बैक-डोर और फ्रंट-डोर एडजस्टमेंट द्वारा कारण का प्रभाव

यदि हम नीचे दिए गए कारण ग्राफ में $X$ पर के कारण के प्रभाव की गणना करना चाहते $Y$ हैं, तो हम बैक-डोर एडजस्टमेंट और फ्रंट-डोर एडजस्टमेंट थ्योरम, यानी दोनों का उपयोग कर सकते हैं।

P (y | do (X = x)) = \sum_{u} P (y | x, u) P (u)

$P(y | \textit{do}(X = x)) = \sum_u P(y | x, u) P(u)$

तथा

पी (y | करना (एक्स = एक्स)) = \underset{z}{Σ} पी (z | एक्स) \underset{{एक्स}^{'}}{Σ} पी (y | {एक्स}^{'}, z) पी ({एक्स}^{'}) ।

$P(y | \textit{do}(X = x)) = \sum_z P(z | x) \sum_{x'} P(y|x', z)P(x').$

यह दिखाने के लिए एक आसान होमवर्क है कि दो समायोजन $X$ पर पर एक ही कारण प्रभाव का नेतृत्व करते हैं $Y$ ?

— जे
स्रोत

क्या यह असली होमवर्क है? फिर स्व-अध्ययन टैग जोड़ें। तब लोग आपको संकेत दे सकते हैं, जो आपके लिए सोच (और सीख) को छोड़ देंगे। हमें बताएं कि आपने क्या प्रयास किया और आप कहां फंस गए हैं। याद रखें CV होमवर्क आउटसोर्स करने के लिए नहीं है ...

— Knarpie

हाय नार्पी, यह स्व-अध्ययन का एक हिस्सा है, न कि एक होमवर्क। मैं वर्तमान में पर्ल एट अल द्वारा "सांख्यिकी में कोशल इंजेक्शन" पढ़ रहा हूं। और मैंने जो सवाल पूछा था, उस पर लगभग 1 घंटे का विचार करना, क्योंकि यह पूछना स्वाभाविक सवाल है, लेकिन समानता नहीं दिखा सकते। या तो मैं यहाँ कुछ याद कर रहा हूँ, या दो भाव समान नहीं हैं।

— जेई

कार्रवाई चर पर एक हस्तक्षेप से मेल खाती है जो इसे सेट करता है $do(x)$ $X$ $x$ । जब हम पर हस्तक्षेप करते हैं , तो इसका मतलब है कि के माता-पिता अब इसके मूल्य को प्रभावित नहीं करते हैं, जो लिए तीर को हटाने से मेल खाती है। तो आइए एक नए डीएजी पर इस हस्तक्षेप का प्रतिनिधित्व करते हैं। $X$ $X$ $X$

चलो मूल अवलोकन वितरण और पोस्ट-हस्तक्षेप वितरण । हमारा लक्ष्य है व्यक्त करने के लिए है के मामले में । ध्यान दें कि हमारे पास । इसके अलावा, पूर्व हस्तक्षेप और बाद हस्तक्षेप संभावनाओं इन दो invariances का हिस्सा: और $P$ $P^*$ $P^*$ $P$ $P^*$ $U \perp X$ $P^*(U) = P(U)$ चूंकि हमने अपने हस्तक्षेप में उन चरों में प्रवेश करने वाले किसी भी तीर को नहीं छुआ था। इसलिए: $P^*(Y|X, U) = P(Y|X, U)$

\begin{aligned} P (Y | d o (X)) & := P^{*} (Y | X) \\ = \sum_{U} P^{*} (Y | X, U) P^{*} (U | X) \\ = \sum_{U} P^{*} (Y | X, U) P^{*} (U) \\ = \sum_{U} P (Y | X, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} P(Y|do(X)) &:= P^*(Y|X) \\ &=\sum_{U}P^*(Y|X, U)P^*(U|X)\\ &=\sum_{U}P^*(Y|X, U)P^*(U)\\ &=\sum_{U}P(Y|X, U)P(U) \end{aligned}$

