क्या असंगत अनुमानक कभी बेहतर होते हैं?

संगति स्पष्ट रूप से एक प्राकृतिक और महत्वपूर्ण संपत्ति अनुमानक है, लेकिन क्या ऐसी परिस्थितियां हैं जहां एक सुसंगत अनुमानक का उपयोग सुसंगत एक के बजाय बेहतर हो सकता है?

अधिक विशेष रूप से, एक असंगत अनुमानक के उदाहरण हैं जो सभी परिमित लिए एक उचित सुसंगत अनुमानक हैं (कुछ उपयुक्त नुकसान समारोह के संबंध में)? $n$

estimation consistency

— MånsT
स्रोत

लसो और इसके (कई!) वेरिएंट का उपयोग करके अनुमान समस्याओं में मॉडल चयन और पैरामीटर स्थिरता की स्थिरता के बीच प्रदर्शन में एक दिलचस्प व्यापार है। यह विस्तृत है, उदाहरण के लिए, बुहल्मन और वैन डेर जेर के हाल के पाठ में।

— कार्डिनल

मेरे तर्क में नहीं, अब नष्ट कर दिया जाएगा, जवाब अभी भी पकड़? अर्थात्: छोटे नमूनों में कम विचरण के साथ निष्पक्ष अनुमान लगाने वाला होना बेहतर है। या कोई यह दिखा सकता है कि एक सुसंगत अनुमानक के पास हमेशा किसी अन्य निष्पक्ष अनुमानक की तुलना में कम विचरण होता है?

— बॉब जानसेन

शायद, @Bootvis! क्या आपके पास कम MSE के साथ असंगत अनुमानक का एक उदाहरण है?

— 18

@ भूत: यदि आप एक हालिया प्रश्न के उत्तर पर व्यापक टिप्पणियों को देखने के लिए होते हैं, तो स्थिरता बनाम निष्पक्षता के बारे में पूछते हैं, तो आप देखेंगे कि एक सुसंगत अनुमानक के मनमाने ढंग से और पूर्वाग्रह (यहां तक कि एक साथ!) दोनों का मनमाना जंगली व्यवहार हो सकता है! । कि आपकी टिप्पणी के बारे में सभी संदेह को दूर करना चाहिए।

— कार्डिनल

मुझे लगा कि मेरे पास दो पुस्तकों में से एक है, लेकिन जाहिर है कि मैं इसके बारे में भी गलत था! उदाहरण कहीं नहीं मिला है। @ कार्डिनल: दिलचस्प लगता है, इसे बाहर की जाँच करेंगे

— बॉब जेनसन

यह उत्तर एक यथार्थवादी समस्या का वर्णन करता है जहां एक प्राकृतिक सुसंगत अनुमानक का प्रभुत्व होता है (असंगत अनुमानक द्वारा सभी नमूना आकारों के लिए सभी संभावित पैरामीटर मूल्यों के लिए बेहतर प्रदर्शन)। यह इस विचार से प्रेरित है कि स्थिरता द्विघात नुकसान के लिए सबसे उपयुक्त है, इसलिए इससे (जैसे एक असममित हानि के रूप में) दृढ़ता से प्रस्थान करने वाले नुकसान का उपयोग करके अनुमानकर्ताओं के प्रदर्शन का मूल्यांकन करने में निरंतरता को बेकार कर देना चाहिए।

मान लीजिए कि आपके ग्राहक आईआईडी सैंपल से एक चर (एक सममित वितरण होने का मतलब) का अनुमान लगाना चाहते हैं, लेकिन वे या तो इसका खामियाजा भुगत रहे हैं (ए) इसे कम आंकना या (ख) सकल रूप से कम आंकना यह। $(x_1, \ldots, x_n)$

यह देखने के लिए कि यह कैसे काम कर सकता है, आइए हम एक सरल हानि फ़ंक्शन को अपनाते हैं, यह समझते हुए कि व्यवहार में नुकसान इस मात्रा से भिन्न हो सकता है (लेकिन गुणात्मक रूप से नहीं)। माप की इकाइयों चुनें ताकि सबसे बड़ा सहनीय अत्यधिक है और एक अनुमान के नुकसान सेट जब सच मतलब है बराबर करने के लिए जब भी और के बराबर अन्यथा। $1$ $t$ $\mu$ $0$ $\mu \le t\le \mu+1$ $1$

