का आसान प्रमाण ?

चलो स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर हो। वहाँ कई (लंबा) सबूत हैं, जो दिखा रहे हैं $Z_1,\cdots,Z_n$

\sum_{i = 1}^{n} {(Z_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Z_{j})}^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\sum_{i=1}^n \left(Z_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j \right)^2 \sim \chi^2_{n-1}$

कई सबूत काफी लंबे होते हैं और उनमें से कुछ प्रेरण का उपयोग करते हैं (जैसे कि कैसला सांख्यिकीय इंजेक्शन)। मैं सोच रहा हूं कि क्या इस परिणाम का कोई आसान सबूत है।

mathematical-statistics sampling

— 3x89g2
स्रोत

एक सहज ज्ञान युक्त ज्यामितीय (कोऑर्डिनेट-फ्री) दृष्टिकोण के लिए, माइकल जे विचुरा (तकनीकी विवरण में थियोरम 8.2 में तकनीकी विवरण भरे गए हैं) द्वारा उत्कृष्ट मॉडल के समन्वय 1.2, उत्कृष्ट पाठ के समन्वय 1.2 देखें, जहां लेखक ने वास्तव में पारंपरिक की तुलना की है मैट्रिक्स प्रूफ (व्हॉबर के उत्तर द्वारा प्रदान किया गया) और उसका प्रक्षेपण दृष्टिकोण, यह दर्शाता है कि उसका ज्यामितीय दृष्टिकोण अधिक प्राकृतिक और कम अस्पष्ट है। व्यक्तिगत रूप से, मुझे लगता है कि यह प्रमाण व्यावहारिक और संक्षिप्त है।

— झांक्सिओनग

जवाबों:

के लिए , को परिभाषित $k=1, 2, \ldots, n-1$

X_{k} = (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{k} - k Z_{k + 1}) / \sqrt{k + k^{2}} .

$X_k = (Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_k - kZ_{k+1})/\sqrt{k+k^2}.$

, multinormally वितरित यादृच्छिक चर के परिवर्तनों रैखिक जा रहा है , यह भी एक multinormal वितरण की है। ध्यान दें कि $X_k$ $Z_i$

का प्रसरण-सहसंयोजक मैट्रिक्स पहचान मैट्रिक्स है। $(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})$ $n-1\times n-1$
$X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{n-1}^2 = \sum_{i=1}^n (Z_i-\bar Z)^2.$

$(1)$ , जिसे जांचना आसान है, सीधे सभी को देखने पर का तात्पर्य साथ असंबंधित है । सभी इस पर हैं कि , जहाँ: देखते हैं वाले। $(2)$ $X_k$ $\bar Z.$ $1+1+\cdots+1 - k = 0$ $k$

साथ में ये दिखाते हैं कि में असंबंधित इकाई-विचरण के योग का वितरण सामान्य चर है। परिभाषा के अनुसार, यह वितरण, QED है । $\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2$ $n-1$ $\chi^2(n-1)$

संदर्भ

का निर्माण कहां से होता है, व्याख्या के लिए, मेट्रिसेस से संबंधित आइसोमेट्रिक लॉग-अनुपात परिवर्तन कैसे करें, पर मेरे उत्तर की शुरुआत देखें । $X_k$
यह आरएसएस द्वारा ची चौरस टाइम्स एनपी क्यों वितरित किया गया है, इस पर ओश्राम के उत्तर में दिए गए सामान्य प्रदर्शन का एक सरलीकरण है । जवाब का दावा है कि निर्माण करने के लिए "वहाँ एक मैट्रिक्स से मौजूद है" ; यहाँ, मैं ऐसे मैट्रिक्स का प्रदर्शन करता हूँ। $X_k$

— व्हीबर
स्रोत

इस निर्माण की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या है। (1) चर

को n- आयामी गोलाकार सममित वितरण पर वितरित किया जाता है (इस प्रकार हम इसे किसी भी तरह से घुमा सकते हैं)। (2)

रैखिक समस्या का समाधान के रूप में पाया जाता है

, जो प्रभावी रूप से वेक्टर का अनुमान है

पर

। (३) यदि हम निर्देशांक स्थान को ऐसे घुमाते हैं जैसे कि निर्देशांक में से एक इस प्रक्षेपण सदिश के साथ मेल खाता है,

, तो शेष एक (n-१) है -मूलिनोमियल वितरण जो अवशिष्ट स्थान का प्रतिनिधित्व करता है।

Z_{i}

$Z_i$

\bar{Z}

$\overline{Z}$

Z_{i} = \bar{Z} + ϵ_{i}

$Z_i = \overline{Z} + \epsilon_i$

Z

$\mathbf{Z}$

1

$\mathbf{1}$

1

$\mathbf{1}$

— सेक्टस एम्पिरिकस

आप दिखाते हैं कि

एक-दूसरे से असंबद्ध हैं। लेकिन जहाँ तक मैं समझता हूँ, यह कहना है कि वर्ग मानक सामान्य चर का एक योग है