सामने के दरवाजे की व्युत्पत्ति थोड़ी अधिक विस्तृत है। पहली सूचना है कि और बीच कोई उलझन नहीं है , इसलिए, $X$ $Z$

P (Z | d o (X)) = P (Z | X)

$P(Z|do(X)) = P(Z|X)$

इसके अलावा, को प्राप्त करने के लिए एक ही तर्क का उपयोग करते हुए हम देखते हैं कि का नियंत्रण पर के प्रभाव को प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है , अर्थात $P(Y|do(X))$ $X$ $Z$ $Y$

P (Y | d o (Z)) = \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'})

$P(Y|do(Z)) = \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X')$

जहां मैं अगली अभिव्यक्ति के लिए अभ्यावेदन सुविधा के लिए प्रधानमंत्री का उपयोग कर रहा हूं। इसलिए ये दो अभिव्यक्तियाँ पहले से ही हस्तक्षेप-पूर्व वितरण के संदर्भ में हैं, और हमने उन्हें वापस लाने के लिए पिछले पिछले दरवाजे के औचित्य का इस्तेमाल किया।

पिछले टुकड़ा हम जरूरत के प्रभाव का अनुमान लगा रहा है पर के प्रभाव के संयोजन पर और पर । ऐसा करने के लिए, हमारे ग्राफ $X$ $Y$ $Z$ $Y$ $X$ $Z$ $P(Y|Z, do(X)) = P(Y|do(Z), do(X)) = P(Y|do(Z))$ , क्योंकि पर का प्रभाव द्वारा पूरी तरह से मध्यस्थ है और पर हस्तक्षेप करने पर से तक का पिछला रास्ता अवरुद्ध है । अत: $X$ $Y$ $Z$ $Z$ $Y$ $X$

\begin{aligned} P (Y | d o (X)) & = \sum_{Z} P (Y | Z, d o (X)) P (Z | d o (X)) \\ = \sum_{Z} P (Y | d o (Z)) P (Z | d o (X)) \\ = \sum_{Z} \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) P (Z | X) \\ = \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) \end{aligned}

$\begin{aligned} P(Y|do(X)) &= \sum_{Z} P(Y|Z, do(X))P(Z|do(X))\\ &= \sum_{Z} P(Y|do(Z))P(Z|do(X))\\ &= \sum_{Z} \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X')P(Z|X)\\ &= \sum_{Z}P(Z|X) \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X') \end{aligned}$

कहाँ निम्नलिखित तरीके से समझा जा सकता है: जब मैं पर हस्तक्षेप , तो के वितरण में परिवर्तन ; लेकिन मैं वास्तव में पर हस्तक्षेप कर रहा हूँ इसलिए मुझे पता है कि कितनी बार होगा चाहते जब मैं बदलने के लिए एक विशिष्ट मान ले , जो $\sum_{Z} P(Y|do(Z))P(Z|do(X))$ $Z$ $Y$ $P(Y|do(Z))$ $X$ $Z$ $X$ । $P(Z|do(X))$

इसलिए, दो समायोजन आपको इस ग्राफ पर समान पोस्ट-इंटरवेंशनल वितरण प्रदान करते हैं, जैसा कि हमने दिखाया है।

आपके प्रश्न को फिर से पढ़ते हुए यह मेरे साथ हुआ कि आपको सीधे यह दिखाने में दिलचस्पी हो सकती है कि दो समीकरणों के दाहिने हाथ की तरफ पूर्व-परम्परागत वितरण (जो उन्हें होना चाहिए, हमारी पिछली व्युत्पत्ति को देखते हुए) के बराबर हैं। सीधे दिखाना भी मुश्किल नहीं है। यह दिखाने के लिए कि आपके DAG में:

\sum_{X^{'}} P (Y | Z, X^{'}) P (X^{'}) = \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U)

