर मायने रखते हैं, इसलिए नहीं कि वे इस समस्या के लिए प्रासंगिक हैं।

— पॉल

@Paul "कार्गो पंथ गणित"। कभी नहीं सोचा था कि ऐसा कोई शब्द मौजूद है। इस पर सोचेंगे। :)

— विक्टर

(+1) मैं मानता हूं कि यह समस्या बिना मीट्रिक के प्रस्तुत की जाती है। इसके अलावा, शून्य गेंदों का उत्तर भी 1 गेंद है, इसलिए शून्य गेंद का उत्तर एक संख्या नहीं है। गणना योग्य अनंत एक संख्या नहीं है। बीमार प्रश्न। वास्तव में सवाल इतने हास्यास्पद हैं कि उनके पास कोई जवाब नहीं है।

— कार्ल

Answer 19

औपचारिक शिक्षा की तुलना में अधिक अंतर्ज्ञान, लेकिन:

यदि आधी रात को अंतराल रुक रहे हैं, तो हम कभी भी आधी रात तक नहीं पहुंचते हैं ... हम केवल विषम रूप से संपर्क करते हैं; इसलिए बहस कर सकते हैं कि वहाँ है कोई समाधान नहीं।

वैकल्पिक रूप से, कायाकल्प पर निर्भर करता है:

• जैसे कि +10 गेंदों के अनंत अंतराल होते हैं, उत्तर अनंत होता है
• (+10 गेंदों - 1) के अनंत अंतराल के रूप में उत्तर 10 * अनंत -1 * अनंत = 0 हैं?
• (+9 गेंदों) के अनंत अंतराल के रूप में +1 का उत्तर अनंत + 1 है

Comments

ऐसा लगता है कि आप ज़ेनो के साथ सहमत होंगे कि अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ सकते हैं ; और इससे भी बदतर, न तो उनकी दौड़ में शुरू कर सकते हैं।

— whuber

@whuber वे समस्याएं इस उत्तर से संबंधित नहीं हैं।

— क्लीयर

@ क्लियर मैं यह सुझाव देना चाहूंगा कि वे "अनन्तता" के अपने अनुभवहीन उपचार के माध्यम से निकट से संबंधित हैं।

— whuber

-1 क्योंकि यह अभी मेरी घड़ी पर 00:00 है, इसलिए मैं अंतिम समय के दौरान विज्ञापन के समय को रोकने के बावजूद आधी रात को पहुंच गया हूं।

— अमीबा

@amoeba असंतोष यह है कि आपके पास उस समय हटाए गए गेंदों की अनंत संख्या है। वास्तव में आप कहाँ गेंदों की संख्या रख रहे हैं? क्या गेंदें असीम रूप से छोटी होती हैं, ताकि हमारे लिए गैर-गेंदों के लिए ब्रह्मांड में पर्याप्त जगह हो? आप पर ध्यान दें, अनंत छोटी गेंदों की एक अनंत संख्या अभी भी एक अनंत मात्रा में रह सकती है, और जब आप मेट्रिक्स के साथ खेलते हैं तो नियम इतने भोले नहीं होते जितना कि यहां के पोस्ट।

— कार्ल

Answer 20

रिवाइट: 16 जनवरी 2018

खंड 1: रूपरेखा

इस पोस्ट के मूल परिणाम इस प्रकार हैं:

• आधी गेंद में सीमा में शेष की संभावना है क्योंकि चरण जाता है - यह एक वास्तविक दुनिया अवलोकन है और इसे गणितीय रूप से प्राप्त किया गया है। व्युत्पन्न फ़ंक्शन में परिमेय का एक डोमेन होता है । उदाहरण के लिए, शेष गेंद की सीमा में संभावना डोमेन मान से मेल खाती है । यह फ़ंक्शन किसी भी अंश के लिए शेष की संभावना की गणना कर सकता है। कदम का आकार।$0.91$$\infty$
  $(0,1]$$1/2$
• रॉस का विश्लेषण गलत नहीं है, लेकिन अधूरा है क्योंकि यह परिमाण के क्रम में परिमाणों को छोडने का प्रयास करता है । परिमाण के क्रम में परिमेय को पुनरावृत्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, रॉस का विश्लेषण पूरे डोमेन तक नहीं पहुंच सकता है और केवल कुल व्यवहार का एक सीमित दृश्य प्रस्तुत कर सकता है।$\left(i,\infty\right), i=1..\infty$
  
