अंकगणित माध्य के समान क्यों है?

Question

आज मुझे गणित विषय में एक नया विषय आया। मैं जिस पुस्तक का अनुसरण कर रहा हूं, वह कहती है, अपेक्षा किसी भी संभाव्यता वितरण से आने वाले यादृच्छिक चर का अंकगणितीय माध्य है। लेकिन, यह कुछ डेटा के उत्पाद और इसकी संभावना के रूप में अपेक्षा को परिभाषित करता है। ये दोनों (औसत और अपेक्षा) समान कैसे हो सकते हैं? डेटा के पूरे वितरण के औसत होने की संभावना का समय कितना हो सकता है?

Answer 1

अनौपचारिक रूप से, एक संभावना वितरण एक यादृच्छिक चर के परिणामों की सापेक्ष आवृत्ति को परिभाषित करता है - अपेक्षित मूल्य को उन परिणामों के भारित औसत (रिश्तेदार आवृत्ति द्वारा भारित) के रूप में माना जा सकता है। इसी तरह, अपेक्षित मूल्य को अंकगणित के अंक के सेट के अंकगणितीय माध्य के रूप में माना जा सकता है जो उनके होने की संभावना के सटीक अनुपात में उत्पन्न होता है (एक सतत यादृच्छिक चर के मामले में यह बिल्कुल सही नहीं है क्योंकि विशिष्ट मानों में संभाव्यता )।$0$

अपेक्षित मान और अंकगणितीय माध्य के बीच का संबंध असतत यादृच्छिक चर के साथ सबसे स्पष्ट है, जहां अपेक्षित मूल्य है

$$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$$

जहां नमूना स्थान है। एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि आपके पास असतत यादृच्छिक चर जैसे:$S$$X$

$$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$$

अर्थात्, संभाव्यता द्रव्यमान समारोह , , और । उपरोक्त सूत्र का उपयोग करना, अपेक्षित मूल्य है$P(X=1)=1/8$$P(X=2)=3/8$$P(X=3)=1/2$

$$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$$

अब आवृत्तियों के साथ उत्पन्न संख्याओं को प्रायिकता के बड़े पैमाने पर होने की संभावना पर विचार करें - उदाहरण के लिए, संख्याओं का समूह - दो एस, छह एस और आठ एस। अब इन संख्याओं का अंकगणितीय माध्य लें:$\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$$1$$2$$3$

$$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$$

और आप देख सकते हैं कि यह अपेक्षित मूल्य के बराबर है।

Comments

क्या {1,2,2,2,3,3,3,3} के सरल सेट का उपयोग करके इसे बेहतर तरीके से चित्रित नहीं किया जाएगा? उस सेट के अंकगणितीय माध्य को दर्शाने वाली अभिव्यक्ति उस चर के प्रत्याशा मान को दर्शाने वाली अभिव्यक्ति के समान है (यदि आप भारित उत्पादों को साधारण रकम में बदलते हैं)।

— १०:१६ पर डैनक्रम्ब

पुन: "उस सेट के अंकगणितीय माध्य को दर्शाने वाली अभिव्यक्ति उस चर के प्रत्याशा मान को दर्शाने वाली अभिव्यक्ति के समान है (यदि आप भारित उत्पादों को साधारण रकम में परिवर्तित करते हैं)" - हाँ @ डैंक्रम्ब, वह पूरा बिंदु था :)

— मैक्रो

Answer 2

उम्मीद एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य या मतलब है एक संभावना वितरण नहीं है। जैसे कि यह यादृच्छिक चर को असतत करने के लिए होता है, उन यादृच्छिक मानों का भारित औसत होता है जहाँ यादृच्छिक चर उन व्यक्तिगत मूल्यों के होने की सापेक्ष आवृत्ति के अनुसार होता है। एक बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए यह संभावना घनत्व द्वारा गुणा किए गए मानों का अभिन्न अंग है। अवलोकन किए गए डेटा को स्वतंत्र रूप से वितरित यादृच्छिक चर के संग्रह के मूल्यों के रूप में देखा जा सकता है। नमूना माध्य (या नमूना अपेक्षा) को देखे गए डेटा के लिए अनुभवजन्य वितरण के संबंध में डेटा की अपेक्षा के रूप में परिभाषित किया गया है। यह डेटा का केवल अंकगणितीय औसत बनाता है।

