क्या इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप जनसंख्या का नमूना कैसे लेते हैं?

Question

मेरे पास एक अच्छी तरह से मिश्रित वैट है जिसमें अनंत संख्या में पत्थर होते हैं। वैट में अनंत मात्रा में पत्थर होते हैं, लेकिन वे केवल कुछ अज्ञात लेकिन परिमित संख्या में आते हैं : अज्ञात है, और के लिए , एक ड्राइंग प्रकार संगमरमर एक ड्राइंग की तुलना में अधिक होने की संभावना हो सकती है प्रकार संगमरमर।

$$\mathcal{V} = \{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{k}\}$$ $k$$i\neq j$$v_i$$v_j$

एक प्रयोग में, एक मशीन कुछ अज्ञात प्रक्रिया का उपयोग करके वात का नमूना लेती है। मशीन एक सेट रिपोर्ट करती है जिसमें इसके नमूने से किस्मों का वर्णन होता है : $X$$q\leq k$

$$X \subseteq \mathcal{V}; \quad |X|=q$$

इस प्रयोग के परीक्षणों को दोहराया जाता है ( को परीक्षणों में निर्धारित किया जाता है) और हमें , के सबसेट का क्रम मिलता है ।$q$$\mathcal{V}$$(X_1,X_2,\dots)$

हम जानते हैं कि केवल अन्य चीजें हैं:

• परीक्षण स्वतंत्र और समान हैं
• मशीन अपने नमूने में शीर्ष सबसे अधिक बार होने वाली किस्मों की रिपोर्ट करती है$q$

हमें ठीक से पता नहीं है कि मशीन के नमूने कैसे होते हैं। यह बड़ी संख्या में पत्थर चुन सकता है, फिर सबसे अधिक बार रिपोर्ट करेगा । वैकल्पिक रूप से, यह किस्में होने तक मार्बल उठा सकता है । वहाँ अन्य चीजें यह भी कर सकता है।$q$$q$

क्या मशीन के नमूने प्रक्रिया से हमारे परीक्षण का वितरण प्रभावित होगा?$(X_1,X_2,\dots)$

Comments

+1 यह एक महान प्रश्न है क्योंकि यह सराहना करता है कि नमूना प्रक्रिया के बारे में कुछ अस्पष्ट रूप से मनमानी या ज्ञान की कमी की तुलना में यादृच्छिक नमूने के लिए अधिक है।

— whuber

नमूना नियम निश्चित रूप से मायने रखेगा। अन्यथा, इस प्रक्रिया पर विचार करें: मशीन, प्रत्येक परीक्षण में, हमेशा टाइप 1 (पहली किस्म) के एक एकल संगमरमर का चयन करती है। प्रत्येक ड्रा स्वतंत्र होगा और समान वितरण (तुच्छ रूप से) होगा, और आपको q = 1 मिलेगा, जो पूरी तरह से गैर-सहायक परिणाम है।

— अलास्का रॉन

Answer 1

यह सत्यापित करने का एक सरल तरीका है कि विधि मायने रखती है पत्थर के प्रकारों के लिए विशेष संभावनाएं चुनना, और कुछ विधियों के अनुसार प्रत्येक सबसेट की संभावना की गणना करना। यह साबित नहीं कर सकता है कि विधि कोई फर्क नहीं पड़ता, हालांकि।

मान लीजिए कि प्रकार हैं और प्रत्येक प्रकार की संभावना क्रमशः , और है। मान लीजिए आप प्रकार के पत्थर चुन रहे हैं ।$3$$1/2$$1/4$$1/4$$2$

मान लें कि संगमरमर चुनने के बाद, आप बाकी तरह की अनदेखी करते हैं। मौका आपको मिल है ।$\lbrace v_2,v_3\rbrace$$2*1/4*1/3 = 1/6$

मान लीजिए कि आप बार-बार प्रकार के साथ जोड़े अस्वीकार करते हैं। का मौका है$\lbrace v_2,v_3\rbrace$

$$\frac{2*1/4*1/4}{2*1/4*1/4 + 2*1/2*1/4 + 2*1/2*1/4} = \frac{1/8}{1/8 + 1/4 + 1/4} = 1/5.$$

चूंकि ये भिन्न हैं, मशीन उन मामलों का उपयोग करती है। बार-बार प्रकार के साथ जोड़े को अस्वीकार करने से जोड़ों का वजन सामान्य प्रकार से कम होता है।

आपके द्वारा बताए गए तरीकों में से दो समकक्ष हैं। संगमरमर को चुनने के बाद अपनी तरह के बाकी हिस्सों को अनदेखा करना, तब तक चुनना है जब तक कि आपके पास विभिन्न प्रकार न हो।$q$