• हालांकि, रॉस का विश्लेषण एक विशेष रूप से अवलोकन योग्य व्यवहार के लिए जिम्मेदार है: सीमा में यह पहली शेष गेंदों तक पहुंचने के लिए धारावाहिक पुनरावृत्ति से संभव नहीं है।
• रॉस की सीमा अनुक्रमों में कुछ अच्छे ठोस गुण हैं जो सहज रूप से अद्वितीय लगते हैं।
  हालांकि, हम सीमा अनुक्रमों का एक और सेट दिखाते हैं जो समान गुणों को संतुष्ट करते हैं और हमारे फ़ंक्शन के लिए मान देते हैं।

धारा 2 "संकेतन और शब्दावली" इस पद में प्रयुक्त संकेतन और शब्दावली को शामिल करती है।

धारा 3 "द हाफवे बॉसेट" एक वास्तविक विश्व अवलोकन का परिचय देता है - शेष गेंद की संभावना की सीमा में अभिसरण जिसका सूचकांक सभी सम्मिलित गेंदों के माध्यम से आधा होता है। यह सीमा मान लगभग 91% है। आधी गेंद के मामले को किसी भी तर्कसंगत में सामान्यीकृत किया जाता है , जिसमें सभी गैर-शून्य सीमा मान होते हैं। $(0,1]$

धारा 4 "विरोधाभास का समाधान" रॉस के परिणाम और 'तर्कसंगत-डोमेन' परिणाम (यहां वर्णित) दोनों के लिए एक एकीकृत रूपरेखा प्रस्तुत करता है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, रॉस का विश्लेषण केवल कुल व्यवहार का एक सीमित दृश्य प्रस्तुत करता है। इसलिए, विरोधाभास के स्रोत की पहचान और समाधान किया जाता है।

परिशिष्ट में कुछ अन्य परिणामों के कम महत्वपूर्ण परिणामों पर चर्चा की गई है:

• "सीमा में उम्मीदें" चरण आकार के किसी भी अंश तक और शेष गेंदों की अपेक्षित संख्या की गणना करता है।
• इस परिणाम का एक कोर पहली गेंद के सूचकांक का निर्धारण कर रहा है जिसमें एक से अधिक शेष रहने की उम्मीद है।

धारा 2: अधिसूचना और शब्दावली

• हम स्टेप में डाले गए बॉल इंडेक्स को पर लेबल करते हैं और इस सेट को वें "बॉस्केट" कहते हैं। बॉसेट एक शब्द है, जो इस पोस्ट के लिए बनाया गया है। यह शब्दावली रॉस की शब्दावली से पछतावा करती है, लेकिन यह पाठ को बहुत अधिक स्पष्ट और छोटा बनाती है।$n$$\{n.1, n.2, n.3, ..... n.10\}$$n$
  
• अंकन घटना है कि गेंद को संदर्भित करता है ballset में कदम पर बनी हुई है , ballset में अन्य गेंदों अनदेखी।$E(a,b)$$a.1$$a$$b$
• अंकन लिए एक संक्षिप्त नाम है और यह की संभावना को दर्शाता है । ध्यान दें कि सभी गेंदों ballset में शेष का एक ही संभावना है। - का ।$P(a,b)$$P(E(a,b))$$E(a,b)$
  $a.i$$a$
  $P(E(a,b))$$\prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)}$
• रॉस सीमा प्रायिकता क्योंकि अनंत तक जाता है: -$P(a)$$P(a,b)$$b$
  $P_{lim1}(a) = \lim_{b\rightarrow\infty} P(a,b)$
• तर्कसंगत सीमा दोनों गेंद सूचकांक के रूप में सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है और कदम , जबकि निरंतर अनुपात को बनाए रखने के अनंत को जाना: -$a$$b$$P_{lim2}(a,b) = \lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb)$

