रैखिक रूप से निर्भर और रैखिक रूप से सहसंबद्ध के बीच अंतर क्या है?

Question

कृपया बताएं कि क्या अंतर है अगर दो चर रैखिक रूप से निर्भर या रैखिक रूप से सहसंबद्ध हैं ।

मैंने विकिपीडिया लेख को देखा लेकिन एक उचित उदाहरण नहीं मिला। कृपया इसे उदाहरण सहित समझायें।

Answer 1

यदि एक को दूसरे के रैखिक फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है, तो दो चर रैखिक रूप से निर्भर होते हैं। यदि दो चर रैखिक रूप से निर्भर हैं तो उनके बीच संबंध 1 या -1 है। रेखीय रूप से सहसंबंधित का अर्थ है कि दो चर एक गैर-शून्य सहसंबंध है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक सटीक रैखिक संबंध हो। सहसंबंध को कभी-कभी रैखिक सहसंबंध भी कहा जाता है क्योंकि पियर्सन उत्पाद क्षण सहसंबंध गुणांक चर के बीच संबंधों में रैखिकता की ताकत का एक उपाय है।

Comments

+1। हालांकि, मैं बल्कि पीयरसन कोफ कहूंगा। "रैखिक संबंधों की शक्ति का एक माप है"is a measure of the degree of linearity in [= of?] the relationship

— ttnphns

@ttnphns ठीक है जो अधिक उपयुक्त लगता है।

— माइकल आर। चेर्निक

शायद बजाय एक बेहतर उपाय होगा क्योंकि हमें एक मजबूत रेखीय संबंध (नकारात्मक ढलान के साथ) के साथ करीब साथ परेशानी की आवश्यकता नहीं है । इसके अलावा, इस बात पर विचार करें कि कितना विचलन बनाम गैर-समझाया गया है, और वह को चालू करने और उत्सव में हैंडस्टैंड करने में उत्तेजित नहीं करता है, जबकि एक सकारात्मक (पढ़ें, युवा) परिणाम का बहुत बेहतर सबूत है। $\rho^2$$\rho$$\rho$$-1$$\rho = 0.51$$\rho^2 > 1/\sqrt{2} \approx 70\%$

— दिलीप सरवटे

Answer 2

में रैखिक निर्भरता मतलब है कि एक वेक्टर अन्य रैखिक कार्य है: यह इस परिभाषा यह है कि दो चर लॉक-कदम में कदम होगा, की एक संबंध जिसका अर्थ से स्पष्ट है या के मूल्य के आधार । अवधारणाओं के बीच अंतर और कनेक्शन को पूरी तरह से समझने के लिए, हालांकि, मुझे लगता है कि इसमें शामिल ज्यामिति पर विचार करना फायदेमंद है।$\mathbf{R}^2$

$$\textbf{v}_{1}=a\textbf{v}_2.$$ $1$$-1$$a$

नीचे दिया गया ग्राफ रैखिक निर्भरता के सूत्र का एक उदाहरण दिखाता है। आप देख सकते हैं कि वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं, क्योंकि एक दूसरे के बस एक से अधिक है।

यह रैखिक स्वतंत्रता के विपरीत है, जो कि द्वारा वर्णित है: लिए वैक्टररेखीय स्वतंत्रता का एक उदाहरण नीचे के ग्राफिक में देखा जा सकता है। $\mathbf{R}^2$

$$\textbf{v}_{1}\neq a\textbf{v}_2$$ $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \neq \textbf{0}.$

रैखिक स्वतंत्रता का सबसे चरम संस्करण ऑर्थोगोनलिटी है, जिसे वैक्टर रूप में परिभाषित किया गया है: जब में रेखांकन किया जाता है , तो orthogonality vectors और से मेल खाती है, जो एक दूसरे से लंबवत हैं:$\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$

$$\textbf{v}_{1}^T \textbf{v}_{2} = 0.$$ $\mathbf{R}^2$$\textbf{v}_{1}$$\textbf{v}_2$

अब, पियर्सन के सहसंबंध गुणांक पर विचार करें:

$$\rho_{\textbf{v}_{1}\textbf{v}_{2}} = \frac{(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})^T(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})}{\sigma_{\textbf{v}_{1}}\sigma_{\textbf{v}_{2}}}.$$

ध्यान दें कि यदि वैक्टर और ऑर्थोगोनल हैं तो पियर्सन के गुणांक का अंश शून्य है, जिसका अर्थ है कि चर और असंबद्ध हैं। यह रैखिक स्वतंत्रता और सहसंबंध के बीच एक दिलचस्प संबंध को दर्शाता है: चर के केंद्रित संस्करणों के बीच रेखीय निर्भरता और गैर- सहसंबंध से मेल खाती है या , गैर -ऑर्थोगोनल रैखिक स्वतंत्रता और के केंद्रित संस्करणों के बीच( v 2 - ˉ वी 2 1 ) वी 1 वी 2 v 1 वी 2 1 - 1 v 1 वी 2 0 1 v 1 वी 2$(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})$$(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})$$\textbf{v}_{1}$$\textbf{v}_{2}$$\textbf{v}_{1}$$\textbf{v}_{2}$$1$$-1$$\textbf{v}_{1}$$\textbf{v}_{2}$निरपेक्ष मान में और बीच सहसंबंध से मेल खाता है , और और के केंद्रित संस्करणों के बीच orthogonality सहसंबंध से मेल खाती है ।$0$$1$$\textbf{v}_{1}$$\textbf{v}_{2}$$0$

इस प्रकार, यदि दो वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो वैक्टर के केंद्रित संस्करण भी रैखिक रूप से निर्भर होंगे, अर्थात वैक्टर पूरी तरह से सहसंबद्ध होते हैं। जब दो रैखिक स्वतंत्र वैक्टर (ऑर्थोगोनल या नहीं) वैक्टर के बीच के कोण को केंद्रित करते हैं या नहीं बदल सकते हैं। इस प्रकार रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के लिए सहसंबंध सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है।

Answer 3

F (x) और g (x) फ़ंक्शन होने दें।

F (x) और g (x) रैखिक रूप से स्वतंत्र होने के लिए हमारे पास होना चाहिए

a * f (x) + b * g (x) = 0 यदि और केवल अगर a = b = 0 हो तो।

दूसरे शब्दों में, ऐसा कोई c नहीं है जो a या b शून्य नहीं है बल्कि

ए * एफ (सी) + बी * जी (सी) = ०

यदि ऐसा एसी है, तो हम कहते हैं कि एफ (एक्स) और जी (एक्स) रैखिक रूप से निर्भर हैं।

जैसे

f (x) = sin (x) और g (x) = cos (x) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं

f (x) = sin (x) और g (x) = sin (2x) रैखिक रूप से निर्भर नहीं हैं (क्यों?)

Comments

आप जिस परिभाषा का उपयोग कर रहे हैं, उसके साथ एक ऐसा भी हो सकता है कि ; यदि वे माना डोमेन में सभी लिए होता है तो वे केवल रैखिक रूप से निर्भर होते हैं ; उदाहरण के लिए, साथ अपने दूसरे उदाहरण पर विचार करें । (इसके अलावा, मुझे लगता है कि आपके पहले उदाहरण में कोई समस्या है)एक च ( ग ) + ख जी ( ग ) = 0 एक्स सी = π /$c$$a f(c) + b g(c) = 0$$x$$c=\pi/3$

— Glen_b -Reinstate Monica