, हम स्वतंत्रता की जरूरत है, जो असहसंबद्ध की तुलना में काफी मजबूत आवश्यकता है? संपादित करें: ओह रुको, अगर हम जानते हैं कि दो चर सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं, तो असंबंधित स्वतंत्रता का अर्थ है।

X_{i}

$X_i$

χ^{2}

$\chi^2$

— user56834

इसके अलावा, मुझे समझ नहीं नहीं आप कैसे तथ्य यह है कि से जाना

के साथ uncorrelated हैं

(जो मुझे समझ नहीं), (2) करने के लिए। क्या आप विस्तृत कर सकते हैं?

X_{i}

$X_i$

\bar{Z}

$\bar Z$

— user56834

@Programmer क्षमा करें; मेरा मतलब यह नहीं था कि यह एक तार्किक कटौती है - (1) और (2) दो अलग-अलग अवलोकन हैं। (२) केवल एक (सीधी) बीजगणितीय पहचान है।

— whuber

प्रोग्रामर, उस दूसरे उत्तर के लिंक पर ध्यान दें, जिसे Whuber ने दिया था ( आंकड़े . stackexchange.com/questions/259208/… )

का निर्माण ऑर्थोगोनल पंक्तियों के साथ मैट्रिक्स,

आधार पर किया गया है । तो आप एक अधिक अमूर्त (कम अविश्वसनीय) रास्ते में मूल्यांकन कर सकते हैं

के रूप में

X_{k}

$X_k$

H

$H$

\sum K_{i}^{2}

$\sum K_i^2$

, (ध्यान दें कि हम इसे n द्वारा n बनाने के लिए वेक्टर 1111 से कश्मीर का विस्तार करने के लिए)

K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (H Z)^{T} (H Z) = Z^{T} (H^{T} H) Z = Z^{T} I Z = Z \cdot Z

$K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (HZ)^T (HZ) = Z^T (H^TH) Z= Z^T I Z = Z \cdot Z$

— सेक्सटस एमपिरिकस

ध्यान दें कि आप कहते हैं कि मानक सामान्य के साथ आईआईडी रहे के साथ, और $Z_is$ $N(0,1)$ $\mu=0$ $\sigma=1$

फिर $Z_i^2\sim \chi^2_{(1)}$

फिर

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} & = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z} + \bar{Z})^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2} + n {\bar{Z}}^{2} \\ (1) & = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2} + {[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{i=1}^n Z_i^2&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z}+\bar{Z})^2=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+n\bar{Z}^2\\&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \tag{1} \end{align}$

ध्यान दें कि के बाएं हाथ की ओर (1), और कहा कि दाहिने हाथ की ओर दूसरे कार्यकाल

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ_{(n)}^{2}

$\sum_{i=1}^n Z_i^2\sim\chi^2_{(n)}$

{[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \sim χ_{(1)}^{2} .

$\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \sim\chi^2_{(1)}.$

इसके अलावा ऐसी है कि और स्वतंत्र हैं। इसलिए में (1) दो पिछले शर्तों (के कार्यों और ) भी स्वतंत्र हैं। उनके mgfs इसलिए माध्यम से (1) के बाएं हाथ के mgf से संबंधित हैं $\operatorname{Cov}(Z_i-\bar Z,\bar Z)=0$ $Z_i-\bar Z$ $\bar Z$ $Z_i-\bar Z$ $Z_i$ जहां और । की एमजीएफ इसलिए है

M_{n} (t) = M_{n - 1} (t) M_{1} (t)

$M_n(t) = M_{n-1}(t)M_1(t)$

M_{n} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2}

$M_n(t)=(1-2t)^{-n/2}$

M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- 1 / 2}

$M_1(t)=(1-2t)^{-1/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

। इस प्रकार,

के साथ ची-वर्ग है

स्वतंत्रता की डिग्री।

M_{n - 1} (t) = M_{n} (t) / M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$M_{n-1}(t)=M_n(t)/M_1(t)=(1-2t)^{-(n-1)/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

n - 1

$n-1$

— दीप उत्तर
स्रोत

आखिरी "इसलिए" बहुत लापरवाह है

— Zhanxiong

स्वतंत्र मानक deivation से देखा जा सकता में की निर्भर है

\bar{X}

$\bar{X}$

— दीप उत्तर

\bar{X}

$\bar{X}$

\sum Z_{i}^{2}

$\sum Z_i^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

\sum (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum (Z_i - \bar{Z})^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

मुझे लगता है कि मैंने

— दीप नॉर्थ

@DeepNorth अगर आपके सबूत में कुछ गायब टुकड़े भरे हैं

— Jarle Tufto