धारा 3: आधी गेंद

हर चरण , आधी गेंद को वें गोले के रूप में परिभाषित किया जाता है । प्रत्येक चरण , शेष की आधी संभावना को रूप में परिभाषित किया गया है । रूप में सीमा में , शेष की आधी संभावना इसलिए । नीचे दिए गए सिद्धांत 1 शेष के आधे रास्ते की संभावना के लिए एक संख्यात्मक मान देता है।$2n$$n$$2n$$P(n,2n)$
$n\rightarrow\infty$$\lim_{n\rightarrow\infty} P(1*n,2*n)$

प्रमेय 1 - अनुपात-संरक्षण डोमेन अनुक्रम में तत्वों की संभावना की सीमा

$$\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty} P(a*n,b*n) = (\frac{a}{b})^\frac{1}{9} \end{equation}$$ । परिशिष्ट के ठीक पहले प्रमाण नीचे दिया गया है।

थियोरम 1 द्वारा, सीमा में शेष रहने की आधी संभावना है जो अनुमानित अनुमानित मान ।$(\frac{1}{2})^\frac{1}{9}$$0.925875$

Sanity Check Lets यह देखने के लिए एक पवित्रता जाँच करता है कि क्या आधे रास्ते की संभावना के लिए संख्यात्मक सीमा "सही दिखती है"।

$$\begin{array}{|l|rcl|} \hline n & P(n/2,n) &=& \text{trunc decimal val} \\ \hline 1000 & P(500,1000) &=& 0.92572614082 \\ \hline 10000 & P(5000,10000) &=& 0.9258598528 \\ \hline 100000 & P(50000,100000) &=& 0.925873226 \\ \hline 1000000 & P(500000,1000000) &=& 0.92587456 \\ \hline \hline \infty & \lim_{n\rightarrow\infty} P(n,2n) &=& 0.925875 \\ \hline \end{array}$$

$10^3$$10^4$$10^5$$10^6$

** धारा 4 "विरोधाभास का संकल्प" **

यह खंड रॉस के विश्लेषण और तर्कसंगत-डोमेन विश्लेषण दोनों के लिए एक एकीकृत ढांचे की व्याख्या करता है, उन्हें एक साथ देखने से विरोधाभास हल हो जाता है।

$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$(0,1]$

$$\begin{array}{rcl} P_{lim2}(a,b) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(ka,kb) \\ &=& (\frac{a'}{b'})^\frac{1}{9} \end{array}$$ $gcd(a',b')=1$$\frac{a'}{b'} = \frac{a}{b}$$gcd()$$a'$$b'$$\frac{a'}{b'}$$\frac{a}{b}$

$$\begin{array}{rclr} P_{lim1}(a) &=& lim_{k\rightarrow\infty} P(a,k) & \\ &=& lim_{i,k\rightarrow\infty} P(ka/i,kb) & \text{for some } b \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(a/i,b) & \\ &=& lim_{i\rightarrow\infty} P_{lim2}(0,b) & \end{array}$$ $(0,b)$$(0,1]$$[0,0]$$P_{lim2}(a,b)$$[0,0]$$0$

$[0,0]$$(0,1]$

$P_{lim1}(i)$$i=1,2,...\infty$

$P_{lim2}(a,b)$$(0,1]$$[0,0]$

नीचे दिए गए चित्र में रॉस सीमा अनुक्रम और तर्कसंगत सीमा क्रम दोनों को दर्शाया गया है।