$\sum_{X'}P(Y|Z, X') P(X') = \sum_{U}P(Y|Z, U) P(U)$

सूचना DAG तात्पर्य और फिर: $Y \perp X|U, Z$ $U \perp Z|X$

\begin{aligned} \sum_{X^{'}} P (Y | Z, X^{'}) P (X^{'}) & = \sum_{X^{'}} (\sum_{U} P (Y | Z, X^{'}, U) P (U | Z, X^{'})) P (X^{'}) \\ = \sum_{X^{'}} (\sum_{U} P (Y | Z, U) P (U | X^{'})) P (X^{'}) \\ = \sum_{U} P (Y | Z, U) \sum_{X^{'}} P (U | X^{'}) P (X^{'}) \\ = \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{X'}P(Y|Z, X') P(X') &= \sum_{X'}\left(\sum_{U}P(Y|Z, X', U)P(U|Z, X') \right)P(X') \\ &= \sum_{X'}\left(\sum_{U}P(Y|Z, U)P(U| X') \right)P(X') \\ &= \sum_{U}P(Y|Z, U) \sum_{X'}P(U| X')P(X') \\ &= \sum_{U}P(Y|Z, U) P(U) \\ \end{aligned}$

अत:

\begin{aligned} \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{X^{'}} P (Y | X^{'}, Z) P (X^{'}) & = \sum_{Z} P (Z | X) \sum_{U} P (Y | Z, U) P (U) \\ = \sum_{U} P (U) \sum_{Z} P (Y | Z, U) P (Z | X) \\ = \sum_{U} P (U) \sum_{Z} P (Y | Z, X, U) P (Z | X, U) \\ = \sum_{U} P (Y | X, U) P (U) \end{aligned}

$\begin{aligned} \sum_{Z}P(Z|X) \sum_{X'}P(Y|X', Z) P(X') &= \sum_{Z}P(Z|X)\sum_{U}P(Y|Z, U) P(U)\\ &= \sum_{U}P(U)\sum_{Z}P(Y|Z, U)P(Z|X) \\ &= \sum_{U}P(U)\sum_{Z}P(Y|Z, X, U)P(Z|X, U) \\ &= \sum_{U}P(Y| X, U) P(U)\\ \end{aligned}$

— कार्लोस सिनेली
स्रोत

P (Y | d o (X))

$P(Y|do(X))$

\sum_{Z} P (Y | d o (Z)) P (Z | d o (X)

$\sum_{Z}P(Y|do(Z))P(Z|do(X)$

\sum_{Z} P (Y | Z, d o (X)) P (Z | d o (X))

$\sum_{Z}P(Y|Z, do(X))P(Z|do(X))$

@JulianSchuessler यही कारण है कि मैंने लिखा है "के रूप में सोचा जा सकता है", समझने में मदद करने के लिए एक तरीका है, लेकिन शाब्दिक रूप से यह नहीं कह रहा है। सामने के दरवाजे की व्युत्पत्ति के बारे में यह स्पष्ट नहीं था कि ओपी जानता था कि इसे कैसे प्राप्त किया जाए, इसीलिए मैंने इसे वहाँ रखा।

— कार्लोस सिनेली

बहुत बढ़िया जवाब। धन्यवाद, कार्लोस। आपके उत्तर का दूसरा भाग वही था जो मैंने माँगा था। मेरे यहाँ दो अनुवर्ती प्रश्न हैं। 1) आपने अपने दूसरे उत्तर में भावों के हेरफेर के लिए आपने किस खोज रणनीति का उपयोग किया? (भावों पर पर्याप्त समय लगाकर?) चूंकि खोज स्थान बड़ा है, इसलिए मैं सोच रहा हूं कि एक एल्गोरिथ्म कैसे लिखा जा सकता है जो स्वचालित रूप से एक ही निष्कर्ष पर आने में सक्षम हो।

— जेई

\sum_{z} P (Y | do (Z) P (Z | do (X))

$\sum_z P(Y|\textit{do}(Z)P(Z|\textit{do}(X))$

do (Z)

$\textit{do}(Z)$

Z

$Z$

Z

$Z$

P (X, U)

$P(X, U)$

P (Y | X, U)

$P(Y|X, U)$

M

$M$

M^{*}

$M^*$

P

$P$

P^{*}

$P^*$

Y

$Y$

X

$X$

U

$U$