बड़ी संख्या का कानून कब विफल होता है?

Question

सवाल बस यह है कि शीर्षक में क्या कहा गया है: बड़ी संख्या का कानून कब विफल होता है? मेरे कहने का मतलब यह है कि किन मामलों में किसी घटना की आवृत्ति सैद्धांतिक संभावना तक नहीं होगी?

Answer 1

दो सिद्धांत हैं (कोलमोगोरोव के) और दोनों की आवश्यकता है कि अपेक्षित मूल्य परिमित हो। पहला धारण तब होता है जब चर IID होते हैं, दूसरा, जब नमूना स्वतंत्र होता है और का प्रसरण संतुष्ट करता है$X_n$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$$

यह कहें कि सभी ने अपेक्षित मान 0 है, लेकिन उनका विचरण ताकि स्थिति स्पष्ट रूप से विफल हो जाए। फिर क्या होता है? आप अभी भी अनुमानित औसत की गणना कर सकते हैं, लेकिन इसका मतलब यह नहीं होगा कि आप गहराई और गहराई से नमूना लेते हैं। यह अधिक से अधिक विचलन करने के लिए आप नमूना रखने के रूप में होगा।$X_n$$n^2$

चलिए एक उदाहरण देते हैं। कहें कि एकसमान ताकि ऊपर की स्थिति समय-समय पर विफल हो।$X_n$$U(-n2^n , n2^n)$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$$

यह देखते हुए

$$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$$

हम इंडक्शन द्वारा देखते हैं कि कंप्यूटेड एवरेज हमेशा इंटरवल । लिए समान सूत्र का उपयोग करके , हम यह भी देखते हैं कि वहाँ हमेशा से अधिक एक मौका है कि बाहर निहित है । दरअसल, एक समान और बाहर प्रायिकता साथ । दूसरी ओर, में है प्रेरण द्वारा, और समरूपता द्वारा यह संभावना के साथ सकारात्मक है$\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$n+1$$1/8$$\bar{X}_{n+1}$$(-2^n, 2^n)$$\frac{X_{n+1}}{n+1}$$U(-2^{n+1},2^{n+1})$$(-2^n, 2^n)$$1/4$$\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$1/2$। इन अवलोकनों से इसे तुरंत इस प्रकार है कि से अधिक है या की तुलना में छोटे , एक संभावना के साथ प्रत्येक से बड़ा । चूंकि संभावना है कि से अधिक है , वहाँ 0 में अभिसरण नहीं किया जा सकता है क्योंकि अनंत तक जाता है।$\bar{X}_{n+1}$$2^n$$-2^n$$1/16$$|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$$1/8$$n$

अब, विशेष रूप से आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए, एक घटना विचार करें । अगर मैं अच्छी तरह से समझ गया हूं, तो आप पूछते हैं कि "निम्नलिखित कथन गलत है?"$A$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$$

जहाँ घटना का सूचक कार्य है , अर्थात यदि और है, और को समान रूप से वितरित किया जाता है (और तरह वितरित )।$1_A$$A$ $1_A(X_k) = 1$$X_k \in A$$0$$X_k$$X$

हम देखते हैं कि ऊपर की स्थिति पकड़ लेगी, क्योंकि एक संकेतक फ़ंक्शन का विचरण 1/4 से ऊपर होता है, जो कि एक बर्नौली 0-1 चर का अधिकतम विचरण है। फिर भी, क्या गलत हो सकता है बड़ी संख्या के मजबूत कानून की दूसरी धारणा है, अर्थात् स्वतंत्र नमूनाकरण । यदि यादृच्छिक चर को स्वतंत्र रूप से नमूना नहीं किया जाता है, तो अभिसरण सुनिश्चित नहीं किया जाता है।$X_k$

उदाहरण के लिए, यदि सभी लिए = तो अनुपात या तो 1 या 0 होगा, का मान जो भी हो , इसलिए अभिसरण नहीं होता है (जब तक कि में संभाव्यता 0 या पाठ्यक्रम का 1 नहीं है)। यह एक नकली और चरम उदाहरण है। मैं उन व्यावहारिक मामलों से अवगत नहीं हूँ जहाँ सैद्धांतिक संभाव्यता में अभिसरण नहीं होगा। फिर भी, क्षमता मौजूद है यदि नमूना स्वतंत्र नहीं है।$X_k$$X_1$$k$$n$$A$

Comments

एक टिप्पणी। विकिपीडिया (lnl पेज) पर मैंने पढ़ा है कि विचरण की गैर-परिमितता केवल माध्य मान के अभिसरण को रोकती है। क्या आप राज्यों से अलग है?

— Emanuele

क्या आप दो एक ही कानून पर चर्चा कर रहे हैं? यह सवाल घटनाओं की आवृत्तियों के बारे में पूछता है जबकि यह उत्तर किसी माध्य के नमूना वितरण पर ध्यान केंद्रित करता है । हालाँकि एक कनेक्शन है, यह अभी तक यहाँ स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं हुआ है जहाँ तक मैं बता सकता हूँ।

— whuber

@ सच मैंने प्रश्न के शीर्षक पर बहुत अधिक ध्यान केंद्रित किया। इशारा करने के लिए धन्यवाद। मैंने जवाब अपडेट किया।

— गुई 11aume

@ gui11aume मुझे समझ में नहीं आता "हम देखते हैं कि ऊपर की स्थिति पकड़ लेगी, क्योंकि एक संकेतक फ़ंक्शन का विचरण 1/4 से ऊपर होता है।" इसका क्या मतलब है?

— इमानुएल

यदि वे समान रूप से वितरित हैं, लेकिन स्वतंत्र नहीं हैं, तो प्रश्न में सीमा बिल्कुल भी मौजूद नहीं हो सकती है।

— कार्डिनल