यह कहना उचित है कि रॉस के विश्लेषण में निहित धारणा है कि रॉस-सीमा और इसका डोमेन पूरे हित का डोमेन है। स्पष्ट रूप से अंतर्निहित रॉस की धारणा अंतर्ज्ञान चार शर्तों के कारण की तरह है, भले ही वे स्पष्ट रूप से मान्यता प्राप्त न हों:

$S_i = P(i,n), n=1,...,\infty$$i$$S = \cup_{i=(1...\infty)} S_i$

• $S_i$
• $S$$\{ (i,n)\ |\ i\leq n\ \land \ i,n\in Q \}$
• $S_i$$n$
• $S_i$$\{ S_i \}_{i_in (1...\infty) }$

यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि सीमा अनुक्रमों की एक अन्य प्रणाली उपरोक्त बिंदुओं को संतुष्ट कर सकती है (1) - (4)।

हालांकि, अब हम सीमा अनुक्रमों की एक और प्रणाली पर चर्चा करेंगे जो वास्तव में उपरोक्त बिंदुओं को संतुष्ट करते हैं (1) - (4)।

$S_{p,q}$$gcd(p,q)=1$

$$\begin{equation} S_{p,q} = \{ (kp,kq) \}_{k\in (1...\infty)} \end{equation}$$ $D^*$$D$$D^* =\{ (p,q)\in D \land gcd(p,q)=1 \}$$S^*$$S^* = \cup_{d\in D^*} S_{p,q}$

$S_{p,q}$$S^*$
$(p,q)$$(0,1]$$(0,1]$

$n$$n$

 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

$F^*_n$$n$$0/1$

$S^*_n$$n$

$$\begin{equation} S^*_n = \{ S_{p,q}\ |\ \exists (a,b) \} \end{equation}$$

$F^*_n$$S^*_n$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Ross} & \text{rational} \\ \hline \text{num new seq per step } & 1 & \text{multiple (generally)} \\ \hline \text{new seq at step } n & S_n & F^*_n - F^*_{n-1} \\ \hline \text{tot num seq up to step }n & n & \| F^*_n \| \\ \hline \text{super-seq up to step }n & \{ S_m \}_{m=1}^{n} & F^*_n \\ \hline \end{array}$$

$F^*_n$

उन तरीकों में से एक, स्टर्न-ब्रोकोट पेड़ का एक प्रकार है, इस प्रकार है:

$a/c$$b/d$$\frac{a+b}{c+d}$

• $F*_n = \emptyset$
• $1/n$$F*_n$

• $i$$1...(\|F*_{n-1}\|-1)$

  • $F*_{n-1}[i]$

  • $x = mediant(F*_{n-1}[i], F*_{n-1}[i+1])$

  • $denom(x) \leq n$$F*_n$
  • लूप जारी रखें
• $F*_{n-1}[n]$$F*_n$

विरोधाभास का समाधान किया गया है।

$$\begin{eqnarray} P(E_{a,b}) &=& \prod_{k=a}^{b} \frac{9k}{(9k+1)} \\ &=& \frac{\Gamma \left(a+\frac{1}{9}\right) \Gamma (b+1)}{\Gamma (a) \Gamma\left(b+\frac{10}{9}\right)} \\ &=& (a-1)^{\frac{1}{2}-a} \left(a-\frac{8}{9}\right)^{a-\frac{7}{18}} b^{b+\frac{1}{2}} \left(b+\frac{1}{9}\right)^{-b-\frac{11}{18}} \end{eqnarray}$$

$a\rightarrow a*n$$b\rightarrow b*n$

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty} P(E_{a,b}) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} (a M-1)^{\frac{1}{2}-a M} \left(a M-\frac{8}{9}\right)^{a M-\frac{7}{18}} (b M)^{b M+\frac{1}{2}} \left(b M+\frac{1}{9}\right)^{-b M-\frac{11}{18}} \\ &=& \left(\frac{a}{b}\right)^\frac{1}{9} \end{eqnarray}$$

