समान सम वितरण के लिए सामान्य सन्निकटन में त्रुटि

एक सामान्य वितरण को अंजाम देने के लिए एक भोली विधि है कि केंद्रीय सीमा प्रमेय पर भरोसा करते हुए, पर $100$ आईआईडी यादृच्छिक चर समान रूप से वितरित किए जाएं , फिर पुनरावृत्ति और पुनर्विक्रय करें। ( साइड नोट : बॉक्स-मुलर ट्रांसफ़ॉर्म जैसे अधिक सटीक तरीके हैं ।) IID यादृच्छिक चर के योग को समान योग वितरण या इरविन-हॉल वितरण के रूप में जाना जाता है । $[0,1]$ $U(0,1)$

सामान्य वितरण द्वारा एक समान योग वितरण को अनुमानित करने में त्रुटि कितनी बड़ी है?

जब भी इस प्रकार का प्रश्न आईआईडी यादृच्छिक चर की राशि के अनुमान के लिए आता है, तो लोग (मेरे सहित) बेरी-एसेन प्रमेय को सामने लाते हैं , जो केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक प्रभावी संस्करण है, जिसे देखते हुए तीसरा क्षण मौजूद है।

| {एफ}_{n} (एक्स) - Φ (एक्स) | \leq \frac{सी ρ}{σ^{3} \sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n}$

जहां IID रैंडम वैरिएबल $F_n$ की बढ़ी हुई राशि के लिए संचयी वितरण समारोह है , निरपेक्ष तीसरा केंद्रीय क्षण , मानक विचलन है, और एक निरपेक्ष निरंतर जो होने के लिए ले जाया जा सकता है या यहाँ तक कि । $n$ $\rho$ $E|(X-EX)^3|$ $\sigma$ $C$ $1$ $1/2$

यह असंतोषजनक है। मुझे ऐसा लगता है कि बेरी-एसेन अनुमान द्विपदीय वितरणों पर तेज है, जो असतत हैं, एक सममित द्विपद वितरण के लिए पर सबसे बड़ी त्रुटि है $0$ । सबसे बड़ी त्रुटि सबसे बड़ी छलांग पर आती है। हालाँकि, समरूप राशि वितरण में कोई उछाल नहीं है।

संख्यात्मक परीक्षण का सुझाव है कि त्रुटि से अधिक तेजी से सिकुड़ता है $c/\sqrt n$ ।

का उपयोग करते हुए $C=1/2$ , बेरी-Esseen अनुमान है

| {एफ}_{n} (एक्स) - Φ (एक्स) | \leq \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{32}}{\frac{1}{{\sqrt{12}}^{3}} \sqrt{n}} \approx \frac{0.650}{\sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n}$

जो लिए क्रमशः , और है। के लिए वास्तविक अधिकतम मतभेद के बारे में प्रतीत , , और के रूप में गिर करने के लिए, क्रमशः, जो बहुत छोटे होते हैं और दिखाई के बजाय $n=10,20,40$ $0.205$ $0.145$ $0.103$ $n=10, 20, 40$ $0.00281$ $0.00139$ $0.000692$ $c/n$ । $c/\sqrt n$

— डगलस ज़ारे
स्रोत

आप एक में राशि के वितरण का विस्तार तो Edgeworth विस्तार , आप पाते हैं कि

में समान रूप से

के रूप में

(के बाद से समरूप वितरण सममित है), इसलिए

सही के बारे में लगता है। वजह से

F_{n} (x) = Φ (x) + n^{- 1} g (x) + o (n^{- 1})

$F_n(x)=\Phi(x)+n^{-1}g(x)+o(n^{-1})$

x

$x$

n \to \infty

$n\rightarrow\infty$

c / n

$c/n$

o (n^{- 1})

$o(n^{-1})$ शब्द, जो आपको एक बाउंड नहीं देता है ...

— MånsT

धन्यवाद, ऐसा लगता है कि यह कई अन्य वितरणों के लिए भी

पैटर्न की व्याख्या करता है।

c / n

$c/n$

— डगलस जारे

चलो आईआईडी हो यादृच्छिक चर और सामान्यीकृत योग क्यों $U_1, U_2,\dots$ $\mathcal U(-b,b)$ और संबद्ध आदर्श

{एस}_{n} = \frac{\sqrt{3} Σ_{मैं = 1}^{n} {यू}_{मैं}}{ख \sqrt{n}},

$S_n = \frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^n U_i}{b \sqrt{n}} \>,$

sup

$\sup$

जहां

का वितरण है।

δ_{n} = \underset{एक्स \in आर}{सुड़कना} | {एफ}_{n} (एक्स) - Φ (एक्स) |,

$\delta_n = \sup_{x\in\mathbb R} |F_n(x) - \Phi(x)| \>,$

F_{n}

$F_n$

S_{n}

$S_n$

लेम्मा 1 ( Uspensky ): पर बाध्य निम्नलिखित रखती है। $\delta_n$

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} + \frac{1}{π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} \exp (- π^{2} n / 24) ।

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} + \frac{1}{\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} \exp(-\pi^2 n / 24) \>.$

सबूत । जेवी उसपेन्स्की (1937) देखें, गणितीय संभावना का परिचय , न्यूयॉर्क: मैकग्रा-हिल, पी। 305।

यह बाद में आर। शर्मन द्वारा निम्नलिखित में सुधार किया गया था।

लेम्मा 2 ( शर्मन ): उसपेन्स्की बंध पर निम्नलिखित सुधार होता है।

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} - (\frac{π}{180} + \frac{1}{7.5 π n}) इ^{- π^{2} n / 24} + \frac{1}{(n + 1) π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} इ^{- π^{2} n / 24} ।

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} - \left(\frac{\pi}{180}+\frac{1}{7.5\pi n}\right) e^{-\pi^2 n / 24} + \frac{1}{(n+1)\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} e^{-\pi^2 n / 24} \>.$

प्रमाण : R. शेरमन देखें, N यादृच्छिक चर , Biometrika , vol के योग में सामान्य सन्निकटन की त्रुटि । ५ no, नहीं। 2, 396-398।

$(\sin x) / x$

— कार्डिनल
स्रोत

N = n

$N=n$

@Procrastinator: अच्छी पकड़।

— कार्डिनल

2

$2$