X और XY के बीच सहसंबंध

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अगर मेरे पास दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y हैं, तो X और उत्पाद XY के बीच क्या संबंध है? यदि यह अज्ञात है, तो मुझे कम से कम यह जानने में दिलचस्पी होगी कि एक्स और वाई के विशिष्ट मामले में शून्य का मतलब सामान्य है, अगर इसे हल करना आसान है।

correlation

— रॉबर्टो
स्रोत

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क्या इस सवाल को प्रेरित करता है? मुझे आश्चर्य है कि अगर हम यहां कुछ और भी संबोधित करेंगे तो यह सबसे अच्छा होगा। क्या आप एक अध्ययन करवा रहे हैं जिसमें आपने किसी कारणवश XY वैरिएबल बनाया है?

— गंग -

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उपाय

मैं इसे लेता हूं कि एक वैध समाधान वह होगा जो व्यक्त करता है - यदि संभव हो - चर और के अलग-अलग गुणों के संदर्भ में । सहसंबंध की गणना में और में मोनोमेरियल के सहसंयोजकों की गणना शामिल होगी । यह सब एक ही बार में किया जाना किफायती है। बस उसी का निरीक्षण करें $X$ $Y$ $X$ $Y$

जब और स्वतंत्र होते हैं और और शक्तियाँ होती हैं, तो और स्वतंत्र हैं; $X$ $Y$ $i$ $j$ $X^i$ $Y^j$
स्वतंत्र चर के उत्पाद की अपेक्षा उनकी अपेक्षाओं का उत्पाद है।

यह और के क्षणों के संदर्भ में सूत्र देगा । $X$ $Y$

यही सब है इसके लिए।

विवरण

आदि लिखें । इस प्रकार, किसी भी संख्या के लिए जिसके लिए गणना समझ में आता है और परिमित संख्या का उत्पादन करता है, $\mu_i(X) = E(X^i)$ $i,j,k,l$

\begin{aligned} Cov (X^{i} Y^{j}, X^{k} Y^{l}) & = E (X^{i} Y^{j} X^{k} Y^{l}) - E (X^{i} Y^{j}) E (X^{k} Y^{l}) \\ = μ_{i + k} (X) μ_{j + l} (Y) - μ_{i} (X) μ_{k} (X) μ_{j} (Y) μ_{l} (Y) . \end{aligned}

$\eqalign{ \operatorname{Cov}\left(X^iY^j, X^kY^l\right) &= E\left(X^iY^j X^kY^l\right) - E\left(X^iY^j\right) E\left(X^kY^l\right) \\&= \mu_{i+k}(X)\mu_{j+l}(Y) - \mu_i(X)\mu_k(X)\mu_j(Y)\mu_l(Y).}$

ध्यान दें कि किसी भी रैंडम वैरिएबल का वैरिएंट अपने आप में सहसंयोजक होता है, इसलिए हमें वेरिएंस के लिए कोई विशेष गणना करने की आवश्यकता नहीं है।

अब यह स्पष्ट होना चाहिए कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर के किसी भी परिमित संख्या के किसी भी शक्तियों के मोनोमियल से जुड़े क्षणों की गणना कैसे करें। एक आवेदन के रूप में, इस परिणाम को सहसंबंध की परिभाषा पर लागू करें, जो भिन्नताओं के वर्गमूल द्वारा विभाजित सहसंयोजक है:

\begin{aligned} कोर (एक्स, एक्स Y) & = \frac{cov ({एक्स}^{1} Y^{0}, {एक्स}^{1} Y^{1})}{\sqrt{cov ({एक्स}^{1} Y^{0}, {एक्स}^{1} Y^{0}) cov ({एक्स}^{1} Y^{1}, {एक्स}^{1} Y^{1})}} \\ = \frac{μ_{2} (एक्स) μ_{1} (Y) - μ_{1} (एक्स)^{2} μ_{1} (Y)}{\sqrt{(μ_{2} (एक्स) - μ_{1} (एक्स)^{2}) (μ_{2} (एक्स) μ_{2} (Y) - μ_{1} (एक्स)^{2} μ_{2} (Y)^{2})}} । \end{aligned}

$\eqalign{\operatorname{Cor}(X,XY) &= \frac{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^1)}{\sqrt{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^0)\ \operatorname{Cov}(X^1Y^1, X^1Y^1)}} \\ &=\frac{\mu_2(X)\mu_1(Y) - \mu_1(X)^2\mu_1(Y)}{\sqrt{\left(\mu_2(X)-\mu_1(X)^2\right)\left(\mu_2(X)\mu_2(Y)-\mu_1(X)^2\mu_2(Y)^2\right)}} . }$

विभिन्न बीजीय सरलीकरण हैं, जिन्हें आप चुन सकते हैं यदि आप इसे मूल चर के अपेक्षाओं, भिन्नताओं और सहसंबंधों से संबंधित करना चाहते हैं, लेकिन उन्हें यहां ले जाना कोई अधिक जानकारी प्रदान नहीं करेगा।