परिशिष्ट: अन्य परिणाम

सीमा में उम्मीदें

यह खंड स्टेप साइज के किसी भी अंश को शामिल करने के लिए शेष गेंदों की अपेक्षित संख्या के लिए एक बंद अभिव्यक्ति देता है।
इस परिणाम का एक कोरोल पहली गेंद के सूचकांक का एक संख्यात्मक अनुमान है, जिसमें एक से अधिक शेष रहने की उम्मीद है।

( जारी रहती है )

Comments

कृपया दो अलग-अलग प्रश्नों के एक ही उत्तर के दो पोस्ट न करें।

— Glen_b

@ गलेन_ बी - मैंने पूरी तरह से गणितीय और सांख्यिकीय दृष्टिकोण में बदलते हुए, अपने जवाब को फिर से लिखा है। कोई दर्शन, सेट, गिनती या कम्प्यूटेशनल विज्ञान नहीं। मुझे लगता है कि यह इस बोर्ड को ध्यान में रखकर है। शायद मैं इसे एक नए उत्तर के रूप में पोस्ट कर सकता हूं? मैं आपके विचार की सराहना करूंगा।

— क्रेग हिक्स

मुझे यकीन नहीं है कि तुम मुझे यहाँ क्या करने के लिए कह रहे हो। यदि आप वास्तव में सोचते हैं कि आपके पास एक अलग उत्तर है तो आप इसे पोस्ट कर सकते हैं।

— Glen_b

@Glen_b क्रेग एक और उत्तर पोस्ट नहीं कर सकता क्योंकि यह धागा संरक्षित है और उसकी प्रतिष्ठा (माइनस एसोसिएशन बोनस) वर्तमान में नकारात्मक है। मुझे यकीन नहीं है कि सुरक्षा को अस्थायी रूप से हटाने के अलावा उसकी मदद करने का कोई तरीका है। क्रेग, एक बेहतर समाधान होगा कि आप कुछ अन्य उत्तर अन्य थ्रेड्स में पोस्ट करें, कुछ जोड़े प्राप्त करें और यहां पोस्ट करने में सक्षम होने के लिए पर्याप्त प्रतिनिधि जमा करें।

— अमीबा

$(i,n)$$i/n$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a*n}{b*n}$$a/b$

Answer 21

संपादन संपादित करें

$1=2$$n$$\infty$

BTW, जब कोई अनंत संख्या में अनंत संभावनाओं को जोड़ता है तो एक बनाता है$\frac{1}{\infty}\infty$

Comments

आप एक उत्तर देते हैं जो कई मौजूदा अत्यधिक उत्कीर्ण उत्तरों और एक पाठ्यपुस्तक के साथ सीधे विरोधाभास में है। आप नीचे वाले से हैरान क्यों हैं?

— अमीबा

$\infty - \infty$

(-1) आपका तर्क अभी भी गलत है और गलत निष्कर्ष पर आता है। आप यह भी बता रहे हैं कि उन बयानों के सबूत के बिना क्या संभावनाएं हैं। आपको वास्तव में रॉस के तर्क को पढ़ना और पढ़ना चाहिए और एक वास्तविक दोष खोजने का प्रयास करना चाहिए ।

— 13

रॉस एक अत्यंत प्रतिष्ठित सांख्यिकीविद हैं, जिन्होंने प्रायिकता और आँकड़ों पर कई किताबें और लेख लिखे हैं, और मैं एक पीएचडी गणितज्ञ हूं, जो समस्या के अपने समाधान की दृढ़ता के लिए प्रतिज्ञा करता है। बहुत कम आप जो कर सकते थे वह वास्तविक मूल प्रमाण में एक दोष है। आपके अब तक के सभी प्रयास विफल रहे हैं। आपको विराम देना चाहिए।

— पॉल

$0 \times \infty$