Comments

+1। अच्छी पकड़ फिर से: "उम्मीद एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य या मतलब है एक संभावना वितरण नहीं"। मैंने शब्दावली के इस सूक्ष्म दुरुपयोग पर ध्यान नहीं दिया।

— मैक्रो

Answer 3

आइए परिभाषाओं पर पूरा ध्यान दें:

माध्य को संख्याओं की संख्या के संग्रह में विभाजित संख्याओं के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। गणना "1 से n में i, (x उप i की राशि) n से विभाजित होगी।"

अपेक्षित मूल्य (EV) प्रयोग के पुनरावृत्ति के लंबे समय तक चलने वाले औसत मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। गणना "मैं 1 से n के लिए, घटना x उप का योग इसकी संभावना (और सभी p उप का योग मुझे = 1 होना चाहिए) होगा।"

निष्पक्ष मरने के मामले में, यह देखना आसान है कि माध्य और ईवी समान हैं। माध्य - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 - 3.5 और EV होगा:

प्रोब एक्सपी * एक्स

0.167 1 0.17

0.167 2 0.33

0.167 3 0.50

0.167 4 0.67

0.167 5 0.83

0.167 6 1.00

ईवी = राशि (पी * एक्स) = 3.50

लेकिन क्या होगा अगर मरने वाले "निष्पक्ष" नहीं थे। एक अनुचित मौत बनाने का एक आसान तरीका 4, 5 और 6 चेहरों के चौराहे पर कोने में एक छेद ड्रिल करना होगा। इसके अलावा अब कहते हैं कि हमारे नए और बेहतर कुटिल मरने पर 4, 5, या 6 को रोल करने की संभावना अब है। 2 और 1, 2 या 3 को रोल करने की संभावना अब है ।133। यह 6 चेहरों के साथ एक ही डाई है, प्रत्येक चेहरे पर एक नंबर और इस मरने का मतलब अभी भी 3.5 है। हालांकि, कई बार यह मर जाने के बाद, हमारी ईवी अब 3.8 है क्योंकि घटनाओं की संभावनाएं अब सभी घटनाओं के लिए समान नहीं हैं।

प्रोब एक्सपी * एक्स

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

ईवी = राशि (पी * एक्स) = 3.80

फिर से, आइए सावधान रहें और यह निष्कर्ष निकालने से पहले कि परिभाषा में वापस जाएं कि एक चीज हमेशा दूसरे के समान "समान" होगी। एक नज़र डालें कि एक सामान्य डाई कैसे स्थापित की जाती है और अन्य 7 कोनों में एक छेद ड्रिल करें और देखें कि ईवी कैसे बदलते हैं - मज़े करें।

Bob_T

Answer 4

"माध्य" और "अपेक्षित मान" के बीच एकमात्र अंतर यह है कि मुख्य रूप से आवृत्ति वितरण के लिए उपयोग किया जाता है और संभाव्यता वितरण के लिए अपेक्षा का उपयोग किया जाता है। आवृत्ति वितरण में, नमूना स्थान में चर और उनकी घटना की आवृत्ति होती है। संभाव्यता वितरण में, नमूना स्थान में यादृच्छिक चर और उनकी संभावनाएँ होती हैं। अब हम जानते हैं कि नमूना अंतरिक्ष में सभी चर की कुल संभावना = 1 होनी चाहिए। यहाँ मूल अंतर निहित है। अपेक्षा के लिए भाजक शब्द हमेशा = 1 है। (यानी संक्षेप f (xi) = 1) हालांकि आवृत्ति के योग पर कोई प्रतिबंध नहीं है (जो मूल रूप से प्रविष्टियों की कुल संख्या है)।