— व्हीबर
स्रोत

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और की कुल सह-स्वतंत्रता और स्वतंत्रता के कानून का उपयोग करते हुए , कुल विचरण के कानून का उपयोग करना, और फिर से, स्वतंत्रता, ध्यान दें कि कैसे $X$ $Y$

\begin{aligned} cov (एक्स, एक्स Y) & = इ cov (एक्स, एक्स Y | Y) + cov (इ एक्स | Y, इ एक्स Y | Y) \\ = इ (Y cov (एक्स, एक्स)) + cov (इ एक्स, Y इ एक्स) \\ = इ (Y वार एक्स) + cov (इ एक्स, Y इ एक्स) \\ = इ Y वार एक्स । \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Cov}(X,XY) &=E\mbox{Cov}(X,XY|Y)+\mbox{Cov}(EX|Y,EXY|Y) \\&=E(Y\mbox{Cov}(X,X)) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=E(Y\mbox{Var}X) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=EY\mbox{Var}X. \end{align}$

\begin{aligned} वार (एक्स Y) & = इ वार (एक्स Y | Y) + वार इ (एक्स Y | Y) \\ = इ (Y^{2} (वार एक्स | Y)) + वार (Y (इ एक्स | Y)) \\ = इ (Y^{2} वार एक्स) + वार (Y इ एक्स) \\ = इ (Y^{2}) वार एक्स + (इ एक्स)^{2} वार Y \\ = वार एक्स वार Y + (इ Y)^{2} वार एक्स + (इ एक्स)^{2} वार Y । \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Var}(XY) &= E\mbox{Var}(XY|Y) + \mbox{Var} E(XY|Y) \\&= E(Y^2 (\mbox{Var}X|Y)) + \mbox{Var} (Y (EX|Y)) \\&= E(Y^2 \mbox{Var}X) + \mbox{Var} (Y EX) \\&= E(Y^2) \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y \\&= \mbox{Var}X\mbox{Var}Y+(EY)^2 \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y . \end{align}$

Y

$Y$ उपरोक्त आंतरिक सशर्त अपेक्षाओं, भिन्नताओं या सहसंबंधों में से किसी में एक स्थिर के रूप में माना जा सकता है।

उपरोक्त सहसंयोजक और विचरण से, सहसंबंध कुछ बीजगणितीय जोड़तोड़ के बाद, भिन्नता के दो गुणांकों के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है जैसे कि

\begin{aligned} corr (एक्स, एक्स Y) & = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{वार Y}{(इ Y)^{2}} (1 + \frac{(इ एक्स)^{2}}{वार एक्स})}} । \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{corr}(X,XY) &=\frac1{\sqrt{ 1 + \frac{\text{Var}Y}{(EY)^2}\left(1 + \frac{(EX)^2}{\text{Var}X}\right) }}. \end{align}$

सिमुलेशन द्वारा इस परिणाम की एक जांच:

> n <- 1e+6
> x <- rexp(n,2)-2
> y <- rnorm(n,mean=5)
> cv2 <- function(x) var(x)/mean(x)^2
> 1/sqrt(1+cv2(y)*(1+1/cv2(x)))
[1] 0.844882
> cor(x,x*y)
[1] 0.8445373

— जरले तुफतो
स्रोत

अच्छा है, लेकिन मैं कुछ चीजों को बताना चाहता हूं: 1. समीकरणों के दूसरे सेट की तीसरी पंक्ति में, रूप में एक कोष्ठक होना चाहिए ? 2. क्या आप सुनिश्चित हैं कि प्रश्न पूछने वाला व्यक्ति विभिन्न चरणों के पीछे तर्क का पालन करता है? जैसे कि ऐसा इसलिए है क्योंकि एक दिया हुआ है। मैं कुछ चरणों के लिए एक न्यूनतम स्पष्टीकरण का सुझाव दूंगा।

E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X)

$E(Y^2\text{Var}X)+\text{Var}(YEX)$

E Cov (X, X Y | Y) = E Y Cov (X, X)

$E\text{Cov}(X, XY|Y)=EY\text{Cov}(X,X)$

Y

$Y$

— एंटोनी परेलाडा

1

हां, मैंने कुछ कोष्ठक जोड़े जो गायब थे और कुछ स्पष्टीकरण। मुझे मानना होगा कि मैं हालांकि @whuber का जवाब पसंद करता हूं।

— जरेल टफ्टो

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X और Y के विशिष्ट मामलों में शून्य साधनों के साथ यादृच्छिक चर हैं, तो क्योंकि | इसलिए $\rho(XY,X) = 0$ $\mathbb{E}(X^2Y) = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ X^2Y | X]] = \mathbb{E}[X^2\mathbb{E}[Y|X]] = 0$ $cov(XY,X) = \mathbb{E}(X^2Y) - \mathbb{E}(XY).\mathbb{E}(X) = 0$

— Kledou
स्रोत

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X और XY के बीच रैखिक संबंध होगा,

पत्र (X, XY) = कोव (X, XY) / sqrt (var (X) * var (XY))

कोव (एक्स, एक्सवाई) = संक्षेप ((एक्स-मीन (एक्स)) (एक्सवाई-मीन (एक्सवाई)) / एन

एन - नमूना आकार; var (एक्स) = एक्स का विचरण; var (XY) = XY का प्रसरण

— सैम ग्लेडियो
स्रोत

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सवाल यादृच्छिक चर के बारे में है, डेटा के बारे में नहीं।

— whuber

हम कैसे पता लगा सकते हैं कि 2 यादृच्छिक चर सहसंबंधित हैं या नहीं? डेटा के माध्यम से ही सही। यदि मैं गलत हूं तो मुझे सही करों। क्षमा याचना।

— सैम ग्लैडियो

एक यादृच्छिक रूप से गणितीय गुणों का उपयोग करते हुए, सैद्धांतिक रूप से सहसंबंध की गणना करता है। यह बहुत कुछ वैसा ही है, जैसा कि न्यूटनियन यांत्रिकी के सिद्धांतों का उपयोग करके एक पुल डिजाइन की ताकत की गणना करना, पुलों का निर्माण करना और उनका परीक्षण करना: सिद्धांत और डेटा के लिए अलग-अलग भूमिकाएँ हैं और उन्हें एक दूसरे के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए ।

— whuber