गणना मतलब के साथ वितरण के एक सामान्य परिवार के लिए विशेष रूप से आसान है और विचरण तो नमूना मतलब के लिए, $\mu$ $\sigma^2 \gt 0$ एक सामान्य हैवितरण। नमूना माध्यका सुसंगत अनुमानक है, जैसा कि सर्वविदित है (और स्पष्ट है)। लेखनमानक सामान्य CDF के लिए, नमूना मतलब की उम्मीद की हानि के बराबर होती है $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_i x_i$ $(\mu, \sigma^2/n)$ $\mu$ $\Phi$ :50% संभावना है कि नमूना मतलब सच मतलब और बहुत मूल्यवान समझना होगा से आता है $1/2 + \Phi(-\sqrt{n}/\sigma)$ $1/2$ से अधिक के वास्तविक अर्थ को कम करके आंकने के अवसर से आता है। $\Phi(-\sqrt{n}/\sigma)$ $1$

हानि

की अपेक्षित हानि इस मानक सामान्य पीडीएफ के तहत नीले क्षेत्र के बराबर होती है। लाल क्षेत्र वैकल्पिक अनुमानक का अनुमानित नुकसान देता है, नीचे। वे के बीच ठोस नीले क्षेत्र की जगह से भिन्न होते हैं $\bar{x}$ औरके बीच छोटे लाल क्षेत्र द्वारा $-\sqrt{n}/(2\sigma)$ $0$ और $\sqrt{n}/(2\sigma)$ । वह अंतर बढ़ता है जैसे हीबढ़ता है। $\sqrt{n}/\sigma$ $n$

द्वारा दिए गए एक वैकल्पिक आकलनकर्ता के एक उम्मीद नुकसान है $\bar{x}+1/2$ । सामान्य वितरण की समरूपता और असमानता इसका अनुमानित नुकसान हमेशा नमूना मतलब की तुलना में बेहतर है। (यह नमूना मतलब बनाताअग्राह्यइस नुकसान के लिए।) वास्तव में, नमूना मतलब की उम्मीद की हानि की निचली सीमा हैके लिए वैकल्पिक और converges की है कि जबकिके रूप मेंबढ़ता है। हालांकि, वैकल्पिक स्पष्ट रूप से असंगत है: के रूप मेंबढ़ता है, यह करने के लिए संभावना में अभिसरण। $2\Phi(-\sqrt{n}/(2\sigma))$ $1/2$ $0$ $n$ $n$ $\mu+1/2 \ne \mu$

नुकसान के कार्य

$\bar{x}$ $\bar{x}+1/2$ $n$

— व्हीबर
स्रोत

L_{2}

$L_2$

L_{2}

$L_2$

@ मैक्रो सोच कुछ हद तक अप्रत्यक्ष है और कठोर होने का इरादा नहीं है, लेकिन मेरा मानना है कि यह स्वाभाविक है: द्विघात नुकसान का मतलब है कि कम से कम विचरण जो (चेबीशेव के माध्यम से) संभावना में अभिसरण की ओर जाता है। प्रतिहिंसा, एक प्रतिपक्ष खोजने के लिए एक अनुमान, नुकसान पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए जो अब तक द्विघात से दूर है कि इस तरह के जोड़-तोड़ असफल हैं।

— व्हिबर

1 / 2

$1/2$

0

$0$

n

$n$

@ मिचेल ओके, आपको समझाने के लिए धन्यवाद। इस संदर्भ में, गैर-द्विघात हानि के साथ, एक "लाभ" पूर्वाग्रह की शर्तों को व्यक्त नहीं किया जाता है। एक व्यक्ति इस नुकसान के कार्य की आलोचना कर सकता है, लेकिन मैं इसे स्पष्ट रूप से अस्वीकार नहीं करना चाहता: यह उन स्थितियों को दर्शाता है जहां, उदाहरण के लिए, डेटा कुछ सहिष्णुता के लिए निर्मित आइटम का माप है और यह विनाशकारी होगा (जैसा कि शटल ओ-रिंग विफलता में है या व्यापार दिवालियापन विनाशकारी) सही अर्थ के लिए उन सहिष्णुता के बाहर गिरने के लिए।

— whuber

(+1) शानदार जवाब, @whuber! मैं विशेष रूप से पसंद करता हूं कि यह बहुत अधिक रोगात्मक नहीं लगता है - मैं कई स्थितियों के बारे में सोच सकता हूं जहां इस प्रकार का नुकसान लागू होगा।

— 7